Lue keskustelun säännöt.
Alue: Aihe vapaa
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
Nyt ehkä minullekin alkaa aueta, mutta en silti ihan käsitä. Mistä helkkarista se kolmas vaihtoehto siihen tulee, kun edelleen yhdellä ihmisellä voi olla vain yksi sukupuoli ja jos kahdesta ihmisestä tiedämme toisen sukupuolen, miksi meidän pitäisi arpoa vielä kuitenkin onko hän tyttö vai poika.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
Nyt ehkä minullekin alkaa aueta, mutta en silti ihan käsitä. Mistä helkkarista se kolmas vaihtoehto siihen tulee, kun edelleen yhdellä ihmisellä voi olla vain yksi sukupuoli ja jos kahdesta ihmisestä tiedämme toisen sukupuolen, miksi meidän pitäisi arpoa vielä kuitenkin onko hän tyttö vai poika.
Siitä, että voit valita joukon ["kaksi lasta, joista molemmat eivät ole tyttöjä"] kolmella keskenään yhtä todennäköisellä tavalla. Tai jos haluat ajatella todennäköisyyksien kautta, todennäköisyys että molemmat ovat poikia on x, ja tiedämme että todennäköisyys että molemmat ovat keskenään eri sukupuolta on kaksinkertainen, 2x. Saadaan x + 2x = 1, 3x = 1, x = 1/3.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
Nyt ehkä minullekin alkaa aueta, mutta en silti ihan käsitä. Mistä helkkarista se kolmas vaihtoehto siihen tulee, kun edelleen yhdellä ihmisellä voi olla vain yksi sukupuoli ja jos kahdesta ihmisestä tiedämme toisen sukupuolen, miksi meidän pitäisi arpoa vielä kuitenkin onko hän tyttö vai poika.
On eri asia, kysytäänkö yhden tietyn ihmisen sukupuolta, vai kahden ihmisen sukupuolia kokonaisuutena.
Satunnaisesti muodostuneista ihmispareista puolet - ei kolmasosa - on eri sukupuolta olevia.
Todennäköisyys eri tyylisiin pareihin:
25 % tyttö + tyttö
25 % poika + poika
50 % tyttö + poika (kumminpäin tahansa)
Kaikista pareista 75 %:sta löytyy tyttö. Kaikista pareista 75 %:sta löytyy poika. Kaikista pareista, joista löytyy poika, kolmaosasta (25/75) löytyy kaksi poikaa.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Olisiko sanavalinta "vähintään yksi" selkeämpi kuin "ainakin toinen"?
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Tuon voi ajatella myös niin, että jos haluttaisiin korostaa että kyseessä on satunnaisesti valittu perhe, niin tehtävässä ei tietenkään puhuttaisi yhdestä nimetystä perheestä. Tulkinnanvaraisuus on tekemällä tehtyä venkoilua, joka ei todellisuudessa jätä mitään tulkinnan varaa minkään loogisen käyttäytymismallin mukaan.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
On kaksi komeroa, joissa molemmissa on yksi ihminen. Vasemmassa komerossa on poika. Millä todennäköisyydellä molemmissa komeroissa on poika?
Vastaus: 1/2
On yksi komero, jossa on kaksi ihmistä. Ainakin toinen on poika. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat poikia?
Vastaus: 1/3
Nyt ehkä minullekin alkaa aueta, mutta en silti ihan käsitä. Mistä helkkarista se kolmas vaihtoehto siihen tulee, kun edelleen yhdellä ihmisellä voi olla vain yksi sukupuoli ja jos kahdesta ihmisestä tiedämme toisen sukupuolen, miksi meidän pitäisi arpoa vielä kuitenkin onko hän tyttö vai poika.
On eri asia, kysytäänkö yhden tietyn ihmisen sukupuolta, vai kahden ihmisen sukupuolia kokonaisuutena.
Satunnaisesti muodostuneista ihmispareista puolet - ei kolmasosa - on eri sukupuolta olevia.
Todennäköisyys eri tyylisiin pareihin:
25 % tyttö + tyttö
25 % poika + poika
50 % tyttö + poika (kumminpäin tahansa)Kaikista pareista 75 %:sta löytyy tyttö. Kaikista pareista 75 %:sta löytyy poika. Kaikista pareista, joista löytyy poika, kolmaosasta (25/75) löytyy kaksi poikaa.
Juu, alan tajuta. Mutta mikä on sitten se määrittelevä tekijä, miksi pitää ajatella tuolla tavalla kokonaisuutena, kun meillä on kuitenkin olemassa ehdot 1) kaksi lasta 2) toinen lapsi on poika. Eikö silloin ainoa tuntematon muuttuja ole sen toisen henkilön sukupuoli eikä heidän sisaruutensa sitä todennäköisyyttä muuta miksikään.
