Lue keskustelun säännöt.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Alue: Aihe vapaa
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Ne lapset ovat syntyneet ja heillä on sukupuoli.
Kyllä, ja jotta voimme laskea sen todennäköisyyden meidän pitää tietää miten ne sukupuolet voivat jakautua kahden lapsen kesken, jolloin järjestys on merkitsevä.
Aivan kuten voin nostaa korttipakasta ristin ja ruudun kahdella eri tapaa, vaikka lopputuloksena minulla onkin aina risti ja ruutu.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Ne lapset ovat syntyneet ja heillä on sukupuoli.
Kyllä, ja jotta voimme laskea sen todennäköisyyden meidän pitää tietää miten ne sukupuolet voivat jakautua kahden lapsen kesken, jolloin järjestys on merkitsevä.
Aivan kuten voin nostaa korttipakasta ristin ja ruudun kahdella eri tapaa, vaikka lopputuloksena minulla onkin aina risti ja ruutu.
En ymmärrä, miten se järjestys on merkitsevä. Lapset ovat jo olemassa, ei niitä enää nosteta mistään pakasta. Ainoa tuntematon on enää yhden lapsen sukupuoli, joka on täsmälleen 1/2.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Minä lasken todennäköisyyksiä sille, istuuko tiedetyn pojan viereisellä tuolilla tyttö vai poika.
Ja tämä vastaa kysymykseen: "Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan" mutta sitä ei tässä tehtävässä kysytä.
Tässä kysytään, millä todennäköisyydellä se toinenkin jo syntynyt lapsi on poika. Todennäköisyys lapsen sukupuolelle on 1/2 ja se on täysin riippumaton sen sisaruksen sukupuolesta. Mitä tässä sinun mielestäsi sitten lasketaan ellei sen tuntemattoman lapsen sukupuolen todennäköisyyttä, kun toisen sukupuoli jo tiedetään.
Juurihan minä sen kerroin: Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan. Kaksi syntymää ovat ihan oikein kaksi toisistaan riippumatonta tapahtumaa. Mutta kahden syntymän lopputuloksena meillä on kaksi lasta, joiden sukupuolet voivat jakautua kolmella eri tavalla seuraavin todennäköisyyksin:
Molemmat tyttöjä: 25 %
Molemmat poikia: 25 %
Molemmat eri sukupuolta: 50 %
Nyt tiedämme että Jukan lapset eivät ole molemmat tyttöjä, niin voimme pyyhkiä sen vaihtoehdon pois, ja jäljelle jää:
Molemmat poikia: 33,3... %
Molemmat eri sukupuolta: 66,6... %
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Jos tiedetty poika istuu tuolilla A, tuolilla B istuu tyttö tai poika.
Jos tiedetty poika istuu tuolilla B, tuolilla A istuu tyttö tai poika.
Noniin, ja sitten lasket todennäköisyydet skenaarioille jotka tuosta esittämästäsi purkaantuu:
"Tuolilla A istuu poika ja tuolilla B istuu tyttö"
"Tuolilla A istuu poika ja tuolilla B istuu poika"
"Tuolilla A istuu tyttö, jolloin tuolilla B on pakko istua poika"
Ja koska vain yksi näistä voi olla kerralla tosi, niin mikä on todennäköisyys että "Tuolilla A istuu poika ja tuolilla B istuu poika" on tosi?
Ei. Sinä lasket tuossa nyt vaihtoehtoja, missä järjestyksessä lapset voivat istua tuolilla. Minä lasken todennäköisyyksiä sille, istuuko tiedetyn pojan viereisellä tuolilla tyttö vai poika. Lapset eivät vaihda tuoleja välillä, koska meitä ei kiinnosta, missä paikassa he istuvat. Näin ollen tiedetty poika istuu koko ajan joko tuolilla A tai B. Jos hän istuu tuolilla A, sinun vaihtoehdoistasi putoaa pois tuo viimeinen, koska hän ei voi yhtäkkiä olla tyttö.
Niin lasket, mutta tehtävässä ei kysytty tätä vaan nimenomaan että missä järjestyksessä lapset voivat tuolilla istua.
Eihän kysytä! Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Niin. Joka on identtisesti sama kysymys. Kai matemaattisen identiteetin konsepti sentään on tuttu? Sama syöte antaa saman lopputuloksen, jolloin funktiot ovat identtisesti samat?
