Lue keskustelun säännöt.
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66?
ohis
Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.
Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
Miten siitä nyt tulikin 50/50? Jos sanoisin "minulla on kaksi korttia joista vähintään yksi on musta", todennäköisyyden piti olla 1/3 että molemmat ovat mustia..? Missä ero?
Siinä että tuo sanomasi on AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma. Ehdottamasi peli on "jaa kaksi korttia, millä todennäköisyydellä ne ovat samaa väriä?"
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen?
Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.
Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on?
Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika.
Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5.
0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5
Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset.
Voitko korvata nuo numerot muuttujilla ja kertoa mitä mikäkin muuttuja tarkoittaa?
(Tapaus A:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa A) + (Tapaus B:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa B)
OK, no lasket tuon nyt jostain syystä kahteen kertaan vaikka "kaksi poikaa" on identtinen tapaus kummassakin vaihtoehdossa. Oikea laskutoimitus olisi 1 * 0,5: "yksi lapsi on poika" * "toinenkin lapsi on poika".
Sinä siis lasket että mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika. Se on eri asia kuin ehdollinen todennäköisyys P("kaksi poikaa" | "ainakin yksi poika").
Siis eikö tätä nimenomaan kysytty?
Ei. Kysyttiin ehdollista todennäköisyyttä: Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Anteeksi, mutta en parhaalla tahdollakaan ymmärrä, mikä ero näillä on, paitsi siinä, että sinä lasket eri kaavalla kuin minä:
1) Mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika
2) Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Ero on se sana jos ja sitä edeltävä pilkku, joka kertoo meille että nyt on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä.
Niin? Mehän tiedämme, että yksi Jukan lapsista on poika. Eli meidän ei tarvitse jossitella, vaan se on tuo "kun" -vaihtoehto. Eli se, mitä minä laskin.
Emmekä tiedä, vaan poikia voi olla yksi tai useampi. Sinä et laskenut ehdollista todennäköisyyttä. Koko tuon tekstirotlan voi poistaa, ja tehtävän voi antaa suoraan seuraavassa muodossa.
Laske:
P(A | B), jossa
A = "Kaksilapsisen perheen molemmat lapset ovat poikia."
B = "Ainakin toinen perheen lapsista on poika."
Hei, nyt jarrut päälle. Missä kohdassa tuossa minun laskussani ei nyt oteta huomioon, että poikia voi olla yksi tai useampi? Joku muu nyt kertoi tuon minun laskuni sanallisessa muodossa, joten tuo sanamuotoon en nyt voi ottaa kantaa.
Siinä, että laskit lähtötilanteet (TP) ja (PT) mutta et (PP).
Laskinhan. Se oli molemmissa tapauksissa (A ja B) aina se toinen vaihtoehto (0,5). Lue uudestaan ajatuksen kanssa.
Se voi myös olla lähtötilanne, ja sitä et ole huomioinut millään tapaa. Ja joka tapauksessa kysymyksessä haettiin tuota ehdollista todennäköisyyttä, ei sinun laskemaa yhden lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.
Mikä ihmeen lähtötilanne? Ei minulla ollut lähtötilanteessa kuin se yksi poika ja sitten laskettiin todennäköisyys, jolla toinenkin lapsi on poika. Eihän se yksi poika voi olla yhtä aikaa yksinään PP.
No kun missään ei ole edelleenkään sanottu että poikia on vain yksi, vaan niitä on *vähintään* yksi. Jolloin niitä voi yhtä hyvin olla kaksi.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66?
ohis
Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.
Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.
Nimenomaan tästä tässä on väännetty. On täysin yhdentekevää, puhutaanko korttien väreitä vai lasten sukupuolista. Todennäköisyyslaskennassa on täsmälleen samat lainalaisuudet. Jos kuvitellaan, että siinä korttipakassa on jonossa Jukan ja Eeron ja Matin ja Liisan ja Pirkon lapset, eikö tilanne olisi täysin sama, että sieltä tupsahtelee niitä värejä pareittan sitten ihan sillä samalla todennäköisyydellä kuin lapsienkin sukupuolet.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen?
Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.
Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on?
Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika.
Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5.
0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5
Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset.
Voitko korvata nuo numerot muuttujilla ja kertoa mitä mikäkin muuttuja tarkoittaa?
(Tapaus A:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa A) + (Tapaus B:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa B)
OK, no lasket tuon nyt jostain syystä kahteen kertaan vaikka "kaksi poikaa" on identtinen tapaus kummassakin vaihtoehdossa. Oikea laskutoimitus olisi 1 * 0,5: "yksi lapsi on poika" * "toinenkin lapsi on poika".
Sinä siis lasket että mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika. Se on eri asia kuin ehdollinen todennäköisyys P("kaksi poikaa" | "ainakin yksi poika").
Siis eikö tätä nimenomaan kysytty?
Ei. Kysyttiin ehdollista todennäköisyyttä: Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Anteeksi, mutta en parhaalla tahdollakaan ymmärrä, mikä ero näillä on, paitsi siinä, että sinä lasket eri kaavalla kuin minä:
1) Mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika
2) Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Ero on se sana jos ja sitä edeltävä pilkku, joka kertoo meille että nyt on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä.
Niin? Mehän tiedämme, että yksi Jukan lapsista on poika. Eli meidän ei tarvitse jossitella, vaan se on tuo "kun" -vaihtoehto. Eli se, mitä minä laskin.
Emmekä tiedä, vaan poikia voi olla yksi tai useampi. Sinä et laskenut ehdollista todennäköisyyttä. Koko tuon tekstirotlan voi poistaa, ja tehtävän voi antaa suoraan seuraavassa muodossa.
Laske:
P(A | B), jossa
A = "Kaksilapsisen perheen molemmat lapset ovat poikia."
B = "Ainakin toinen perheen lapsista on poika."
Hei, nyt jarrut päälle. Missä kohdassa tuossa minun laskussani ei nyt oteta huomioon, että poikia voi olla yksi tai useampi? Joku muu nyt kertoi tuon minun laskuni sanallisessa muodossa, joten tuo sanamuotoon en nyt voi ottaa kantaa.
Siinä, että laskit lähtötilanteet (TP) ja (PT) mutta et (PP).
Laskinhan. Se oli molemmissa tapauksissa (A ja B) aina se toinen vaihtoehto (0,5). Lue uudestaan ajatuksen kanssa.
Se voi myös olla lähtötilanne, ja sitä et ole huomioinut millään tapaa. Ja joka tapauksessa kysymyksessä haettiin tuota ehdollista todennäköisyyttä, ei sinun laskemaa yhden lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.
Mikä ihmeen lähtötilanne? Ei minulla ollut lähtötilanteessa kuin se yksi poika ja sitten laskettiin todennäköisyys, jolla toinenkin lapsi on poika. Eihän se yksi poika voi olla yhtä aikaa yksinään PP.
No kun missään ei ole edelleenkään sanottu että poikia on vain yksi, vaan niitä on *vähintään* yksi. Jolloin niitä voi yhtä hyvin olla kaksi.
Niin, mutta siinä vaiheessa kun meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan, ei meillä voi olla vasta kuin yksi poikakaan. Sitten vasta kun se on määritelty, mietitään, onko se toinenkin poika vai ei. Lähtökohta on siis "ainakin yksi poika" ja sitten mietitään onko myös toinen.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Lopettakaa jauhaminen tästä ongelmasta, se on ratkaistu: 1/3.
Nyt tulee mielenkiintoisempi ongelma, jonka todennäköisyys ei ole 1/3 eikä 1/2:
Jukka sanoo: minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, joka on syntynyt tiistaina.
Mikä on todennäköisyys, että Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66?
ohis
Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.
Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.
