Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Mikä tämä Jukka on englanniksi? Haluaisin lukea alkuperäisen tehtävänannon.

Mr. Smith

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon.

Ei ota. Siinä on kaksi täysin toisistaan irrallista todennäköisyyslaskua. Jotka vastaavat kaiken lisäksi aivan väärään kysymykseen, joka on ”mikä on todennäköisyys saada toinenkin poika jos on jo yksi poika” mutta sitä ei tässä tehtävässä kysytä.

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Tämähän ei ole sama kysymys. Sinun kysymyksessäsi vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Jukka ja pojat -kysymyksessä eivät ole, koska tyttö-poika-perheitä on enemmän.

Jos sinun miehilläsi B ja C on molemmilla vaaleat hiukset, niin onko puolisosi todennäköisyys olla vaaleahiuksinen 1/3?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Oikea vastaus (ei ollut vastausvaihtoehdoissa): tietoa ei ole riittävästi yksiselitteisen vastauksen antamiseen. Se nimittäin riippuu siitä, että miksi (minkä säännön mukaisesti) Jukka sanoi mitä sanoi.

Kyllä on. Vastaus on 1/3.

Olet väärässä. Jos Jukan logiikka oli esim. että hän kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen, eli jos vanhempi lapsi olisikin ollut tyttö, hän olisi sanonut "ainakin toinen on tyttö", vastaus olisi 1/2.

Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä. Todennäköisyydet lasketaan aina tietyillä oletuksilla, eikä kaikkea tietoa aina ole. Siksi sitä kutsutaan todennäköisyydeksi eikä varmaksi tiedoksi.

Jos sanotaan, että toinen lapsista on poika, silloin oletamme vain ja ainoastaan juuri sen, että jompikumpi lapsista on poika, emmekä tee mitään omia oletuksia, että oliko se vanhempi vai nuorempi.

Jos sanottaisiin, että vanhempi lapsi on poika, se olisi aivan eri tietoa, ja silloin vastauskin itse asiassa olisi eri. Silloin vastaus olisi 1/2, kun nyt esitettyyn pulmaan se on 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ensin ajattelin, että 1/2.

Nyt ajattelen, että 1/3, koska vaihtoehtoja kahdelle lapselle on kolme: tyttö+tyttö, tyttö+poika ja poika+poika.

Kertokaa nyt joku, mikä on oikea vastaus!

Oikea vastaus on 1/3. Vaihtoehtoja on neljä, luettelemiesi lisäksi vielä poika+tyttö.

Oikeasti oikea vastaus on että kysymyksessä ei ole riittävästi tietoa joten yksiselitteistä vastausta ei voi antaa.

Vastaukseksi ei voida antaa varmaa tietoa onko Jukalla kaksi poikaa vai ei, mutta kyllä sille voidaan laskea ainoa oikea todennäköisyys niillä tiedoilla, jotka on saatavilla. Tietoa ei tarvitse olle "riittävästi". Eri tiedoilla saadaan eri tuloksia.

Olet väistämättömästi väärässä heti lähtökohdassa: "Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä." Tuossahan minä juuri kerroin yhden tavan miten Jukan toiminnan logiikka voi vaikuttaa lopputulokseen. Ja sinä myönnät että Jukan logiikka ei ole tiedossa. Joten lopputuloskaan ei voi olla tiedossa.

Jos heitin noppaa, millä todennäköisyydellä tuli 6? Siis ihan tavallista kuusisivuista noppaa. Sanoisit että 1/6. Mutta mitä jos minä esitän tuon kysymyksen sinulle vain silloin, jos noppaan tulee 6, mutta en kerro sinulle tätä salaista periaatettani? Oletko laskenut todennäköisyyden väärin?

Ei ole olemassa mitään yhtä ainoaa "oikeaa todennäköisyyttä", ellei lasketa varmaa tietoa. Kaikkitietävä olento osaisi joka heitolla sanoa, että todennäköisyys saada kutonen olisi joko 0 tai 1, mutta me ihmiset joudumme tyytymään epävarmuuteen.

Kyllä "laskisin" väärin jos vastaisin että 1/6. Onneksi en sitä vastaisi tuossa tilanteessa, vaikka sinä muuta kuvittelet. Bayesilainen logiikka on ihan oikeasti tarpeellinen periaate.

