Lue keskustelun säännöt.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Alue: Aihe vapaa
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Koska tähän ei koskaan tullut jatkoa, niin jatkan itse siltä varalta että joku sitä jäi kaipaamaan. Ehkä ei, mutta saatte sen nyt kuitenkin:
B, C ja D täyttävät ehdon. "Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä" on siis sama kuin kaikkien alkioiden määrä, eli 3.
Näistä kolmesta alkio D, ja vain alkio D täyttää ehdon "kaksi poikaa". Suotuisten tapahtumien määrä on siis yksi.
Näin ollen klassisen todennäköisyyslaskennan mukaan saamme todennäköisyydeksi tapahtumalle "kaksi poikaa, jos ainakin yksi poika" = 1/3.
Vastasin kyllä tuolla aiemmin, että näistä aina kaksi kerrallaan, riippuen onko poika merkitty tuohon ensimmäiseksi vai jälkimmäiseksi. Eli joko b ja d tai c ja d täyttävät ehdon. Samaan yhtälöön näitä ei saa koska se poika, jonka sukupuoli kerrottiin, ei voi olla yhtä aikaa kuopus ja esikoinen.
Nyt ei ollut puhe mistään yhtälöistä, vaan alkioista. En tiedä miksi sotket koko ajan täysin asiaan kuulumattomia juttuja vastauksiisi? Jokainen alkioista B, C ja D täyttävät ehdon, siinä ei ole mitään epäselvää.
No eikö noista alkioista muodosteta se yhtälö? Se, että siinä on useampi kiva alkio, ei tarkoita, että niitä voidaan käyttää päällekkäin.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.
Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.
Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.
"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.
Mistä tiedät, että ei viittaa? Se ei käy Jukan lausunnosta mitenkään ilmi. Jos Jukka olisi sanonut, että hänellä on kaksi lasta ja vähintään yksi poika, niin tilanne olisi eri.
Miksi aloituksessa kysyttäisiin, mikä on ensimmäisen lapsen sukupuoli? Vastaushan olisi siinä tapauksessa jo annettu valmiiksi, eikä koko kysymyksessä olisi järkeä. Eri
Miten se olisi siinä tapauksessa annettu valmiiksi yhtään enempää kuin nytkään?
Aloituksessa sanotaan suoraan, että todennäköisyys olla tiettyä sukupuolta on 1/2. Jos kysyttäisiin vain ensimmäisen lapsen todennäköisyyttä olla poika, niin senhän voisi päätellä suoraan, eikä olisi mitään laskettavaa tai pähkäiltävää. Ei olisi mitään järkeä kertoa toisen (2.) lapsen sukupuolta, jos sillä ei olisi mitään merkitystä tehtävän kannalta. Vai olisiko se hämäystä?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.
Kyse ei ole tästä.
Mistä tiedät?
Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.
Hienoa! Osaat siis varmasti kertoa, mikä varsinaisessa kysymyksenasettelussa sen kertoo.
Siis minkä? Sen että tässä lasketaan ehdollinen todennäköisyys Bayesin avulla?
No suunnilleen joo. Tuhannennen kerran, mistä tiedät, että Jukka on valittu satunnaisotannalla niistä perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Koska tehtävän sanamuoto paljastaa että halutaan testata Bayesin osaaminen. Eli "mikä on tn A, jos B".
Onneksi olkoon, olet hyvä vastaamaan koekysymyksiin.
Kiitos, sekin on kieltämättä yksi taito jonka joutuu opettelemaan jos haluaa välttää tuskailun näiden suusanallisten tehtävien kanssa. En tiedä olenko joku matemaattinen autisti, mutta näen tämänkin tehtävän heti edessäni yhtälömuodossa ennen kuin olen oikeastaan edes lukenut sitä, tai ainakaan tietoisesti sisäistänyt tehtävän sanamuotoa.
