Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tuesday Changes Everything (a Mathematical Puzzle)

This is the answer: 13/27.

Many people will intuitively say that the answer is 1/2 (=the chance of having a boy or a girl), but probability aficionados will give the answer 1/3, since this is the Boy or Girl Paradox: We are not told that the speaker has a child and is waiting for another, but that he already has two children. Two children can come in four configurations: 1) boy/girl, 2) girl/boy, 3) girl/girl, 4) boy/boy. Since he has one boy, we are looking at the options 1, 2, or 4. Only the boy/boy combination includes two boys, so the probability is 1/3. In other words, order matters and completely changes probability.

So what has being born on a Tuesday got to do with it? Why would the answer not still be 1/3? The New Scientist has a good explanation toward the bottom of the article. Simply count the different combinations of genders and weekdays, which gives the result (number of combinations with two boys, at least one of which was born on a Tuesday) / (number of combinations with at least one boy born on a Tuesday). The result really is 13/27.

Ei tuo nyt kyllä avannut tilannetta ollenkaan. Miksi ne kombinaatiot pitää ottaa tuohon mukaan. Eikö perheessä voi olla kahta lasta, ellei toinen ole syntynyt tiistaina? 

Ei, kun kerran tehtäväkuvauksessa on sanottu että toinen on syntynyt tiistaina. Aivan kuten AP:n perheessä ei voi olla kahta tyttöä koska tehtäväkuvaus kieltää sen.

Ei vaan kysymykseni pointti on se, mihin se tiistaina syntyminen vaikuttaa. Miksi se on lisätty tuohon lausekkeeseen, kun jälleen sen toisen sukupuoli ja syntymäpäivä ovat täysin riippumattomia sen tiistaina syntyneen sukupuolesta ja syntymäpäivästä. 

No se vaikuttaa vain niihin mahdollisten ja suotuisten alkioiden määrään. Kuten sanottua, järjellä on täysin turha koittaa ymmärtää tätä, vaan asia aukeaa sen todennäköisyyden määritelmän mekaniikan kautta. Jos on auetaakseen, siis... :-D

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen? 

Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.

Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on? 

Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika. 

Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)

Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5) 

Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5. 

0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5 

Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset. 

Voitko korvata nuo numerot muuttujilla ja kertoa mitä mikäkin muuttuja tarkoittaa?

 

(Tapaus A:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa A) + (Tapaus B:n todennäköisyys)*(kahden pojan todennäköisyys tapauksessa B)

OK, no lasket tuon nyt jostain syystä kahteen kertaan vaikka "kaksi poikaa" on identtinen tapaus kummassakin vaihtoehdossa. Oikea laskutoimitus olisi 1 * 0,5: "yksi lapsi on poika" * "toinenkin lapsi on poika".

Sinä siis lasket että mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika. Se on eri asia kuin ehdollinen todennäköisyys P("kaksi poikaa" | "ainakin yksi poika").

Siis eikö tätä nimenomaan kysytty? 

Ei. Kysyttiin ehdollista todennäköisyyttä: Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.

Anteeksi, mutta en parhaalla tahdollakaan ymmärrä, mikä ero näillä on, paitsi siinä, että sinä lasket eri kaavalla kuin minä: 

1) Mikä on todennäköisyys että toinenkin lapsi on poika kun tiedetään että yksi lapsista on poika

2) Mikä on todennäköisyys että on kaksi poikaa, jos tiedämme että ainakin yksi lapsista on poika.

Ero on se sana jos ja sitä edeltävä pilkku, joka kertoo meille että nyt on kyse ehdollisesta todennäköisyydestä.

Niin? Mehän tiedämme, että yksi Jukan  lapsista on poika. Eli meidän ei tarvitse jossitella, vaan se on tuo "kun" -vaihtoehto. Eli se, mitä minä laskin. 

Emmekä tiedä, vaan poikia voi olla yksi tai useampi. Sinä et laskenut ehdollista todennäköisyyttä. Koko tuon tekstirotlan voi poistaa, ja tehtävän voi antaa suoraan seuraavassa muodossa.

Laske:

P(A | B), jossa

A = "Kaksilapsisen perheen molemmat lapset ovat poikia."

B = "Ainakin toinen perheen lapsista on poika."

Hei, nyt jarrut päälle. Missä kohdassa tuossa minun laskussani ei nyt oteta huomioon, että poikia voi olla yksi tai useampi? Joku muu nyt kertoi tuon minun laskuni sanallisessa muodossa, joten tuo sanamuotoon en nyt voi ottaa kantaa. 

Siinä, että laskit lähtötilanteet (TP) ja (PT) mutta et (PP).

Laskinhan. Se oli molemmissa tapauksissa (A ja B) aina se toinen vaihtoehto (0,5). Lue uudestaan ajatuksen kanssa. 