Totean myös, että yksikään 1/3-puolustajista ei ole kirjoittanut oletuksiaan Jukan toiminnasta auki, sikäli kuin olen huomannut. Jos logiikka olisi esim. että kaikista kaksilapsisista perheistä valitaan joku satunnaisesti, raakataan pois ne joissa ei ole ainuttakaan poikaa, ja annetaan "Jukan" heittää replansa, niin oikea vastaus olisi 1/3. Mutta jos ei tehdä yhtään mitään oletuksia Jukan toiminnasta, niin miten päästään tulokseen 1/3? Tämänhän pitäisi olla helppo kysymys jos minä kerran olen niin väärässä.

Jukan toimintaa ei tarvitse kirjoittaa auki koska se ei vaikuta millään tapaa tehtävään. Jukalla on kahdesta lapsesta vähintään yksi poika, jolloin saamme yksinkertaisen kombinatoorisen tehtävän:

T+P

P+T

P+P

jossa kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ja vastaus on triviaali 1/3.

Eivät nuo kaikki ole yhtä todennäköisiä, koska noissa kombinaatioissa et ota huomioon sitä, että se tiedetty poika ei voi lennossa vaihtaa sukupuoltaan ja "antaa" sitä toiselle lapselle. Eli jos noissa kombinaatiovaihtoehdoissa ensimmäinen on aina se tiedetty poika, ensimmäinen kombinaatiosi putoaa pois. Sillä tiedetyllä pojalla on vain yksi sisarus, jonka sukupuoli voi olla kumpi tahansa. 

Missään kohdassa tehtävää ei sanota että tiedetty poika on ensimmäinen lapsi.

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Niin? Miten tämä liittyy siihen monellako eri tavalla ihminen voi saada kaksi lasta?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon. Molemmat skenaariot ovat tuossa esitettyinä ja niissä molemmissa skenaarioissa vastaus on 1/2. Ei ole yhtäkään tilannetta, jossa vielä ihmettelisimme, mikä sen pojaksi tiedetyn lapsen sukupuoli on. 

Tuo on täsmälleen, mitä tehtävässä kysytään ainoastaan sillä erolla, että emme enää ole saamassa toista lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joista toisen sukupuoli tiedetään. Se on ihan sama, kumpiko niistä lapsista on poika, kun ainoa muuttuva tekijä on enää sen toisen lapsen sukupuoli. Toinen on jo lukittu, joten ei sille enää lasketa todennäköisyyttä. 

Yritä nyt ymmärtää, että perheitä, joissa on kaksi eri sukupuolta olevaa lasta on kaksi kertaa enemmän kuin perheitä, joissa on kaksi poikaa.

Jos tiedettäisiin, että vanhempi on poika, mahdollisuudet siihen, että nuorempikin on, on 50%, koska kaikki vaihtoehdot jossa vanhempi on tyttö tippuvat pois. Nyt pois tippuu vain t+t, joten perheitä, joissa on t+p kummin tahansa päin syntyneenä on 2x enemmän kuin p+p perheitä.

No entä sitten? Meitä ei kiinnosta pätkääkään, kumpiko lapsista on vanhempi, nehän voivat olla vaikka kaksoset tai toinen voi olla adoptoitu, jonka tarkkaa ikää ei tiedetä. Joka tapauksessa meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä ja toisen lapsen sukupuoli tiedetään. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Niin? Miten tämä liittyy siihen monellako eri tavalla ihminen voi saada kaksi lasta?

Siten, että ne lapset ovat jo olemassa, eikä meitä kiinnosta pätkääkään, missä järjestyksessä he ovat syntyneet vaan ainoastaan heidän sukupuolensa. Tuossakin se avioliitto syntyy riippumatta siitä, kuka esimerkiksi kosii. Mahdolliset kombinaatiot eivät lisäänny itsekseen keksimällä jotain järjestyksiä, joita ei kysytty. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Oikea vastaus (ei ollut vastausvaihtoehdoissa): tietoa ei ole riittävästi yksiselitteisen vastauksen antamiseen. Se nimittäin riippuu siitä, että miksi (minkä säännön mukaisesti) Jukka sanoi mitä sanoi.

Kyllä on. Vastaus on 1/3.

Olet väärässä. Jos Jukan logiikka oli esim. että hän kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen, eli jos vanhempi lapsi olisikin ollut tyttö, hän olisi sanonut "ainakin toinen on tyttö", vastaus olisi 1/2.

Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä. Todennäköisyydet lasketaan aina tietyillä oletuksilla, eikä kaikkea tietoa aina ole. Siksi sitä kutsutaan todennäköisyydeksi eikä varmaksi tiedoksi.