Eihän ole. Kysymys ei kuulu, millä todennäköisyydellä saisimme kaksi poikaa, jos saisimme kaksi lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joilla molemmilla on jo sukupuolet ja ainoastaan toisen sukupuoli on tuntematon.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Minä lasken todennäköisyyksiä sille, istuuko tiedetyn pojan viereisellä tuolilla tyttö vai poika.
Ja tämä vastaa kysymykseen: "Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan" mutta sitä ei tässä tehtävässä kysytä.
Tässä kysytään, millä todennäköisyydellä se toinenkin jo syntynyt lapsi on poika. Todennäköisyys lapsen sukupuolelle on 1/2 ja se on täysin riippumaton sen sisaruksen sukupuolesta. Mitä tässä sinun mielestäsi sitten lasketaan ellei sen tuntemattoman lapsen sukupuolen todennäköisyyttä, kun toisen sukupuoli jo tiedetään.
Juurihan minä sen kerroin: Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan. Kaksi syntymää ovat ihan oikein kaksi toisistaan riippumatonta tapahtumaa. Mutta kahden syntymän lopputuloksena meillä on kaksi lasta, joiden sukupuolet voivat jakautua kolmella eri tavalla seuraavin todennäköisyyksin:
Molemmat tyttöjä: 25 %
Molemmat poikia: 25 %
Molemmat eri sukupuolta: 50 %
Nyt tiedämme että Jukan lapset eivät ole molemmat tyttöjä, niin voimme pyyhkiä sen vaihtoehdon pois, ja jäljelle jää:
Molemmat poikia: 33,3... %
Molemmat eri sukupuolta: 66,6... %
Mutta tuosta pitää pyyhkäistä vielä puolet tuosta 50 %:sta pois, koska (noin tuhannennen kerran) se tiedetty toinen lapsi on poika, eikä voi vaihtaa sukupuoltaa tytöksi, jos se toinen onkin poika.
Minä tein tuonne aiemmin sen nelikentän, jossa pystysarakkeilla lapsen A sukupuoli ja vaakasarakkeilla lapsen B sukupuoli. Siinä näkyi kaikki vaihtoehtoiset kombinaatiot, jos sukupuolia ei tiedetä. Sitten kun jommankumman lapsen sukupuoli tiedetään, putoaa yksi sarake tai rivi pois ja jää vain kaksi kombinaatiota eikä yhtään enempää. On ihan sama onko kyseessä lapsi A vai lapsi B, se sama tiedetty poikalapsi ei voi olla kumpikin yhtä aikaa, joten päällekkäisiä kombinaatioita ei ole. Korttipakassakin on ne samat kortit eivätkä ne vaihda numeroaan sen mukaan, missä järjestyksessä niitä kombinaatioita käsitellään.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Ovelaa, olin aluksi ihan varma että 50% on oikea vastaus.
Aika hyvin tuo pitää paikkansa, että 85% vastaa väärin ; )
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vielä tuohon, kun monet sanovat, että 1/2 vastaa kysymykseen, jos saisimme toisen lapsen, millä todennäköisyydellä tulisi toinen poika. Sitähän tässä oikeastaan kysytäänkin. Meillä on tiedossa lasten kokonaismäärä, toisen lapsen sukupuoli ja uuden lapsen sukupuolen todennäköisyys. Tässä vaiheessa ei ole mitään väliä sillä, onko se tuntematon lapsi syntynyt ajallisesti aiemmin vai ei. Kyse on joka tapauksessa siitä, että meillä on lapsi, jonka sukupuoli tiedetään ja toinen lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä.
Jos meidän pitäisi vielä miettiä, kumpiko niistä lapsista mahtaa olla poika ja kumpiko tyttö tai onko kumpikaan, siinä tapauksessahan laskettaisiin todennäköisyyksiä syntymättömille lapsille tai lapsille, joiden kummankaan sukupuolta emme tiedä. Mutta tästähän ei ole kyse, joten järjestyksellä ei ole väliä.
Sekä 1/3 että 1/2 ovat periaatteessa mahdollisia vastauksia. Tuolla aiemmin lainatussa Wikipedia-artikkelissa tämä asia olikin jo selitetty, mutta ehkä kokeilen vielä tehdä sen vähän kansantajuisemmin.
Jos vastauksesi ongelmaan on 1/3, olet ajatellut kysymyksen (huomaamattasi) jotenkin näin:
Otat tuhat pariskuntaa, joille tulee syntymään kaksi ja vain kaksi lasta (sinulla on ilmeisesti jokin karmea synnytysfarmi). Päätät etukäteen, että kahden tyttölapsen perheitä ei hyväksytä. Heität siis kaikki kahden tytön tehneet pariskunnat laitoksestasi pihalle ja jätät muut jäljelle. Valitset lopuksi satunnaisesti yhden jäljelle jääneistä pariskunnista. Millä todennäköisyydellä heillä on kaksi poikaa?