Joo, hyvä selviytymiskeinohan se on monella alalla, koska nopeuttaa kokeissa vastaamista. En kuitenkaan tarkoittanut kysyä, mitä kokeiden järjestävät haluavat kysyessään tällaisen kysymyksen, vaan mitä siinä ihan kirjaimellisesti ottaen kysytään. Tehtävänannot eivät ole aina täydellisiä, vaan tämäkin nojaa siihen, että vastaajan oletetaan tekevän samoja ennakko-oletuksia kuin kysyjän (että Jukka on valittu satunnaisotannalla blaa blaa blaa).
Kiista syntyy siis siitä, mitä voidaan olettaa aina tällaisissa pähkinöissä ja mitä taas ei. Oltiinhan täällä eri mieltä esimerkiksi siitäkin, puhuuko Jukka varmasti totta tai tietääkö hän lastensa sukupuolet. Kaikkia oletuksia ei voida kirjoittaa auki, mutta mitkä pitäisi?
Siihen saa joku muu vastata, koska "matikka-äidinkieleni" ei ole suomi. En ala perkaamaan juuri tämän ap:n kirjaamia sanamuotoja sen enempää, ei ole minun kuppini teetä se... :-)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole.
Onhan. Voi olla myös molemmat jos kumpikin lapsista on poikia.
Kysymys ei ollut siitä, ONKO kuopus tai esikoinen poika, vaan siitä, TIEDÄMMEKÖ kuopuksen tai esikoisen olevan poika. Eli se informaatio "ainakin toinen on poika" koski joko esikoista tai kuopusta, ei molempia. Jukka saattoi toki vekkulina mielessään ajatella molempia, mutta sillä ei laskutoimituksen kannalta ole väliä.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siis miten? Oikeasti, kertokaa nyt joku, en tajua. Meillä on täsmälleen sama informaatio
Meillä ei ole "täsmälleen samaa" informaatiota, ja meillä on lisäksi kaksi eri tehtävää.
Ensimmäisessä tiedämme että molemmat lapset eivät ole tyttöjä. Toisessa haluamme tietää täsmälleen yhden lapsen sukupuolen.
Ei tuo ensimmäinen ole tehtävä. Jälkimmäinen on.
Siis ensimmäinen tehtävä on laskea todennäköisyys että molemmat lapset ovat poikia jos tiedämme että molemmat lapset eivät ole tyttöjä. Toinen on triviaali tehtävä laskea täsmälleen yhden lapsen sukupuolen todennäköisyys.
Niin ja tässä kysyttiin nimenomaan Jukan olemassa olevista lapsista eikä koko maailman perheistä tai perhettä suunnittelevista.
Siinä tapauksessa olet ymmärtänyt tehtävän väärin. Tai sitten ap on esittänyt sen väärin. Tehtävä on kuitenkin laskea todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa jos tiedetään että perheessä ei ole kahta tyttöä.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Koska tähän ei koskaan tullut jatkoa, niin jatkan itse siltä varalta että joku sitä jäi kaipaamaan. Ehkä ei, mutta saatte sen nyt kuitenkin:
B, C ja D täyttävät ehdon. "Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä" on siis sama kuin kaikkien alkioiden määrä, eli 3.
Näistä kolmesta alkio D, ja vain alkio D täyttää ehdon "kaksi poikaa". Suotuisten tapahtumien määrä on siis yksi.
Näin ollen klassisen todennäköisyyslaskennan mukaan saamme todennäköisyydeksi tapahtumalle "kaksi poikaa, jos ainakin yksi poika" = 1/3.
Vastasin kyllä tuolla aiemmin, että näistä aina kaksi kerrallaan, riippuen onko poika merkitty tuohon ensimmäiseksi vai jälkimmäiseksi. Eli joko b ja d tai c ja d täyttävät ehdon. Samaan yhtälöön näitä ei saa koska se poika, jonka sukupuoli kerrottiin, ei voi olla yhtä aikaa kuopus ja esikoinen.
Nyt ei ollut puhe mistään yhtälöistä, vaan alkioista. En tiedä miksi sotket koko ajan täysin asiaan kuulumattomia juttuja vastauksiisi? Jokainen alkioista B, C ja D täyttävät ehdon, siinä ei ole mitään epäselvää.
No eikö noista alkioista muodosteta se yhtälö?