Jos sanotaan, että toinen lapsista on poika, silloin oletamme vain ja ainoastaan juuri sen, että jompikumpi lapsista on poika, emmekä tee mitään omia oletuksia, että oliko se vanhempi vai nuorempi.

Jos sanottaisiin, että vanhempi lapsi on poika, se olisi aivan eri tietoa, ja silloin vastauskin itse asiassa olisi eri. Silloin vastaus olisi 1/2, kun nyt esitettyyn pulmaan se on 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ensin ajattelin, että 1/2.

Nyt ajattelen, että 1/3, koska vaihtoehtoja kahdelle lapselle on kolme: tyttö+tyttö, tyttö+poika ja poika+poika.

Kertokaa nyt joku, mikä on oikea vastaus!

Oikea vastaus on 1/3. Vaihtoehtoja on neljä, luettelemiesi lisäksi vielä poika+tyttö.

Oikeasti oikea vastaus on että kysymyksessä ei ole riittävästi tietoa joten yksiselitteistä vastausta ei voi antaa.

Vastaukseksi ei voida antaa varmaa tietoa onko Jukalla kaksi poikaa vai ei, mutta kyllä sille voidaan laskea ainoa oikea todennäköisyys niillä tiedoilla, jotka on saatavilla. Tietoa ei tarvitse olle "riittävästi". Eri tiedoilla saadaan eri tuloksia.

Olet väistämättömästi väärässä heti lähtökohdassa: "Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä." Tuossahan minä juuri kerroin yhden tavan miten Jukan toiminnan logiikka voi vaikuttaa lopputulokseen. Ja sinä myönnät että Jukan logiikka ei ole tiedossa. Joten lopputuloskaan ei voi olla tiedossa.

Jos heitin noppaa, millä todennäköisyydellä tuli 6? Siis ihan tavallista kuusisivuista noppaa. Sanoisit että 1/6. Mutta mitä jos minä esitän tuon kysymyksen sinulle vain silloin, jos noppaan tulee 6, mutta en kerro sinulle tätä salaista periaatettani? Oletko laskenut todennäköisyyden väärin?

Ei ole olemassa mitään yhtä ainoaa "oikeaa todennäköisyyttä", ellei lasketa varmaa tietoa. Kaikkitietävä olento osaisi joka heitolla sanoa, että todennäköisyys saada kutonen olisi joko 0 tai 1, mutta me ihmiset joudumme tyytymään epävarmuuteen.

Kyllä "laskisin" väärin jos vastaisin että 1/6. Onneksi en sitä vastaisi tuossa tilanteessa, vaikka sinä muuta kuvittelet. Bayesilainen logiikka on ihan oikeasti tarpeellinen periaate.

Totean myös, että yksikään 1/3-puolustajista ei ole kirjoittanut oletuksiaan Jukan toiminnasta auki, sikäli kuin olen huomannut. Jos logiikka olisi esim. että kaikista kaksilapsisista perheistä valitaan joku satunnaisesti, raakataan pois ne joissa ei ole ainuttakaan poikaa, ja annetaan "Jukan" heittää replansa, niin oikea vastaus olisi 1/3. Mutta jos ei tehdä yhtään mitään oletuksia Jukan toiminnasta, niin miten päästään tulokseen 1/3? Tämänhän pitäisi olla helppo kysymys jos minä kerran olen niin väärässä.

Jukan toimintaa ei tarvitse kirjoittaa auki koska se ei vaikuta millään tapaa tehtävään. Jukalla on kahdesta lapsesta vähintään yksi poika, jolloin saamme yksinkertaisen kombinatoorisen tehtävän:

T+P

P+T

P+P

jossa kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ja vastaus on triviaali 1/3.

Eivät nuo kaikki ole yhtä todennäköisiä, koska noissa kombinaatioissa et ota huomioon sitä, että se tiedetty poika ei voi lennossa vaihtaa sukupuoltaan ja "antaa" sitä toiselle lapselle. Eli jos noissa kombinaatiovaihtoehdoissa ensimmäinen on aina se tiedetty poika, ensimmäinen kombinaatiosi putoaa pois. Sillä tiedetyllä pojalla on vain yksi sisarus, jonka sukupuoli voi olla kumpi tahansa. 

Missään kohdassa tehtävää ei sanota että tiedetty poika on ensimmäinen lapsi.