Vastauksen 1/2 saa ajattelemalla vaikka näin:
Tapaat eräänä päivänä täysin satunnaisen Jukan, jolla ei ole mitään tekemistä synnytysfarmien kanssa. Et siis tiedä etukäteen mitään hänen lapsistaan. Juttelet Jukan kanssa niitä näitä ja hän mainitsee ohimennen poikansa. Kysyt, montako lasta Jukalla on, ja hän vastaa, että kaksi. Millä todennäköisyydellä Jukan toinenkin lapsi on poika?
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Sisältö jatkuu mainoksen alla
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Minä lasken todennäköisyyksiä sille, istuuko tiedetyn pojan viereisellä tuolilla tyttö vai poika.
Ja tämä vastaa kysymykseen: "Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan" mutta sitä ei tässä tehtävässä kysytä.
Tässä kysytään, millä todennäköisyydellä se toinenkin jo syntynyt lapsi on poika. Todennäköisyys lapsen sukupuolelle on 1/2 ja se on täysin riippumaton sen sisaruksen sukupuolesta. Mitä tässä sinun mielestäsi sitten lasketaan ellei sen tuntemattoman lapsen sukupuolen todennäköisyyttä, kun toisen sukupuoli jo tiedetään.
Juurihan minä sen kerroin: Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan. Kaksi syntymää ovat ihan oikein kaksi toisistaan riippumatonta tapahtumaa. Mutta kahden syntymän lopputuloksena meillä on kaksi lasta, joiden sukupuolet voivat jakautua kolmella eri tavalla seuraavin todennäköisyyksin:
Molemmat tyttöjä: 25 %
Molemmat poikia: 25 %
Molemmat eri sukupuolta: 50 %
Nyt tiedämme että Jukan lapset eivät ole molemmat tyttöjä, niin voimme pyyhkiä sen vaihtoehdon pois, ja jäljelle jää:
Molemmat poikia: 33,3... %
Molemmat eri sukupuolta: 66,6... %
Mutta tuosta pitää pyyhkäistä vielä puolet tuosta 50 %:sta pois,
Ei tietenkään pidä, koska se on kaksi kertaa todennäköisempi tilanne kuin se, että on kaksi poikaa. Ainoa mikä pyyhkiytyy lähtötietojen mukaan pois on kaksi tyttöä.
En tiedä trollaatko tahallaan vai oletko vain täysin kykenemätön vastaanottamaan informaatiota, mutta minä en ainakaan jaksa tätä samaa asiaa enää kanssasi läpi käydä.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Sekä 1/3 että 1/2 ovat periaatteessa mahdollisia vastauksia. Tuolla aiemmin lainatussa Wikipedia-artikkelissa tämä asia olikin jo selitetty, mutta ehkä kokeilen vielä tehdä sen vähän kansantajuisemmin.
Jos vastauksesi ongelmaan on 1/3, olet ajatellut kysymyksen (huomaamattasi) jotenkin näin:
Otat tuhat pariskuntaa, joille tulee syntymään kaksi ja vain kaksi lasta (sinulla on ilmeisesti jokin karmea synnytysfarmi). Päätät etukäteen, että kahden tyttölapsen perheitä ei hyväksytä. Heität siis kaikki kahden tytön tehneet pariskunnat laitoksestasi pihalle ja jätät muut jäljelle. Valitset lopuksi satunnaisesti yhden jäljelle jääneistä pariskunnista. Millä todennäköisyydellä heillä on kaksi poikaa?
Vastauksen 1/2 saa ajattelemalla vaikka näin:
Tapaat eräänä päivänä täysin satunnaisen Jukan, jolla ei ole mitään tekemistä synnytysfarmien kanssa. Et siis tiedä etukäteen mitään hänen lapsistaan. Juttelet Jukan kanssa niitä näitä ja hän mainitsee ohimennen poikansa. Kysyt, montako lasta Jukalla on, ja hän vastaa, että kaksi. Millä todennäköisyydellä Jukan toinenkin lapsi on poika?
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Juuri näin! Tätä yritin tuolla selittää, että eihän meitä kiinnosta se synnytysfarmi vaan tämä Jukan perhe ja hänen kaksi lastaan.