Se voi myös olla lähtötilanne, ja sitä et ole huomioinut millään tapaa. Ja joka tapauksessa kysymyksessä haettiin tuota ehdollista todennäköisyyttä, ei sinun laskemaa yhden lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.

Mikä ihmeen lähtötilanne? Ei minulla ollut lähtötilanteessa kuin se yksi poika ja sitten laskettiin todennäköisyys, jolla toinenkin lapsi on poika. Eihän se yksi poika voi olla yhtä aikaa yksinään PP. 

No kun missään ei ole edelleenkään sanottu että poikia on vain yksi, vaan niitä on *vähintään* yksi. Jolloin niitä voi yhtä hyvin olla kaksi.

Niin, mutta siinä vaiheessa kun meillä on vain yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan, ei meillä voi olla vasta kuin yksi poikakaan. Sitten vasta kun se on määritelty, mietitään, onko se toinenkin poika vai ei. Lähtökohta on siis "ainakin yksi poika" ja sitten mietitään onko myös toinen. 

Meillä on koko ajan kaksi lasta joiden sukupuolista puhutaan. Kyseessä on nimenomaan molempien lasten sukupuolet, jos tiedetään jakaumasta jokin asia X.

Alussa on siis yksi lapsi, jonka sukupuolesta puhutaan. Eli se "ainakin yksi poika". Sitten siirrytään siihen toiseen lapseen, jonka sukupuolta ei tiedetä. 

Ei, vaan alussa on kaksi lasta:

Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

Kummankaan lapsen sukupuolta emme tiedä, mutta tiedämme että perheessä on ainakin yksi poika.

Niin. Aluksi puhumme ainoastaan sen "ainakin yhden pojan" sukupuolesta, mutta toisten sukupuolta emme vielä tiedä. 

Emme puhu missään kohtaa yhdenkään yksittäisen lapsen sukupuolesta, vaan tarkastelemme koko ajan kummankin lapsen sukupuolta kokonaisuutena. Missään kohtaa laskutoimitusta ei lasketa yksittäisen lapsen sukupuolen todennäköisyyttä.

Kerro ihmeessä, miksi näin. Alkuehdoissa puhutaan ainakin yksi on poika (=yksittäisen lapsen sukupuoli) ja yksittäisen lapsen sukupuolen todennäköisyyttä (=todennäköisyys 1/2). Miksi asiaa ei saa ajatella sen tuntemattoman lapsen kannalta vaan pitää ajatella jonkun synnytysfarmin kautta? 

Vierailija kirjoitti:

Aluksi tiedämme vain, että Jukalla on kaksi lasta.

P(2 tyttöä) = 1/4

P(2 poikaa) = 1/4

P(tyttö ja poika) = 1/2

Sitten saamme tietää, että ainakin toinen Jukan lapsista on poika. Esimerkiksi tapaamme sen pojan. Mikä on nyt todennäköisyys, että molemmat lapset ovat poikia?

Oletamme, että se lapsi, josta saimme tietää, että hän on poika, on yhtä todennäköisesti kumpi tahansa lapsista. Nyt nuo yllä listatut todennäköisyydet vaikuttavat siihen, kuinka todennäköisesti tapasimme pojan.

Jos Jukalla on kaksi poikaa, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | 2 poikaa) = 1

Jolloin tämän tilanteen todennäköisyys kokonaisuudessaan on

1/4 * 1 = 1/4

Jos Jukalla on kaksi tyttöä, P(poika | 2 tyttöä) = 0 ja 1/4 * 0 = 0

Jos Jukalla on tyttö ja poika, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | tyttö ja poika) = 1/2, mistä saadaan

1/2 * 1/2 = 1/4

Nämä ovat ainoat vaihdoehdot, kun tiedetään että ainakin toinen on poika. Huomaamme, 1/4 + 1/4 ei ole yhteensä 1 vaan 1/2, koska sieltä on karsiutunut pois tilanteet, joissa tapaamamme lapsi olisi tyttö. Tarvitsee siis suhteuttaa todennäköisyydet jäljellä oleviin vaihtoehtoihin.

Kahden pojan todennäköisyys on 1/4 jaettuna 1/2:lla = 1/2

Tämä on ihan sama kuin saadaan sillä Bayesin kaavalla. Todennäköisyys, että perheessä on 2 poikaa, kun havaittiin poika.

P(2 poikaa|poika) = (P(poika|2 poikaa) * P(2 poikaa)) / P(poika)

Tässä poika=havaittiin poika ja 2 poikaa=perheessä 2 poikaa

Jakajana on ylempänä laskettujen todennäköisyyksien summa eli niiden kaikkien tilanteiden todennäköisyydet, joissa havaitaan poika.

Tämäkin on totta, mutta "Todennäköisyys, että perheessä on 2 poikaa, kun havaittiin poika." on siis eri asia kuin AP:n tehtävässä annettu "tn että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika."