Ei sanotakaan. Mutta tiedämme, että se tiedetty poika on joko ensimmäinen tai toinen, mutta hän ei voi olla molempia yhtä aikaa. Siksi riittää, että laskemme erikseen näille molemmille skenaarioille todennäköisyydet ja molemmissa se on 1/2. Nämä skenaariot eivät keskenään enää muodosta omaa kombinaatiotaan, koska ne sulkevat toisensa pois. 

Se poika on siis jo olemassa ja hänellä on jo sukupuoli. Meidän ei enää tarvitse hänelle arpoa sukupuolta. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon. Molemmat skenaariot ovat tuossa esitettyinä ja niissä molemmissa skenaarioissa vastaus on 1/2. Ei ole yhtäkään tilannetta, jossa vielä ihmettelisimme, mikä sen pojaksi tiedetyn lapsen sukupuoli on. 

Tuo on täsmälleen, mitä tehtävässä kysytään ainoastaan sillä erolla, että emme enää ole saamassa toista lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joista toisen sukupuoli tiedetään. Se on ihan sama, kumpiko niistä lapsista on poika, kun ainoa muuttuva tekijä on enää sen toisen lapsen sukupuoli. Toinen on jo lukittu, joten ei sille enää lasketa todennäköisyyttä. 

Yritä nyt ymmärtää, että perheitä, joissa on kaksi eri sukupuolta olevaa lasta on kaksi kertaa enemmän kuin perheitä, joissa on kaksi poikaa.

Jos tiedettäisiin, että vanhempi on poika, mahdollisuudet siihen, että nuorempikin on, on 50%, koska kaikki vaihtoehdot jossa vanhempi on tyttö tippuvat pois. Nyt pois tippuu vain t+t, joten perheitä, joissa on t+p kummin tahansa päin syntyneenä on 2x enemmän kuin p+p perheitä.

No entä sitten? Meitä ei kiinnosta pätkääkään, kumpiko lapsista on vanhempi, nehän voivat olla vaikka kaksoset tai toinen voi olla adoptoitu, jonka tarkkaa ikää ei tiedetä. Joka tapauksessa meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä ja toisen lapsen sukupuoli tiedetään. 

Todellakin kiinnostaa. Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika. Jos taas ensimmäinen lapsi on poika, voi toinen lapsi olla poika tai tyttö.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Tämähän ei ole sama kysymys. Sinun kysymyksessäsi vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Jukka ja pojat -kysymyksessä eivät ole, koska tyttö-poika-perheitä on enemmän.

Jos sinun miehilläsi B ja C on molemmilla vaaleat hiukset, niin onko puolisosi todennäköisyys olla vaaleahiuksinen 1/3?

Mitä tuo tyttö-poika-perheiden todennäköisyys nyt tähän liittyy? Nyt puhutaan todennäköisyyksistä tämän yhden perheen lasten sukupuolien osalta, eikä verrattuna kaikkiin maailman perheisiin. Ei tuossa minunkaan esimerkissäni ole millään tavalla olennaista se, että suurin osa avioliitoista on heteropareja. 

Olin tosi huono todennäköisyyslaskennassa, mutta mieleen jäi satunnaisotanta takaisinlaittamalla. Eli uuden lapsen syntymä on aina uusi tapahtuma ja aiemmat tapahtumat eivät vaikuta siihen. Eli eikö silloin jokainen syntymä ole 50/50 kumpaa sukupuolta vain?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Oikea vastaus (ei ollut vastausvaihtoehdoissa): tietoa ei ole riittävästi yksiselitteisen vastauksen antamiseen. Se nimittäin riippuu siitä, että miksi (minkä säännön mukaisesti) Jukka sanoi mitä sanoi.

Kyllä on. Vastaus on 1/3.

Olet väärässä. Jos Jukan logiikka oli esim. että hän kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen, eli jos vanhempi lapsi olisikin ollut tyttö, hän olisi sanonut "ainakin toinen on tyttö", vastaus olisi 1/2.

Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä. Todennäköisyydet lasketaan aina tietyillä oletuksilla, eikä kaikkea tietoa aina ole. Siksi sitä kutsutaan todennäköisyydeksi eikä varmaksi tiedoksi.

Jos sanotaan, että toinen lapsista on poika, silloin oletamme vain ja ainoastaan juuri sen, että jompikumpi lapsista on poika, emmekä tee mitään omia oletuksia, että oliko se vanhempi vai nuorempi.

Jos sanottaisiin, että vanhempi lapsi on poika, se olisi aivan eri tietoa, ja silloin vastauskin itse asiassa olisi eri. Silloin vastaus olisi 1/2, kun nyt esitettyyn pulmaan se on 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ensin ajattelin, että 1/2.