Nimenomaan tästä tässä on väännetty. On täysin yhdentekevää, puhutaanko korttien väreitä vai lasten sukupuolista. Todennäköisyyslaskennassa on täsmälleen samat lainalaisuudet. Jos kuvitellaan, että siinä korttipakassa on jonossa Jukan ja Eeron ja Matin ja Liisan ja Pirkon lapset, eikö tilanne olisi täysin sama, että sieltä tupsahtelee niitä värejä pareittan sitten ihan sillä samalla todennäköisyydellä kuin lapsienkin sukupuolet.
No se riippuu sitten taas ihan siitä mitä kysytään. Kyllä, on 50% tn että satunnaisen kaksilapsisen perheen lapset ovat eri sukupuolta keskenään. Ja 25% todennäköisyydellä kummatkin ovat poikia. Joten jos kysytään todennäköisyyttä perheen lasten olevan poikia, jos perheessä on vähintään yksi poika saadaan siitä suoraan 25/75 = 1/3. Jos taas kysytään että mikä on yhden pojan lisäksi todennäköisyys että perheessä on toinen poika, on vastaus 1/2.
AP:n tehtävässä kysyttiin tuota ensimmäistä.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
Miten siitä nyt tulikin 50/50? Jos sanoisin "minulla on kaksi korttia joista vähintään yksi on musta", todennäköisyyden piti olla 1/3 että molemmat ovat mustia..? Missä ero?
Siinä että tuo sanomasi on AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma. Ehdottamasi peli on "jaa kaksi korttia, millä todennäköisyydellä ne ovat samaa väriä?"
Jos Jukka ja kaikki hänen tuntemansa kahden perheen vanhemmat kirjoittavat niihin kortteihin lapsensa sukupuolet, eikö peli olisi ihan täsmälleen tällainen. Pakasta tulisi aina kunkin perheen lasten sukupuolet peräkkäin.
ohis
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen?
Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.
Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on?
Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika.
Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5.
0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5
Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset.
Voitko korvata nuo numerot muuttujilla ja kertoa mitä mikäkin muuttuja tarkoittaa?
(Tapaus A:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa A) + (Tapaus B:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa B)
OK, no lasket tuon nyt jostain syystä kahteen kertaan vaikka "kaksi poikaa" on identtinen tapaus kummassakin vaihtoehdossa. Oikea laskutoimitus olisi 1 * 0,5: "yksi lapsi on poika" * "toinenkin lapsi on poika".
Sinä siis lasket että mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika. Se on eri asia kuin ehdollinen todennäköisyys P("kaksi poikaa" | "ainakin yksi poika").
Siis eikö tätä nimenomaan kysytty?
Ei. Kysyttiin ehdollista todennäköisyyttä: Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Anteeksi, mutta en parhaalla tahdollakaan ymmärrä, mikä ero näillä on, paitsi siinä, että sinä lasket eri kaavalla kuin minä:
1) Mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika
2) Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Ero on se sana jos ja sitä edeltävä pilkku, joka kertoo meille että nyt on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä.
Niin? Mehän tiedämme, että yksi Jukan lapsista on poika. Eli meidän ei tarvitse jossitella, vaan se on tuo "kun" -vaihtoehto. Eli se, mitä minä laskin.
Emmekä tiedä, vaan poikia voi olla yksi tai useampi. Sinä et laskenut ehdollista todennäköisyyttä. Koko tuon tekstirotlan voi poistaa, ja tehtävän voi antaa suoraan seuraavassa muodossa.
Laske:
P(A | B), jossa
A = "Kaksilapsisen perheen molemmat lapset ovat poikia."
B = "Ainakin toinen perheen lapsista on poika."
Hei, nyt jarrut päälle. Missä kohdassa tuossa minun laskussani ei nyt oteta huomioon, että poikia voi olla yksi tai useampi? Joku muu nyt kertoi tuon minun laskuni sanallisessa muodossa, joten tuo sanamuotoon en nyt voi ottaa kantaa.
Siinä, että laskit lähtötilanteet (TP) ja (PT) mutta et (PP).
Laskinhan. Se oli molemmissa tapauksissa (A ja B) aina se toinen vaihtoehto (0,5). Lue uudestaan ajatuksen kanssa.