Tuo tässä lainattu tehtävä on analoginen sen korttipeliesityksen kanssa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ihmisaivot eivät ole järjen hyvin kehittyneet ymmärtämään ehdollisia todennäköisyyksiä. 

Kirjoitinkin jo tästä juuri, tosiaan ihan ensimmäisenä kun alkaa opiskelemaan tilastotiedettä ja todennäköisyyslaskentaa saa heittää ne aivot narikkaan ja alkaa pänttäämään ihan mekaanisesti sitä laskentoa. Heti kun mennään klassisen todennäköisyyden (joka itse asiassa sekin on tässä ketjussa tuottanut ainakin yhdelle henkilölle ongelmia) ulkopuolelle niin mikään "normaali" ajattelumalli ei oikein enää päde ja asiat "pitää vaan tietää" koska järkeilemällä niihin on erittäin vaikeaa päästä.

Mutta miksei kukaan nyt voi kertoa, mikä siinä klassisessa todennäköisyydessä on väärää. Jankutetaan vain tuosta ehdollisesta todennäköisyydestä, mutta kukaan ei osaa kertoa, miksi pitää valita nimenomaan se, ja klassinen ei käy. 

Ei siinä ole edelleenkään mitään väärää. Voit laskea joko klassisen todennäköisyyden (suotuisat / kaikki) tai Bayesin teoreemalla. Lopputulos on sama 1/3 kummassakin tapauksessa.

No silti et kertonut, mikä vika siinä minun laskussani oli, jossa laskin eri tapausten todennäköisyydet erikseen. 

Ei mikään, mutta se vastaa eri kysymykseen. Tai no, oli se silti väärin järkeilty mutta tulos oli oikein.

Aika moni on täällä väittänyt, että todennäköisyydet voisi laskea suoraan vaihtoehtoisten tapausten lukumäärästä. Merkitystä on myös niiden tapausten todennäköisyyksillä. Tässä tehtävässä ei ole merkitystä kumpi lapsista on nuorempi tai vanhempi, mutta sillä on merkitystä, että perheessä on todennäköisemmin tyttö ja poika kuin 2 poikaa. Jos laskee tyttö+poika ja poika+tyttö eri tapauksiksi, on kaikkien tapausten todennäköisyys yhtä suuri, mutta jos laskee tyttö ja poika järjestyksestä riippumatta yhdeksi tapaukseksi, kaikki perustapaukset eivät ole yhtä todennäköisiä. Oikean vastauksen saa kummalla tahansa tavalla, kunhan vain tietää, mitä tekee. Pitää tietää, mitä mikäkin merkitsee siinä, miten itse tehtävän ratkaisee.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tuesday Changes Everything (a Mathematical Puzzle)

This is the answer: 13/27.

Many people will intuitively say that the answer is 1/2 (=the chance of having a boy or a girl), but probability aficionados will give the answer 1/3, since this is the Boy or Girl Paradox: We are not told that the speaker has a child and is waiting for another, but that he already has two children. Two children can come in four configurations: 1) boy/girl, 2) girl/boy, 3) girl/girl, 4) boy/boy. Since he has one boy, we are looking at the options 1, 2, or 4. Only the boy/boy combination includes two boys, so the probability is 1/3. In other words, order matters and completely changes probability.

So what has being born on a Tuesday got to do with it? Why would the answer not still be 1/3? The New Scientist has a good explanation toward the bottom of the article. Simply count the different combinations of genders and weekdays, which gives the result (number of combinations with two boys, at least one of which was born on a Tuesday) / (number of combinations with at least one boy born on a Tuesday). The result really is 13/27.

Ei tuo nyt kyllä avannut tilannetta ollenkaan. Miksi ne kombinaatiot pitää ottaa tuohon mukaan. Eikö perheessä voi olla kahta lasta, ellei toinen ole syntynyt tiistaina? 

Ei, kun kerran tehtäväkuvauksessa on sanottu että toinen on syntynyt tiistaina. Aivan kuten AP:n perheessä ei voi olla kahta tyttöä koska tehtäväkuvaus kieltää sen.

Ei vaan kysymykseni pointti on se, mihin se tiistaina syntyminen vaikuttaa. Miksi se on lisätty tuohon lausekkeeseen, kun jälleen sen toisen sukupuoli ja syntymäpäivä ovat täysin riippumattomia sen tiistaina syntyneen sukupuolesta ja syntymäpäivästä. 

No se vaikuttaa vain niihin mahdollisten ja suotuisten alkioiden määrään. Kuten sanottua, järjellä on täysin turha koittaa ymmärtää tätä, vaan asia aukeaa sen todennäköisyyden määritelmän mekaniikan kautta. Jos on auetaakseen, siis... :-D

Olisi todella mukavaa, että yrittäisitte edes selittää näitä asioita, jos väitätte nämä itse ymmärtävänne. Nyt kuulostaa vain siltä, että kukaan ei oikein ymmärrä, mutta pakko vain on hyväksyä ilman mitään kritiikkiä tai halua edes selvittää. 