Nyt ajattelen, että 1/3, koska vaihtoehtoja kahdelle lapselle on kolme: tyttö+tyttö, tyttö+poika ja poika+poika.

Kertokaa nyt joku, mikä on oikea vastaus!

Oikea vastaus on 1/3. Vaihtoehtoja on neljä, luettelemiesi lisäksi vielä poika+tyttö.

Oikeasti oikea vastaus on että kysymyksessä ei ole riittävästi tietoa joten yksiselitteistä vastausta ei voi antaa.

Vastaukseksi ei voida antaa varmaa tietoa onko Jukalla kaksi poikaa vai ei, mutta kyllä sille voidaan laskea ainoa oikea todennäköisyys niillä tiedoilla, jotka on saatavilla. Tietoa ei tarvitse olle "riittävästi". Eri tiedoilla saadaan eri tuloksia.

Olet väistämättömästi väärässä heti lähtökohdassa: "Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä." Tuossahan minä juuri kerroin yhden tavan miten Jukan toiminnan logiikka voi vaikuttaa lopputulokseen. Ja sinä myönnät että Jukan logiikka ei ole tiedossa. Joten lopputuloskaan ei voi olla tiedossa.

Jos heitin noppaa, millä todennäköisyydellä tuli 6? Siis ihan tavallista kuusisivuista noppaa. Sanoisit että 1/6. Mutta mitä jos minä esitän tuon kysymyksen sinulle vain silloin, jos noppaan tulee 6, mutta en kerro sinulle tätä salaista periaatettani? Oletko laskenut todennäköisyyden väärin?

Ei ole olemassa mitään yhtä ainoaa "oikeaa todennäköisyyttä", ellei lasketa varmaa tietoa. Kaikkitietävä olento osaisi joka heitolla sanoa, että todennäköisyys saada kutonen olisi joko 0 tai 1, mutta me ihmiset joudumme tyytymään epävarmuuteen.

Kyllä "laskisin" väärin jos vastaisin että 1/6. Onneksi en sitä vastaisi tuossa tilanteessa, vaikka sinä muuta kuvittelet. Bayesilainen logiikka on ihan oikeasti tarpeellinen periaate.

Totean myös, että yksikään 1/3-puolustajista ei ole kirjoittanut oletuksiaan Jukan toiminnasta auki, sikäli kuin olen huomannut. Jos logiikka olisi esim. että kaikista kaksilapsisista perheistä valitaan joku satunnaisesti, raakataan pois ne joissa ei ole ainuttakaan poikaa, ja annetaan "Jukan" heittää replansa, niin oikea vastaus olisi 1/3. Mutta jos ei tehdä yhtään mitään oletuksia Jukan toiminnasta, niin miten päästään tulokseen 1/3? Tämänhän pitäisi olla helppo kysymys jos minä kerran olen niin väärässä.

Jukan toimintaa ei tarvitse kirjoittaa auki koska se ei vaikuta millään tapaa tehtävään. Jukalla on kahdesta lapsesta vähintään yksi poika, jolloin saamme yksinkertaisen kombinatoorisen tehtävän:

T+P

P+T

P+P

jossa kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ja vastaus on triviaali 1/3.

Eivät nuo kaikki ole yhtä todennäköisiä, koska noissa kombinaatioissa et ota huomioon sitä, että se tiedetty poika ei voi lennossa vaihtaa sukupuoltaan ja "antaa" sitä toiselle lapselle. Eli jos noissa kombinaatiovaihtoehdoissa ensimmäinen on aina se tiedetty poika, ensimmäinen kombinaatiosi putoaa pois. Sillä tiedetyllä pojalla on vain yksi sisarus, jonka sukupuoli voi olla kumpi tahansa. 

Missään kohdassa tehtävää ei sanota että tiedetty poika on ensimmäinen lapsi.

Ei sanotakaan. Mutta tiedämme, että se tiedetty poika on joko ensimmäinen tai toinen, mutta hän ei voi olla molempia yhtä aikaa. Siksi riittää, että laskemme erikseen näille molemmille skenaarioille todennäköisyydet ja molemmissa se on 1/2. Nämä skenaariot eivät keskenään enää muodosta omaa kombinaatiotaan, koska ne sulkevat toisensa pois. 

Se poika on siis jo olemassa ja hänellä on jo sukupuoli. Meidän ei enää tarvitse hänelle arpoa sukupuolta. 