Eikö sen kolikonheitonkin todennäköisyys ole kerta toisensa jälkeen 1/2 vaikka sadas kruuna peräkkäin vaikuttaisi todella epätodennäköiseltä. Jos sinulla on jo ne 99 kruunaa, sen viimeisen heiton todennäköisyys on joka tapauksessa 1/2 eikä 1/199. Siinähän on jo ne 99 kruunaa pohjalla, joten eihän siinä mitata koko tapahtuman todennäköisyyttä, vaan nimenomaan sitä tilannetta, jossa se viimeinen heitto ratkaisee. Siinä se todennäköisyys on kuitenkin se 1/2. Näin minulle ainakin koulussa opetettiin. Mikä lie pelaajan harha vai miksi sitä kutsuttiin.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Ei vaan nimenomaan päinvastoin. Tuo 1/3 :han viittaa nimenomaan siihen, että perhe valitaan satunnaisesti, eli se perhe kuuluu tuolla todennäköisyydellä joukkoon, jossa molemmat ovat poikia. Nyt kun mietitään vain Jukkaa ja hänen lapsiaan, me tietysti mietimme vain niiden lapsien mahdollisia sukupuolia eikä sitä "synnytysfarmia".
Siis tämä tehtävähän on ikivanha paradoksi, johon ei ole olemassa oikeaa vastausta.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eikö todennäköisyysmatematiikassa aina vähene sen todennäköisyys, joita ryhmässä on jo paljon? Jos Jukalla on 10 lasta ja heistä on 9 poikia, sen kymmenennen tyttöyden todennäköisyys on 1/2, mutta pojan todennäköisyys on liuennut jonnekin tasolle 1/50?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Kysytäänkö toisen TIETYN lapsen sukupuolta (esim. vanhemman, fiksumman, kivemman, erikoisemman, haasteellisemman, pitemmän...) vai KUMMAN TAHANSA sukupuolta?
Jos tietty lapsi on poika, niin se toinenkin on vain joku tietty lapsi, joka on poika todennäköisyydellä 1/2, kuten kuka tahansa satunnainen yksittäinen lapsi.
Mutta jos kumpi tahansa eli "vähintään yksi kahdesta" on poika, niin "molemmat ovat poikia" eli "se toinenkin on poika" todennäköisyydellä 1/3.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Eikö todennäköisyysmatematiikassa aina vähene sen todennäköisyys, joita ryhmässä on jo paljon? Jos Jukalla on 10 lasta ja heistä on 9 poikia, sen kymmenennen tyttöyden todennäköisyys on 1/2, mutta pojan todennäköisyys on liuennut jonnekin tasolle 1/50?
tämän takia en ole koskaan tykännyt todennäköisyyslaskennasta, kun ensin sanotaan, että mahdollisuus on aina 1/2 ja muu on harhaa, mutta sitten toisessa yhteydessä sanotaankin, että ei se olekaan niin vaan yhtäkkiä todennäköisyys onkin riippuvainen siitä, mitä on aiemmin tapahtunut.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Kysytäänkö toisen TIETYN lapsen sukupuolta (esim. vanhemman, fiksumman, kivemman, erikoisemman, haasteellisemman, pitemmän...) vai KUMMAN TAHANSA sukupuolta?
Jos tietty lapsi on poika, niin se toinenkin on vain joku tietty lapsi, joka on poika todennäköisyydellä 1/2, kuten kuka tahansa satunnainen yksittäinen lapsi.
Mutta jos kumpi tahansa eli "vähintään yksi kahdesta" on poika, niin "molemmat ovat poikia" eli "se toinenkin on poika" todennäköisyydellä 1/3.
Mutta sillä hetkellä, kun Jukka vastaa, hänhän vastaa nimenomaan vähintään jommastakummasta lapsesta, eikä se lapsi enää vaihdu eikä vaihda sukupuoltaan. Siksi meidän arvoitukseksi jää ainoastaan se yksi lapsi, jonka sukupuoli voi olla kumpi tahansa.
Vierailija kirjoitti:
Eikö sen kolikonheitonkin todennäköisyys ole kerta toisensa jälkeen 1/2 vaikka sadas kruuna peräkkäin vaikuttaisi todella epätodennäköiseltä. Jos sinulla on jo ne 99 kruunaa, sen viimeisen heiton todennäköisyys on joka tapauksessa 1/2 eikä 1/199. Siinähän on jo ne 99 kruunaa pohjalla, joten eihän siinä mitata koko tapahtuman todennäköisyyttä, vaan nimenomaan sitä tilannetta, jossa se viimeinen heitto ratkaisee. Siinä se todennäköisyys on kuitenkin se 1/2. Näin minulle ainakin koulussa opetettiin. Mikä lie pelaajan harha vai miksi sitä kutsuttiin.