Täsmälleen sama tilanne muuttuu todennäköisyydestä 0,333... yhtäkkiä 0,481:ksi pelkästään sillä, että kerrottiin jokin "turha" yksityiskohta. Luulisi, että menisi nimenomaan päinvastoin, että yksityiskohdat tekevät asian epätodennäköisemmäksi. En ymmärrä, miten voitte hyväksyä asian vain kohauttamalla olkapäitä "näin tää nyt vain menee". 

Vierailija kirjoitti:

Kerro ihmeessä, miksi näin. Alkuehdoissa puhutaan ainakin yksi on poika (=yksittäisen lapsen sukupuoli) ja yksittäisen lapsen sukupuolen todennäköisyyttä (=todennäköisyys 1/2). Miksi asiaa ei saa ajatella sen tuntemattoman lapsen kannalta vaan pitää ajatella jonkun synnytysfarmin kautta? 

Koska molemmat lapset ovat tuntemattomia. Emme tiedä yksittäisistä lapsista mitään, ainoa informaatio mikä meillä on koskee sitä lapsiparia.

Vierailija kirjoitti:

Aluksi tiedämme vain, että Jukalla on kaksi lasta.

P(2 tyttöä) = 1/4

P(2 poikaa) = 1/4

P(tyttö ja poika) = 1/2

Sitten saamme tietää, että ainakin toinen Jukan lapsista on poika. Esimerkiksi tapaamme sen pojan. Mikä on nyt todennäköisyys, että molemmat lapset ovat poikia?

Oletamme, että se lapsi, josta saimme tietää, että hän on poika, on yhtä todennäköisesti kumpi tahansa lapsista. Nyt nuo yllä listatut todennäköisyydet vaikuttavat siihen, kuinka todennäköisesti tapasimme pojan.

Jos Jukalla on kaksi poikaa, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | 2 poikaa) = 1

Jolloin tämän tilanteen todennäköisyys kokonaisuudessaan on

1/4 * 1 = 1/4

Jos Jukalla on kaksi tyttöä, P(poika | 2 tyttöä) = 0 ja 1/4 * 0 = 0

Jos Jukalla on tyttö ja poika, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | tyttö ja poika) = 1/2, mistä saadaan

1/2 * 1/2 = 1/4

Nämä ovat ainoat vaihdoehdot, kun tiedetään että ainakin toinen on poika. Huomaamme, 1/4 + 1/4 ei ole yhteensä 1 vaan 1/2, koska sieltä on karsiutunut pois tilanteet, joissa tapaamamme lapsi olisi tyttö. Tarvitsee siis suhteuttaa todennäköisyydet jäljellä oleviin vaihtoehtoihin.

Kahden pojan todennäköisyys on 1/4 jaettuna 1/2:lla = 1/2

Tämä on ihan sama kuin saadaan sillä Bayesin kaavalla. Todennäköisyys, että perheessä on 2 poikaa, kun havaittiin poika.

P(2 poikaa|poika) = (P(poika|2 poikaa) * P(2 poikaa)) / P(poika)

Tässä poika=havaittiin poika ja 2 poikaa=perheessä 2 poikaa

Jakajana on ylempänä laskettujen todennäköisyyksien summa eli niiden kaikkien tilanteiden todennäköisyydet, joissa havaitaan poika.

"P(2 poikaa|poika)"

Etkös nyt ole kerännyt perheet sillä periaatteella, että niissä  ensimmäinen poika tai toinen on poika. Pienennät konaisjoukkoa jolloin todennäköisyys kasvaa arvosta 1/3 arvoon 1/2.

Vierailija kirjoitti:

Kun tiedetään, että ainakin toinen on poika, jää TT eli kahden peräkkäisen tytön syntymä pois tapauksista.

TP

PT

PP

Näiden tapausten todennäköisyys on sama, koska poikia ja tyttöjä syntyy samalla todennäköisyydellä. Jokaisen kombinaatio todennäköisyys on 1/3. Kahden pojan todennäköisyys on siis 1/3.

-----------------------------------------------

Kaikki tapaukset ilman lisätietoa. Kahdella eri tapahtumalla ei voi määrittää kuin neljä eri kombinaatiota!

TP: 0,5*0,5 = 0,25

PT: 0,5*0,5 = 0,25

PP: 0,5*0,5 = 0,25

TT: 0.5*0,5 = 0,25

Se, että tiedetään ettei voi olla TT, voidaan ajatella niin, että arvonta suoritetaan uudelleen tapauksessa TT. Siis 25 prosentin todennäköisyydella arvotaan uudelleen. Tämä 25 prosenttia jakautuu tasan kolmen vaihtoehdon kanssa, koska niillä on sama todennäköisyys. 1/4+(1/4)/3 = 1/3

-----------------------------------------------

Bayesin teoreema P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

https://fi.wikipedia.org/wiki/Bayesin_teoreema

P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa)*P(kaksi poikaa)/P(ainakin toinen on poika)

P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa) = 1

P(ainakin toinen on poika) = 1 - P(molemmat tyttöjä)

=> P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(kaksi poikaa) / (1 - P(molemmat tyttöjä) ) = 0,5*0,5 / ( 1- 0,25) = 1/3

-----------------------------------------------

Mielestäni oikea tapa laskea:

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet, joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa. Vastaus on siis 1/3.