Ensinnäkään et ole laskenut kaikkia kolmea skenaariota ja toiseksi nämä eivät edelleen ole mitään toisistaan irrallisia tapahtumia vaan kyseessä on yksi ehdollinen todennäköisyys. Miksi jankutat vastaan etkä yritä oppia virheestäsi vaikka sinulle on nyt lukuisia kertoja kerrottu

A) oikea vastaus

B) miten siihen päädytään, ja

C) miksi sinun laskutoimituksesi vastaa aivan väärään kysymykseen?

1 * 0,5 on vastaus kysymykseen ”mikä on todennäköisyys saada toinenkin poika kun meillä on jo yksi poika.”

Mä olisin sanonut 1/4.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Tämähän ei ole sama kysymys. Sinun kysymyksessäsi vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Jukka ja pojat -kysymyksessä eivät ole, koska tyttö-poika-perheitä on enemmän.

Jos sinun miehilläsi B ja C on molemmilla vaaleat hiukset, niin onko puolisosi todennäköisyys olla vaaleahiuksinen 1/3?

Mitä tuo tyttö-poika-perheiden todennäköisyys nyt tähän liittyy? Nyt puhutaan todennäköisyyksistä tämän yhden perheen lasten sukupuolien osalta, eikä verrattuna kaikkiin maailman perheisiin.

Todennäköisyys tämän yhden perheen kohdalla on identtisesti sama kuin kaikkien muidenkin maailman perheiden kohdalla joissa on vähintään yksi poika. Ja koska perheitä, joissa on vähintään yksi poika on tuplasti enemmän siinä muodossa että lapset ovat eri sukupuolta kuin perheitä missä on kaksi poikaa nähdään nopeasti että x + 2x = 1, ja x = 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Olin tosi huono todennäköisyyslaskennassa, mutta mieleen jäi satunnaisotanta takaisinlaittamalla. Eli uuden lapsen syntymä on aina uusi tapahtuma ja aiemmat tapahtumat eivät vaikuta siihen. Eli eikö silloin jokainen syntymä ole 50/50 kumpaa sukupuolta vain?

Tässä tehtävässä ei synny yhtään lasta enää, vaan ne ovat jo syntyneet. Sinä olet myös eri kysymyksessä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon. Molemmat skenaariot ovat tuossa esitettyinä ja niissä molemmissa skenaarioissa vastaus on 1/2. Ei ole yhtäkään tilannetta, jossa vielä ihmettelisimme, mikä sen pojaksi tiedetyn lapsen sukupuoli on. 

Tuo on täsmälleen, mitä tehtävässä kysytään ainoastaan sillä erolla, että emme enää ole saamassa toista lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joista toisen sukupuoli tiedetään. Se on ihan sama, kumpiko niistä lapsista on poika, kun ainoa muuttuva tekijä on enää sen toisen lapsen sukupuoli. Toinen on jo lukittu, joten ei sille enää lasketa todennäköisyyttä. 

Yritä nyt ymmärtää, että perheitä, joissa on kaksi eri sukupuolta olevaa lasta on kaksi kertaa enemmän kuin perheitä, joissa on kaksi poikaa.

Jos tiedettäisiin, että vanhempi on poika, mahdollisuudet siihen, että nuorempikin on, on 50%, koska kaikki vaihtoehdot jossa vanhempi on tyttö tippuvat pois. Nyt pois tippuu vain t+t, joten perheitä, joissa on t+p kummin tahansa päin syntyneenä on 2x enemmän kuin p+p perheitä.

No entä sitten? Meitä ei kiinnosta pätkääkään, kumpiko lapsista on vanhempi, nehän voivat olla vaikka kaksoset tai toinen voi olla adoptoitu, jonka tarkkaa ikää ei tiedetä. Joka tapauksessa meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä ja toisen lapsen sukupuoli tiedetään. 

Todellakin kiinnostaa. Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika. Jos taas ensimmäinen lapsi on poika, voi toinen lapsi olla poika tai tyttö.

Lasten syntymäjärjestyksellä ei ole mitään väliä, vaan sillä, mitä lapsista tiedetään. Mehän voimme asettaa lapset myös siihen järjestykseen, mitä heistä tiedämme. voimme ihan hyvin päättää, että "ensimmäinen lapsi" ei olekaan syntymän mukaan ensimmäinen vaan ainoastaan käsittelyjärjestyksessämme ensimmäinen (esim aakkosjärjestyksessä lapsi A). 