Kyllä, juuri noin. Mutta kun tässä ei tilanne ole se, että olet heittänyt yhden kruunan ja kysytään että millä todennäköisyydellä heität toisenkin kruunan.
Tässä tilanne on se, että tiedät että kolikkoa on heitetty kaksi kertaa, joista vähintään yhdellä heitolla tuli kruuna. Mikä on todennäköisyys että molemmat heitot oli kruunuja? Tämä on ehdollinen todennäköisyys jonka voita laskea Bayesin teoreemaa käyttäen:
P("kaksi kruunaa" | "vähintään yksi kruuna kahdesta") =
(P["vähintään yksi kruuna" | "kaksi kruunaa"] * P["kaksi kruunaa"]) / P["vähintään yksi kruuna"] =
(1 * 0,25) / 0,75 =
1/3
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Ei vaan nimenomaan päinvastoin. Tuo 1/3 :han viittaa nimenomaan siihen, että perhe valitaan satunnaisesti, eli se perhe kuuluu tuolla todennäköisyydellä joukkoon, jossa molemmat ovat poikia. Nyt kun mietitään vain Jukkaa ja hänen lapsiaan, me tietysti mietimme vain niiden lapsien mahdollisia sukupuolia eikä sitä "synnytysfarmia".
Ei, "1/3" tarkoittaa että perhe kuuluu rajattuun joukkoon ["kaksi lasta, joista vähintään toinen on poika"] kun taas "1/2" edellyttää että perhe on valittu satunnaisesti kaikkien kaksilapsisten perheiden joukosta. Ehkä ilmaisin itseni vähän huonosti.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Kysytäänkö toisen TIETYN lapsen sukupuolta (esim. vanhemman, fiksumman, kivemman, erikoisemman, haasteellisemman, pitemmän...) vai KUMMAN TAHANSA sukupuolta?
Jos tietty lapsi on poika, niin se toinenkin on vain joku tietty lapsi, joka on poika todennäköisyydellä 1/2, kuten kuka tahansa satunnainen yksittäinen lapsi.
Mutta jos kumpi tahansa eli "vähintään yksi kahdesta" on poika, niin "molemmat ovat poikia" eli "se toinenkin on poika" todennäköisyydellä 1/3.
Mutta sillä hetkellä, kun Jukka vastaa, hänhän vastaa nimenomaan vähintään jommastakummasta lapsesta, eikä se lapsi enää vaihdu eikä vaihda sukupuoltaan. Siksi meidän arvoitukseksi jää ainoastaan se yksi lapsi, jonka sukupuoli voi olla kumpi tahansa.
Jukka ei vastaa mitään, hän vain kertoo meille nämä kaksi asiaa perheestään.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
"Thus, if it is assumed that both children were considered while looking for a boy, the answer to question 2 is 1/3. However, if the family was first selected and then a random, true statement was made about the sex of one child in that family, whether or not both were considered, the correct way to calculate the conditional probability is not to count all of the cases that include a child with that sex." https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Analysis_of_the_ambig…
Ei tässä tehtävässä valita perhettä. Törmäämme Jukkaan kadulla tms. ja hän kertoo meille tuon asian perheestään.
Jos tehtävä olisi annettu muodossa: "Otetaan satunnainen perhe ja kysytään toisen lapsen sukupuoli. Jos lapsi on poika, millä todennäköisyydellä toinenkin on poika?" olisi vastaus 1/2.
Tuon voi ajatella myös niin, että jos haluttaisiin korostaa että kyseessä on satunnaisesti valittu perhe, niin tehtävässä ei tietenkään puhuttaisi yhdestä nimetystä perheestä. Tulkinnanvaraisuus on tekemällä tehtyä venkoilua, joka ei todellisuudessa jätä mitään tulkinnan varaa minkään loogisen käyttäytymismallin mukaan.
Kyllä se perhe on valittu, kun valitsemme Jukan. Jukka tulee valituksi, kun törmäät kadulla häneen etkä johonkuhun toiseen. Kysymys ei kuulu, "jos valitset satunnaisen henkilön jolla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on tyttö..." vaan "Jukalla on kaksi lasta..."
Vastaus riippuu siis siitä, lähdetkö kävelylle kadulle, jolla on ainoastaan Jukka-nimisiä kahden lapsen ja vähintään yhden poikalapsen isiä ja törmäät heistä yhteen. Jos kyllä, todennäköisyys kahdelle pojalle on 1/3. Jos taas Jukka on vain joku tyyppi, jolla sattuu olemaan kaksi lasta joista toinen sattuu olemaan poika, vastaus on 1/2. Kumpi näistä on venkoilua, päätä itse.
Alue: Aihe vapaa
Vastaa samaa kuin se ylempi esimerkki. Avatun oven voi nimetä "vasemmaksi oveksi".