Se voi myös olla lähtötilanne, ja sitä et ole huomioinut millään tapaa. Ja joka tapauksessa kysymyksessä haettiin tuota ehdollista todennäköisyyttä, ei sinun laskemaa yhden lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.
Mikä ihmeen lähtötilanne? Ei minulla ollut lähtötilanteessa kuin se yksi poika ja sitten laskettiin todennäköisyys, jolla toinenkin lapsi on poika. Eihän se yksi poika voi olla yhtä aikaa yksinään PP.
No kun missään ei ole edelleenkään sanottu että poikia on vain yksi, vaan niitä on *vähintään* yksi. Jolloin niitä voi yhtä hyvin olla kaksi.
Niin, mutta siinä vaiheessa kun meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan, ei meillä voi olla vasta kuin yksi poikakaan. Sitten vasta kun se on määritelty, mietitään, onko se toinenkin poika vai ei. Lähtökohta on siis "ainakin yksi poika" ja sitten mietitään onko myös toinen.
Meillä on koko ajan kaksi lasta joiden sukupuolista puhutaan. Kyseessä on nimenomaan molempien lasten sukupuolet, jos tiedetään jakaumasta jokin asia X.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Lopettakaa jauhaminen tästä ongelmasta, se on ratkaistu: 1/3.
Nyt tulee mielenkiintoisempi ongelma, jonka todennäköisyys ei ole 1/3 eikä 1/2:
Jukka sanoo: minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, joka on syntynyt tiistaina.
Mikä on todennäköisyys, että Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Internetin mukaan 48,1%, en tosin jaksanut tutustua perusteluihin.
Vierailija kirjoitti:
Lopettakaa jauhaminen tästä ongelmasta, se on ratkaistu: 1/3.
Nyt tulee mielenkiintoisempi ongelma, jonka todennäköisyys ei ole 1/3 eikä 1/2:
Jukka sanoo: minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, joka on syntynyt tiistaina.
Mikä on todennäköisyys, että Jukan molemmat lapset ovat poikia?
En oikein ymmärrä tätä. Onko tässä jokin kompa tai vitsi? Onko viikonpäivällä oikeasti merkitystä?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66?
ohis
Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.
Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.
Nimenomaan tästä tässä on väännetty. On täysin yhdentekevää, puhutaanko korttien väreitä vai lasten sukupuolista. Todennäköisyyslaskennassa on täsmälleen samat lainalaisuudet. Jos kuvitellaan, että siinä korttipakassa on jonossa Jukan ja Eeron ja Matin ja Liisan ja Pirkon lapset, eikö tilanne olisi täysin sama, että sieltä tupsahtelee niitä värejä pareittan sitten ihan sillä samalla todennäköisyydellä kuin lapsienkin sukupuolet.
No se riippuu sitten taas ihan siitä mitä kysytään. Kyllä, on 50% tn että satunnaisen kaksilapsisen perheen lapset ovat eri sukupuolta keskenään. Ja 25% todennäköisyydellä kummatkin ovat poikia. Joten jos kysytään todennäköisyyttä perheen lasten olevan poikia, jos perheessä on vähintään yksi poika saadaan siitä suoraan 25/75 = 1/3. Jos taas kysytään että mikä on yhden pojan lisäksi todennäköisyys että perheessä on toinen poika, on vastaus 1/2.
AP:n tehtävässä kysyttiin tuota ensimmäistä.
Eli selitäpäs, miten se tuossa korttipelissä sitten menisi. Jäätkö voitolle, jos saat voittaessasi 75 ja hävitessäsi maksat 100, kun kuitenkin todennäköisyys on puolellasi?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Lopettakaa jauhaminen tästä ongelmasta, se on ratkaistu: 1/3.
Nyt tulee mielenkiintoisempi ongelma, jonka todennäköisyys ei ole 1/3 eikä 1/2:
Jukka sanoo: minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, joka on syntynyt tiistaina.
Mikä on todennäköisyys, että Jukan molemmat lapset ovat poikia?