Tällöin sinun lauseesi kuuluisivat näin. 

Jos lapsi A on tyttö, lapsen B on pakko olla poika. 

Jos taas lapsi B on poika, voi toinen lapsi olla poika tai tyttö. 

Nyt vain lukitsemme, että lapsi A on tietämämme poika, koska sama lapsi ei voi olla yhtä aikaa lapsi A ja B eikä tyttö ja poika. Noista vaihtoehdoista putoaa siis pois tuo ensimmäinen, joten toinen lapsi voi olla poika tai tyttö. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon. Molemmat skenaariot ovat tuossa esitettyinä ja niissä molemmissa skenaarioissa vastaus on 1/2. Ei ole yhtäkään tilannetta, jossa vielä ihmettelisimme, mikä sen pojaksi tiedetyn lapsen sukupuoli on. 

Tuo on täsmälleen, mitä tehtävässä kysytään ainoastaan sillä erolla, että emme enää ole saamassa toista lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joista toisen sukupuoli tiedetään. Se on ihan sama, kumpiko niistä lapsista on poika, kun ainoa muuttuva tekijä on enää sen toisen lapsen sukupuoli. Toinen on jo lukittu, joten ei sille enää lasketa todennäköisyyttä. 

Yritä nyt ymmärtää, että perheitä, joissa on kaksi eri sukupuolta olevaa lasta on kaksi kertaa enemmän kuin perheitä, joissa on kaksi poikaa.

Jos tiedettäisiin, että vanhempi on poika, mahdollisuudet siihen, että nuorempikin on, on 50%, koska kaikki vaihtoehdot jossa vanhempi on tyttö tippuvat pois. Nyt pois tippuu vain t+t, joten perheitä, joissa on t+p kummin tahansa päin syntyneenä on 2x enemmän kuin p+p perheitä.

No entä sitten? Meitä ei kiinnosta pätkääkään, kumpiko lapsista on vanhempi, nehän voivat olla vaikka kaksoset tai toinen voi olla adoptoitu, jonka tarkkaa ikää ei tiedetä. Joka tapauksessa meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä ja toisen lapsen sukupuoli tiedetään. 

Todellakin kiinnostaa. Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika. Jos taas ensimmäinen lapsi on poika, voi toinen lapsi olla poika tai tyttö.

-Eihän se niin mene. Voi tulla 2 tyttöäkin, jos tekee 2 lasta.

-Voi tulla tyttö ja poika.

-Voi tulla myös 2 poikaa.

Ai hitsi, oisko se sitten 1/3? Mutta miten niin "ainakin poika"? Ikinä en oo sellaisesta sukupuolesta kuullut.

Entäs muu-sukupuoliset? Voi sieltä tulla transukin...

Sekava tapaus.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Tämähän ei ole sama kysymys. Sinun kysymyksessäsi vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Jukka ja pojat -kysymyksessä eivät ole, koska tyttö-poika-perheitä on enemmän.

Jos sinun miehilläsi B ja C on molemmilla vaaleat hiukset, niin onko puolisosi todennäköisyys olla vaaleahiuksinen 1/3?

Mitä tuo tyttö-poika-perheiden todennäköisyys nyt tähän liittyy? Nyt puhutaan todennäköisyyksistä tämän yhden perheen lasten sukupuolien osalta, eikä verrattuna kaikkiin maailman perheisiin.

Todennäköisyys tämän yhden perheen kohdalla on identtisesti sama kuin kaikkien muidenkin maailman perheiden kohdalla joissa on vähintään yksi poika. Ja koska perheitä, joissa on vähintään yksi poika on tuplasti enemmän siinä muodossa että lapset ovat eri sukupuolta kuin perheitä missä on kaksi poikaa nähdään nopeasti että x + 2x = 1, ja x = 1/3.

Ei ole sama, jos on jo annettu ehto, että toisen lapsista tiedetään olevan poika. Silloin meitä ei enää kiinnosta skenaario, olisiko se tietämämme poikakin voinut olla tyttö ja vaihtoehtoisesti hänen sisaruksensa olisikin poika. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos nyt sitten väkisin pitää ottaa huomioon myös se, kuka syntyy ensin, ei silloinkaan kummassakaan skenaariossa ole kuin kaksi vaihtoehtoa. 

Jos vanhempi lapsi on poika: 

P+P tai P+T

Jos nuorempi lapsi on poika: 

P+P tai T+P 

Ei ole sellaista vaihtoehtoa, että se tiedetty lapsi on yhtä aikaa nuorempi ja vanhempi. 