Vierailija kirjoitti:
However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex.
Koska korrekti tehtävänanto vaatii että kaikki tehtävän tulokseen vaikuttavat asiat ovat kerrottu voimme ohittaa tämän vaihtoehdon.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Nykyään taitaa olla lottovoitto, jos ihminen on ylipäätään tyttö tai poika. Kaikkea muuta kun on keksitty niiden lisäksi niin valtava määrä
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Minä lasken todennäköisyyksiä sille, istuuko tiedetyn pojan viereisellä tuolilla tyttö vai poika.
Ja tämä vastaa kysymykseen: "Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan" mutta sitä ei tässä tehtävässä kysytä.
Tässä kysytään, millä todennäköisyydellä se toinenkin jo syntynyt lapsi on poika. Todennäköisyys lapsen sukupuolelle on 1/2 ja se on täysin riippumaton sen sisaruksen sukupuolesta. Mitä tässä sinun mielestäsi sitten lasketaan ellei sen tuntemattoman lapsen sukupuolen todennäköisyyttä, kun toisen sukupuoli jo tiedetään.
Juurihan minä sen kerroin: Jos meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisenkin pojan. Kaksi syntymää ovat ihan oikein kaksi toisistaan riippumatonta tapahtumaa. Mutta kahden syntymän lopputuloksena meillä on kaksi lasta, joiden sukupuolet voivat jakautua kolmella eri tavalla seuraavin todennäköisyyksin:
Molemmat tyttöjä: 25 %
Molemmat poikia: 25 %
Molemmat eri sukupuolta: 50 %
Nyt tiedämme että Jukan lapset eivät ole molemmat tyttöjä, niin voimme pyyhkiä sen vaihtoehdon pois, ja jäljelle jää:
Molemmat poikia: 33,3... %
Molemmat eri sukupuolta: 66,6... %
Mutta tuosta pitää pyyhkäistä vielä puolet tuosta 50 %:sta pois,
Ei tietenkään pidä, koska se on kaksi kertaa todennäköisempi tilanne kuin se, että on kaksi poikaa. Ainoa mikä pyyhkiytyy lähtötietojen mukaan pois on kaksi tyttöä.
En tiedä trollaatko tahallaan vai oletko vain täysin kykenemätön vastaanottamaan informaatiota, mutta minä en ainakaan jaksa tätä samaa asiaa enää kanssasi läpi käydä.
Ei se tässä tapauksessä ole kaksi kertaa todennäköisempi, koska edelleen siinä on vain se yksi ja sama lapsi, jolla on yksi ja sama sukupuoli, joka ei enää vaihdu. Sen tiedetyn pojan sukupuolta emme enää ole arpomassa, joten tyttö + poika -kombinaatioista putoaa puolet pois, koska se tiedetty poika ei voi vaihtaa sukupuolta sisaruksensa kanssa lennossa.
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi lapsi. Avaat satunnaisesti jomman kumman komeron oven. Siellä on poika. Millä todennäköisyydellä toisessakin komerossa on poika?
Vierailija kirjoitti:
Todennäköisyyksillä ei ole mitään merkitystä. Kuten joku sanoi, lottovoittokin osuu jollekulle.
Juuri näin.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex.
Koska korrekti tehtävänanto vaatii että kaikki tehtävän tulokseen vaikuttavat asiat ovat kerrottu voimme ohittaa tämän vaihtoehdon.
Niin siis kumman vaihtoehdon? Tehtävänantohan ei kerro, kumpi tilanne on kyseessä. Se on tulkintakysymys.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi lapsi. Avaat satunnaisesti jomman kumman komeron oven. Siellä on poika. Millä todennäköisyydellä toisessakin komerossa on poika?
Tuo oli siis se kysymys, jolla vastaus on 1/2.
1/3 vastauksen tuottaa asettelu
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi lapsi. Tiedät, ettei molemmissa komeroissa ole tyttöä. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastauksesi alkuperäiseen kysymykseen riippuu siitä, kumpaa kysymystä ajattelet.
Alue: Aihe vapaa
Tässä kysytään, millä todennäköisyydellä se toinenkin jo syntynyt lapsi on poika. Todennäköisyys lapsen sukupuolelle on 1/2 ja se on täysin riippumaton sen sisaruksen sukupuolesta. Mitä tässä sinun mielestäsi sitten lasketaan ellei sen tuntemattoman lapsen sukupuolen todennäköisyyttä, kun toisen sukupuoli jo tiedetään.