En oikein ymmärrä tätä. Onko tässä jokin kompa tai vitsi? Onko viikonpäivällä oikeasti merkitystä?
On, voin luvata sen.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
On, ja jos et usko niin googlaa boy or girl tuesday.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen?
Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.
Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on?
Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika.
Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)
Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5.
0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5
Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset.
Voitko korvata nuo numerot muuttujilla ja kertoa mitä mikäkin muuttuja tarkoittaa?
(Tapaus A:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa A) + (Tapaus B:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa B)
OK, no lasket tuon nyt jostain syystä kahteen kertaan vaikka "kaksi poikaa" on identtinen tapaus kummassakin vaihtoehdossa. Oikea laskutoimitus olisi 1 * 0,5: "yksi lapsi on poika" * "toinenkin lapsi on poika".
Sinä siis lasket että mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika. Se on eri asia kuin ehdollinen todennäköisyys P("kaksi poikaa" | "ainakin yksi poika").
Siis eikö tätä nimenomaan kysytty?
Ei. Kysyttiin ehdollista todennäköisyyttä: Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Anteeksi, mutta en parhaalla tahdollakaan ymmärrä, mikä ero näillä on, paitsi siinä, että sinä lasket eri kaavalla kuin minä:
1) Mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika
2) Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.
Ero on se sana jos ja sitä edeltävä pilkku, joka kertoo meille että nyt on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä.
Niin? Mehän tiedämme, että yksi Jukan lapsista on poika. Eli meidän ei tarvitse jossitella, vaan se on tuo "kun" -vaihtoehto. Eli se, mitä minä laskin.
Emmekä tiedä, vaan poikia voi olla yksi tai useampi. Sinä et laskenut ehdollista todennäköisyyttä. Koko tuon tekstirotlan voi poistaa, ja tehtävän voi antaa suoraan seuraavassa muodossa.
Laske:
P(A | B), jossa
A = "Kaksilapsisen perheen molemmat lapset ovat poikia."
B = "Ainakin toinen perheen lapsista on poika."
Hei, nyt jarrut päälle. Missä kohdassa tuossa minun laskussani ei nyt oteta huomioon, että poikia voi olla yksi tai useampi? Joku muu nyt kertoi tuon minun laskuni sanallisessa muodossa, joten tuo sanamuotoon en nyt voi ottaa kantaa.
Siinä, että laskit lähtötilanteet (TP) ja (PT) mutta et (PP).
Laskinhan. Se oli molemmissa tapauksissa (A ja B) aina se toinen vaihtoehto (0,5). Lue uudestaan ajatuksen kanssa.
Se voi myös olla lähtötilanne, ja sitä et ole huomioinut millään tapaa. Ja joka tapauksessa kysymyksessä haettiin tuota ehdollista todennäköisyyttä, ei sinun laskemaa yhden lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.
Mikä ihmeen lähtötilanne? Ei minulla ollut lähtötilanteessa kuin se yksi poika ja sitten laskettiin todennäköisyys, jolla toinenkin lapsi on poika. Eihän se yksi poika voi olla yhtä aikaa yksinään PP.
No kun missään ei ole edelleenkään sanottu että poikia on vain yksi, vaan niitä on *vähintään* yksi. Jolloin niitä voi yhtä hyvin olla kaksi.
Niin, mutta siinä vaiheessa kun meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan, ei meillä voi olla vasta kuin yksi poikakaan. Sitten vasta kun se on määritelty, mietitään, onko se toinenkin poika vai ei. Lähtökohta on siis "ainakin yksi poika" ja sitten mietitään onko myös toinen.
Meillä on koko ajan kaksi lasta joiden sukupuolista puhutaan. Kyseessä on nimenomaan molempien lasten sukupuolet, jos tiedetään jakaumasta jokin asia X.