Oikein. Ja mikä on noiden skenaarioiden yhteenlaskettu todennäköisyys, koska toinenhan niistä toteutuu mutta emme tiedä kumpi?

Näistä voi toteutua vain yksi kerrallaan ja molemmissa tapauksissa vastaus on 1/2. Näiden kombinaatiota ei lasketa, koska se ei ole mahdollinen. 

Niin, mutta laskutoimituksesi ei mitenkään huomioi sitä, että kummatkin skenaariot ovat mahdollisia. Sinä olet laskenut vain laskun ”meillä on yksi poika, millä todennäköisyydellä saamme toisen” joka ei ole lainkaan sitä mitä tehtävässä kysytään.

Ottaahan se sen huomioon. Molemmat skenaariot ovat tuossa esitettyinä ja niissä molemmissa skenaarioissa vastaus on 1/2. Ei ole yhtäkään tilannetta, jossa vielä ihmettelisimme, mikä sen pojaksi tiedetyn lapsen sukupuoli on. 

Tuo on täsmälleen, mitä tehtävässä kysytään ainoastaan sillä erolla, että emme enää ole saamassa toista lasta. Meillä on jo kaksi lasta, joista toisen sukupuoli tiedetään. Se on ihan sama, kumpiko niistä lapsista on poika, kun ainoa muuttuva tekijä on enää sen toisen lapsen sukupuoli. Toinen on jo lukittu, joten ei sille enää lasketa todennäköisyyttä. 

Yritä nyt ymmärtää, että perheitä, joissa on kaksi eri sukupuolta olevaa lasta on kaksi kertaa enemmän kuin perheitä, joissa on kaksi poikaa.

Jos tiedettäisiin, että vanhempi on poika, mahdollisuudet siihen, että nuorempikin on, on 50%, koska kaikki vaihtoehdot jossa vanhempi on tyttö tippuvat pois. Nyt pois tippuu vain t+t, joten perheitä, joissa on t+p kummin tahansa päin syntyneenä on 2x enemmän kuin p+p perheitä.

No entä sitten? Meitä ei kiinnosta pätkääkään, kumpiko lapsista on vanhempi, nehän voivat olla vaikka kaksoset tai toinen voi olla adoptoitu, jonka tarkkaa ikää ei tiedetä. Joka tapauksessa meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä ja toisen lapsen sukupuoli tiedetään. 

Tuliko sieltä lumihiutale-jani-jannica?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Olen sinkku. Tunnen kolme miestä, jotka haluavat mennä kanssani naimisiin ja joista valitsen puolison. Miten monta kombinaatiota minun avioliitossani voi olla? 

Minä + Mies A

Minä + Mies B

Minä + Mies C

Eikö niin? On kolme mahdollista kombinaatiota. 

Mistä ihmeestä siihen yhtäkkiä tulisi vielä kombinaatiot

Mies A + Minä

Mies B + Minä

Mies C + Minä

Kyllä niitä kombinaatioita on tasan kolme eikä kuutta. 

Tämähän ei ole sama kysymys. Sinun kysymyksessäsi vaihtoehdot ovat yhtä todennäköisiä. Jukka ja pojat -kysymyksessä eivät ole, koska tyttö-poika-perheitä on enemmän.

Jos sinun miehilläsi B ja C on molemmilla vaaleat hiukset, niin onko puolisosi todennäköisyys olla vaaleahiuksinen 1/3?

Mitä tuo tyttö-poika-perheiden todennäköisyys nyt tähän liittyy? Nyt puhutaan todennäköisyyksistä tämän yhden perheen lasten sukupuolien osalta, eikä verrattuna kaikkiin maailman perheisiin.

Todennäköisyys tämän yhden perheen kohdalla on identtisesti sama kuin kaikkien muidenkin maailman perheiden kohdalla joissa on vähintään yksi poika. Ja koska perheitä, joissa on vähintään yksi poika on tuplasti enemmän siinä muodossa että lapset ovat eri sukupuolta kuin perheitä missä on kaksi poikaa nähdään nopeasti että x + 2x = 1, ja x = 1/3.

Ei ole sama, jos on jo annettu ehto, että toisen lapsista tiedetään olevan poika. Silloin meitä ei enää kiinnosta skenaario, olisiko se tietämämme poikakin voinut olla tyttö ja vaihtoehtoisesti hänen sisaruksensa olisikin poika. 

Toi ainakin-sana hämää...