Mitä tulos 1/2 olettaa:

Etsitään 100 000 perhettä, joissa ensimmäinen lapsi on poika PX (toisella lapsella ei väliä) ja laitetaan he riviin A

Etsitään 100 000 perhettä, joissa toinen lapsi on poika XP (ensimmäisellä lapsella ei väliä) ja laitetaan he riviin B

Meillä on 200 000 perhettä, joissa kaikissa on ainakin yksi poika. Jotta meillä olisi kaksi poikaa, on A rivin toisen lapsen oltava poika tai B rivin ensimmäisen lapsen oltava poika. Koska pojan ja tytön todennäköisyys on sama 1/2. On kahden pojan todennäköisyys 1/2.

 

Jukkaa tuskin on etsitty tällä tavalla, vaan Jukka yksi koko satunnainen otos koko maan kaksilapsisista perheistä. Jukka tietää lapsensa sukupuolet.

Mitä mieltä?

Vastaus olisi 1/3 jos kysymys olisi muotoiltu:

"Jos toinen lapsista on poika, millä todennäköisyydellä molemmat ovat?"

Silloin pitää huomioida TP ja PT vaihtoehdot.

Mutta tehtävä oli muotoiltu:

"Kun ainakin toinen on poika, millä todennäköisyydellä molemmat ovat?".

Eli toinen lapsista on ehdottomasti poika. Silloin on aivan yhtä todennäköistä että lapset ovat samaa sukupuolta, kuin eri sukupuolta. Syntymäjärjestyksellä ei ole mitään tekemistä todennäköisyyden kanssa tässä tehtävässä.

Eli oikea vastaus on 1/2

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kerro ihmeessä, miksi näin. Alkuehdoissa puhutaan ainakin yksi on poika (=yksittäisen lapsen sukupuoli) ja yksittäisen lapsen sukupuolen todennäköisyyttä (=todennäköisyys 1/2). Miksi asiaa ei saa ajatella sen tuntemattoman lapsen kannalta vaan pitää ajatella jonkun synnytysfarmin kautta? 

Koska molemmat lapset ovat tuntemattomia. Emme tiedä yksittäisistä lapsista mitään, ainoa informaatio mikä meillä on koskee sitä lapsiparia.

Yhdestä yksittäisestä lapsesta kyllä tiedetään että se on poika.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.

Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.

Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.

P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")

= (1 * 1/4) / (3/4) 

= 4 / 12

= 1/3

Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.

Juu, jos määrittelet kertoimet ja minä saan jakaa.

Niin, ja sekotetaanko pakka joka jaon jälkeen vai ei? Minä luonnollisesti sekoitan sitten myös jos näin pelataan.

Toki sekoitetaan. Voidaan ottaa yleisesti luotettavaksi tiedetty kolmas osapuoli sekoittamaan ja jakamaan. Tehtäväsi siis on yhden satunnaisen kortin paljastamisen jälkeen veikata, onko toinen kortti samaa väriä. Jos veikkaat oikein, saat 75 euroa. Jos veikkaat väärin, menetät 100 euroa. Lähdetkö mukaan?

Sinähän tiedät, että vastaat oikein 2/3 todennäköisyydellä, eli oletusarvoisesti voitat joka kierroksella 75*2/3+(-100*1/3) eli 50-33.33... eli reilut 16 euroa. Minä saan vielä pikkuisen etua siitä, että nuo kortit nostetaan yhdestä pakasta ilman takaisin laittoa, mutta todennäköisyydet ovat silti selvästi sinun puolellasi.

Eli siis käytännössä veikataan ovatko kortit samaa väriä? Ja minä saan siis arvata kyllä tai ei? Ja kortteja ei laiteta vai laitetaan takaisin joka käden jälkeen? Joo kyllä tää kuulostaa ihan hyvälle, missä pelataan?

Eikumitähäh, että minä sijoittaisin 100 0.75 kertoimella 50/50 vetoon. Kertoimet toisin päin tietenkin. Sinä laitat satkun ja minä 75 €.

miten se nyt yhtäkkiä olisikin 50/50, kun tässä on sivutolkulla väännetty, että se on muka 33/66? 

ohis

Todennäköisyys että kaksi satunnaisesta pakasta jaettua korttia on 0,5. Ensimmäisen kortin tn = 1, toisen kortin tn = 0,5: 1 * 0,5 = 0,5.