Alussa on siis yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan. Eli se "ainakin yksi poika". Sitten siirrytään siihen toiseen lapseen, jonka sukupuolta ei tiedetä.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
Miten siitä nyt tulikin 50/50? Jos sanoisin "minulla on kaksi korttia joista vähintään yksi on musta", todennäköisyyden piti olla 1/3 että molemmat ovat mustia..? Missä ero?
Siinä että tuo sanomasi on AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma. Ehdottamasi peli on "jaa kaksi korttia, millä todennäköisyydellä ne ovat samaa väriä?"
Jos Jukka ja kaikki hänen tuntemansa kahden perheen vanhemmat kirjoittavat niihin kortteihin lapsensa sukupuolet, eikö peli olisi ihan täsmälleen tällainen. Pakasta tulisi aina kunkin perheen lasten sukupuolet peräkkäin.
ohis
Kyllä. Noin puolet pareista olisi kahta eri sukupuolta, neljännes kahta tyttöä ja neljännes kahta poikaa.
Vierailija kirjoitti:
Lopettakaa jauhaminen tästä ongelmasta, se on ratkaistu: 1/3.
Nyt tulee mielenkiintoisempi ongelma, jonka todennäköisyys ei ole 1/3 eikä 1/2:
Jukka sanoo: minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, joka on syntynyt tiistaina.
Mikä on todennäköisyys, että Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Vastasin jo kerran ulkomuistista että 1/2 - epsilon, jossa epsilon on tuon lisätyn tiedon todennäköisyys. Laskemaan en ala, mutta tuolla Bayesin teoreemalla sen toki laskettua saa.
Noh, selvä, muutan peliä seuraavasti:
Jaetaan minulle pakasta kaksi korttia. Minä katson molemmat. Jos molemmat niistä ovat punaisia, sanon aina: "Minulla on kaksi korttia, ja vähintään yksi niistä on punainen".
Jos molemmat ovat mustia, sanon aina: "Minulla on kaksi korttia, ja vähintään yksi niistä on musta".
Jos yksi korteista on punainen ja yksi on musta, sanon lauseista jomman kumman 50/50 todennäköisyydellä.
Sinun pitää edelleen veikata, ovatko molemmat kortit samaa väriä vai eivät.
Joko pelataan?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.
P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")
= (1 * 1/4) / (3/4)
= 4 / 12
= 1/3
Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.
Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.
Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.
Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?
Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.
Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?
Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.
miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66?
ohis
Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.
Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.
Nimenomaan tästä tässä on väännetty. On täysin yhdentekevää, puhutaanko korttien väreitä vai lasten sukupuolista. Todennäköisyyslaskennassa on täsmälleen samat lainalaisuudet. Jos kuvitellaan, että siinä korttipakassa on jonossa Jukan ja Eeron ja Matin ja Liisan ja Pirkon lapset, eikö tilanne olisi täysin sama, että sieltä tupsahtelee niitä värejä pareittan sitten ihan sillä samalla todennäköisyydellä kuin lapsienkin sukupuolet.
No se riippuu sitten taas ihan siitä mitä kysytään. Kyllä, on 50% tn että satunnaisen kaksilapsisen perheen lapset ovat eri sukupuolta keskenään. Ja 25% todennäköisyydellä kummatkin ovat poikia. Joten jos kysytään todennäköisyyttä perheen lasten olevan poikia, jos perheessä on vähintään yksi poika saadaan siitä suoraan 25/75 = 1/3. Jos taas kysytään että mikä on yhden pojan lisäksi todennäköisyys että perheessä on toinen poika, on vastaus 1/2.
AP:n tehtävässä kysyttiin tuota ensimmäistä.
Eli selitäpäs, miten se tuossa korttipelissä sitten menisi. Jäätkö voitolle, jos saat voittaessasi 75 ja hävitessäsi maksat 100, kun kuitenkin todennäköisyys on puolellasi?
Todennäköisyys ehdottamassasi pelissä on 50/50.
Miten siitä nyt tulikin 50/50? Jos sanoisin "minulla on kaksi korttia joista vähintään yksi on musta", todennäköisyyden piti olla 1/3 että molemmat ovat mustia..? Missä ero?