Ei tästä ole väännetty kertaakaan tässä langassa, kyseessä on täysin eri asia kuin AP:n ehdollinen todennäköisyyslaskelma.

Nimenomaan tästä tässä on väännetty. On täysin yhdentekevää, puhutaanko korttien väreitä vai lasten sukupuolista. Todennäköisyyslaskennassa on täsmälleen samat lainalaisuudet. Jos kuvitellaan, että siinä korttipakassa on jonossa Jukan ja Eeron ja Matin ja Liisan ja Pirkon lapset, eikö tilanne olisi täysin sama, että sieltä tupsahtelee niitä värejä pareittan sitten ihan sillä samalla todennäköisyydellä kuin lapsienkin sukupuolet. 

No se riippuu sitten taas ihan siitä mitä kysytään. Kyllä, on 50% tn että satunnaisen kaksilapsisen perheen lapset ovat eri sukupuolta keskenään. Ja 25% todennäköisyydellä kummatkin ovat poikia. Joten jos kysytään todennäköisyyttä perheen lasten olevan poikia, jos perheessä on vähintään yksi poika saadaan siitä suoraan 25/75 = 1/3. Jos taas kysytään että mikä on yhden pojan lisäksi todennäköisyys että perheessä on toinen poika, on vastaus 1/2.

AP:n tehtävässä kysyttiin tuota ensimmäistä.

Eli selitäpäs, miten se tuossa korttipelissä sitten menisi. Jäätkö voitolle, jos saat voittaessasi 75 ja hävitessäsi maksat 100, kun kuitenkin todennäköisyys on puolellasi? 

Todennäköisyys ehdottamassasi pelissä on 50/50.

Miksi korttipelissä todennäköisyys on eri kuin lasten sukupuolien kohdalla? 

No eihän se olekaan. On 50 % todennäköisyys että kaksilapsisen perheen lapset ovat keskenään eri sukupuolta. Tuo korttipeli ei vain vastaa sitä mitä AP:n tehtävässä kysytään.

Sen nyt ymmärtää tässä ihan jokainen. Kysymys kuuluu, ja on koko ajan kuulunut, millä perusteella väitätte alkuperäisen tehtävän olevan erilainen. Vastaukseksi ei käy, että 'sitä kysyjä halusi kysyä'.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kerro ihmeessä, miksi näin. Alkuehdoissa puhutaan ainakin yksi on poika (=yksittäisen lapsen sukupuoli) ja yksittäisen lapsen sukupuolen todennäköisyyttä (=todennäköisyys 1/2). Miksi asiaa ei saa ajatella sen tuntemattoman lapsen kannalta vaan pitää ajatella jonkun synnytysfarmin kautta? 

Koska molemmat lapset ovat tuntemattomia. Emme tiedä yksittäisistä lapsista mitään, ainoa informaatio mikä meillä on koskee sitä lapsiparia.

Kyllä me tiedämme logiikkaan nojautuen niistä yksittäisistä lapsista sen, että toinen on kuopus ja toinen on esikoinen ja se "ainakin yksi poika" on pakosti jompikumpi niistä. 

"Minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

On merkitykseltään täsmälleen sama kuin:

"Minulla on kaksi laista, joista joko a) vain esikoinen, b) vain kuopus tai c) molemmat ovat poikia." (Kukin kolmesta vaihtoehdosta on yhtä todennäköinen.)

Niin, ja esikoisen ja kuopuksen voi teoriassa korvata muullakin, kuten sanoilla pitempi ja lyhyempi. Syntymäjärjestyksellä ei ole väliä vaan erottelemisella, Ikä nyt vain on aika yksiselitteinen, koska jopa kaksosista toinen tuli ensin. Pituusero taas voi olla niin pieni, että on vaikea sanoa kumpi on pitempi.

*lasta (ei laista)

Vierailija kirjoitti:

OIKEA VASTAUS ON 1/3

Gardner väitti erityisesti, että "satunnaistamismenettelyn määrittelemättä jättäminen" voisi johtaa lukijoita tulkita kysymys kahdella erillisellä tavalla:

Kaikista perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, perhe valitaan sattumanvaraisesti. Tämä antaisi vastauksen 1/3.

Kaikista kahden lapsen perheistä yksi lapsi valitaan sattumanvaraisesti ja lapsen sukupuolen on määritetty olevan poika. Tämä antaisi vastauksen 1/2.

https://fi.qwe.wiki/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Second_question

Tehtävässä Jukka kertoo : "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

1/3

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Aluksi tiedämme vain, että Jukalla on kaksi lasta.

P(2 tyttöä) = 1/4

P(2 poikaa) = 1/4

P(tyttö ja poika) = 1/2

Sitten saamme tietää, että ainakin toinen Jukan lapsista on poika. Esimerkiksi tapaamme sen pojan. Mikä on nyt todennäköisyys, että molemmat lapset ovat poikia?

Oletamme, että se lapsi, josta saimme tietää, että hän on poika, on yhtä todennäköisesti kumpi tahansa lapsista. Nyt nuo yllä listatut todennäköisyydet vaikuttavat siihen, kuinka todennäköisesti tapasimme pojan.

Jos Jukalla on kaksi poikaa, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | 2 poikaa) = 1

Jolloin tämän tilanteen todennäköisyys kokonaisuudessaan on

1/4 * 1 = 1/4

Jos Jukalla on kaksi tyttöä, P(poika | 2 tyttöä) = 0 ja 1/4 * 0 = 0

Jos Jukalla on tyttö ja poika, todennäköisyys että tapaamme pojan on

P(poika | tyttö ja poika) = 1/2, mistä saadaan

1/2 * 1/2 = 1/4

Nämä ovat ainoat vaihdoehdot, kun tiedetään että ainakin toinen on poika. Huomaamme, 1/4 + 1/4 ei ole yhteensä 1 vaan 1/2, koska sieltä on karsiutunut pois tilanteet, joissa tapaamamme lapsi olisi tyttö. Tarvitsee siis suhteuttaa todennäköisyydet jäljellä oleviin vaihtoehtoihin.

Kahden pojan todennäköisyys on 1/4 jaettuna 1/2:lla = 1/2

Tämä on ihan sama kuin saadaan sillä Bayesin kaavalla. Todennäköisyys, että perheessä on 2 poikaa, kun havaittiin poika.

P(2 poikaa|poika) = (P(poika|2 poikaa) * P(2 poikaa)) / P(poika)

Tässä poika=havaittiin poika ja 2 poikaa=perheessä 2 poikaa

Jakajana on ylempänä laskettujen todennäköisyyksien summa eli niiden kaikkien tilanteiden todennäköisyydet, joissa havaitaan poika.

Tämäkin on totta, mutta "Todennäköisyys, että perheessä on 2 poikaa, kun havaittiin poika." on siis eri asia kuin AP:n tehtävässä annettu "tn että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika."

Tuo tässä lainattu tehtävä on analoginen sen korttipeliesityksen kanssa.

Se aloitus nimenomaan ei ollut tämän suhteen yksiselitteinen. Siinä luki 'ainakin toinen' ja toinen viittaa aika vahvasti tiettyyn. Plus sekoilu siitä, mitä Jukka tietää tai luulee tietävänsä ja voiko hän valehdella.

Vierailija kirjoitti:

Matematiikan professorina en ymmärrä, miksi tästä aletaan jauhamaan heti kukonlaulun aikaan ja lopetetaan jauhaminen kun palsta menee kiinni. Ketjun ensimmäinen vastaus tyhjensi jo pajatson. Vastaus on 1/3. Tehtävänannossa ei kerrota mitään Jukan salaisesta logiikasta, eikä sillä ole väliä, koska Jukka tietää joka tapauksessa, montako poikaa hänellä on.

Kyse on siitä ehdollisesta todennäköisyydestä, mikä saadaan tehtävänannossa annetuilla tiedoilla. Ei todennäköisyyslaskennan tehtävissä ole selitetty juurtajaksain kaikkea, mikä ikinä voisikaan vaikuttaa tähän ehdolliseen todennäköisyyteen, vaan pointtina on laskea todennäköisyys, yksinkertaitettuna, sinun kannaltasi.

Toki ymmärrän keskustelun pituuden jos täällä aletaan miettimään erilaisia variaatiota tästä ongelmasta. Tosiasiassa tämäkin muuttu aika pian tylsäksi, koska kaikki variaatiot on typistettävissä tähän: onko se lapsi jonka sukupuoli tiedetään, valikoitunut jostain syystä sattumanvaraisesti (jolloin tn. on 1/2) vai onko informaatio kenties se, että ainakin yksi niistä on X-sukupuolta.

Jos olet oikeasti matematiikan professori, luulisi sinun ymmärtävän, että alkuperäinen tehtävänanto oli kaikkea muuta kuin yksiselitteinen. Tehtävän muotoilu suorastaan tyrkytti kysymyksiä siitä, onko Jukka luotettava tietolähde. Ja kun Jukka on nimeltä mainittu henkilö joka kertoo ainakin toisen lapsensa olevan poika niin muotoilu ei todellakaan vastaa geneeristä 'millä todennäköisyydellä perheessä on kaksi poikaa, kun tiedetään että poikia on vähintään yksi'.

Jos matematiikan tentissä olisi noin epämääräisesti muotoiltu kysymys, olisi kokeen laatijoiden syytä miettiä vähän tarkemmin. Voi tietenkin olla, että kurssilla on jo aiemmin määritelty yksiselitteisesti, millä tavalla sellaiset muotoilut tulkitaan, mutta tämä on nyt avoin keskustelupalsta eikä todennäköisyyslaskennan kurssi, jolla on ihan hyvä oletus että kysymyksen laatija tarkoitti sitä ehdollista todennäköisyyttä vaikka vähän huonosti asian muotoilikin.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tuesday Changes Everything (a Mathematical Puzzle)

This is the answer: 13/27.

Many people will intuitively say that the answer is 1/2 (=the chance of having a boy or a girl), but probability aficionados will give the answer 1/3, since this is the Boy or Girl Paradox: We are not told that the speaker has a child and is waiting for another, but that he already has two children. Two children can come in four configurations: 1) boy/girl, 2) girl/boy, 3) girl/girl, 4) boy/boy. Since he has one boy, we are looking at the options 1, 2, or 4. Only the boy/boy combination includes two boys, so the probability is 1/3. In other words, order matters and completely changes probability.

So what has being born on a Tuesday got to do with it? Why would the answer not still be 1/3? The New Scientist has a good explanation toward the bottom of the article. Simply count the different combinations of genders and weekdays, which gives the result (number of combinations with two boys, at least one of which was born on a Tuesday) / (number of combinations with at least one boy born on a Tuesday). The result really is 13/27.

Ei tuo nyt kyllä avannut tilannetta ollenkaan. Miksi ne kombinaatiot pitää ottaa tuohon mukaan. Eikö perheessä voi olla kahta lasta, ellei toinen ole syntynyt tiistaina? 

Ei, kun kerran tehtäväkuvauksessa on sanottu että toinen on syntynyt tiistaina. Aivan kuten AP:n perheessä ei voi olla kahta tyttöä koska tehtäväkuvaus kieltää sen.

Ei vaan kysymykseni pointti on se, mihin se tiistaina syntyminen vaikuttaa. Miksi se on lisätty tuohon lausekkeeseen, kun jälleen sen toisen sukupuoli ja syntymäpäivä ovat täysin riippumattomia sen tiistaina syntyneen sukupuolesta ja syntymäpäivästä. 

No se vaikuttaa vain niihin mahdollisten ja suotuisten alkioiden määrään. Kuten sanottua, järjellä on täysin turha koittaa ymmärtää tätä, vaan asia aukeaa sen todennäköisyyden määritelmän mekaniikan kautta. Jos on auetaakseen, siis... :-D

Olisi todella mukavaa, että yrittäisitte edes selittää näitä asioita, jos väitätte nämä itse ymmärtävänne.

Varmasti! Ja minäkin mielelläni hallitsisin tämän alan niin suvereenisti että kykenisin antamaan hienon ja ymmärrettävän maallikkoselityksen, mutta kun omista opinnoista on yli 20 vuotta aikaa ja töissäkin tulee lähinnä enää sovellettua ja käytettyä valmiita malleja ja työkaluja niin en yksinkertaisesti kykene siihen.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen? 

Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.

Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on? 

Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika. 

Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)

Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5) 

Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5. 

0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5 

Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset. 

Moi. Tässä vielä tähän vastaus, kun vihdoin hoksasin mihin tuo ajatuksesi pohjaa.

Jotta voisi tuolla tavalla laskea yhteen todennäköisyyksiä, niiden pitää olla kokonaan eri tapauksia.

Nyt tuo tapaus A (esikoinen on poika) sisältää tapaukset (esikoinen poika, kuopus tyttö) ja (esikoinen poika, kuopus poika).

Jos tähän lisätään tapaus B sillä tavalla kuin sen laskit, tulee (esikoinen poika, kuopus poika) laskettua kahteen kertaan.

Yritän kuitenkin viedä laskun loppuun noilla sinun tapauksillasi A ja B. Ne pitävät sinänsä paikkansa. Mutta niiden todennäköisyys ei ole 0,5, jos tarkastelemme vain niitä tapauksia, joissa on vähintään yksi poika! Joko pitää ottaa huomioon todennäköisyyttä laskiessa huomioon myös tapaus tyttö+tyttö tai laskea, kuinka todennäköisesti esikoinen/kuopus on poika, jos vähintään yksi on poika. Kokeillaan jälkimmäistä.

Tapauksen A todennäköisyys on 2/3, kun vaihtoehdoista poika+poika, tyttö+poika, poika+tyttö kaksi täyttää sen.

Vastaavasti tapauksen B todennäköisyys on 2/3.

2/3*0,5 + 2/3*0,5 = 2/3. Epäilyttävän iso vastaus. Tässä on nyt kaksi kertaa laskettu se poika+poika-tapaus. Tämä tapausten päällekkäinen osa pitää vähentää. Vähennetään pois tapauksen B poika+poika-osuus (2/3*0,5 = 1/3   -siinä taisi mennä koko tapaus B!)

Ja saadaan 2/3 - 1/3 = 1/3. Sieltä se 1/3 taas putkahti. Kävi niin, että kun laskettiin todennäköisyyttä olla kaksi poikaa, ei tarvittu oikeastaan koko tapausta B, koska jos molemmat ovat poikia niin myös esikoinen on poika.