Ei. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa ei ole mitään yhtälöitä. On vain joukko tapahtumia (=alkioita) joista osa on suotuisia ja osa ei.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
No ihan logiikan avullahan me tuon tiedämme. Kaksi lasta, joista toinen on aina kuopus ja toinen on esikoinen. Sama lapsi ei voi olla yhtä aikaa molempia, mutta on pakosti aina jompikumpi.
Jos tiedämme, että lapsia on kaksi ja molempia sukupuolia, ei ole mahdollista, että sekä esikoinen että kuopus ovat poikia. Siinä on tasan kaksi vaihtoehtoa, jotka sulkevat toisensa aina pois.
ohis
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Juuri näin. Toisin selitettynä:
Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)
Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.
Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.
Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.
Ahaa. Miksi?
Koska toinen on yksinkertainen kolikonheitto ja toinen ehdollisen todennäköisyyslaskennan perusharjoitus.
Tehtävä on yksinkertainen kolikonheitto, jos tiedämme kyseessä olevan yksi tietty perhe (Jukan perhe), jossa tiedämme Jukan kertoman perusteella olevan kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Tehtävässä täytyy laskea ehdollisia todennäköisyyksiä, jos tiedämme kyseessä olevan jokin perhe, joka on valittu satunnaisesti niiden perheiden joukossa, joissa on kaksi lasta ja ainakin yksi poika.
Mistä tiedät, kumpi alkuperäisessä tehtävässä on kyseessä?
Sanoin jo. Siitä että olen ratkaissut tuon tehtävän sekä pääsykokeissa että yliopiston peruskurssilla.
Kukahan idiootti noin typerän tehtävän laittaa pääsykokeisiin?
Varmaan jokainen yliopisto tällä planeetalla. Tai jonkin variantin siitä. Bayesin teoreema on ihan perushuttua ja varmasti lähes aina pääsykokeissa mukana tavalla tai toisella.
Jos haluaa testata ehdollista todennäköisyyttä sen voi tehdä tehtävällä jossa on selkeä sanamuoto ja joka ei aiheuta 30 sivun tappelua semantiikasta.
En muista että tehtävä olisi aiheuttanut tappelua.
Jos tätä tehtävää oikeasti käytetään jossain pääsykokeissa sellaisenaan ja siihen hyväksytään vain yksi vastaus niin on todella surkeaa toimintaa yliopistolta ja itse en kyllä tuollaiseen opinahjoon menisi. Tai sitten oikeaoppinen vastaus tulisi olla juuri sellainen missä tutkittaisiin sitä, mitä tehtävänannossa oikeasti mukamas kysytään, jolloin vastaus on tulkinnasta riippuen joko 1/2 tai 1/3. Siinäkin tapauksessa siinä tosin testattaisiin enemmän jotain kielen ja semantiikan ymmärtämistä eikä ehdollisen todennäköisyyden osaamista. Jälkimmäisen testaamiseen löytyy selkeämpiäkin tehtäviä.
Tosin sinä nyt taidat olla pelkkä trolli sen verran samaa virttä joka viestissäsi laulat...
Tässä tehtävässä ei ole mitään tulkinnan epäselvyyttä. Kyse on ainaostaan siitä osaako laskea ehdollisia todennäköisyyksiä.
Vastaukselle 1/2 ei ole esitetty mitään matemaattisesti pätevää vastausta.
Aikaisemmin esitettiin alla oleva vastaus ongelmaan. Voiko joku todistaa vastauksen vääräksi?
Bayesin teoreema P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)
https://fi.wikipedia.org/wiki/Bayesin_teoreema
P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa)*P(kaksi poikaa)/P(ainakin toinen on poika)
P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa) = 1
P(ainakin toinen on poika) = 1 - P(molemmat tyttöjä)
=> P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(kaksi poikaa) / (1 - P(molemmat tyttöjä) ) = 0,5*0,5 / ( 1- 0,25) = 1/3
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siis miten? Oikeasti, kertokaa nyt joku, en tajua. Meillä on täsmälleen sama informaatio
Meillä ei ole "täsmälleen samaa" informaatiota, ja meillä on lisäksi kaksi eri tehtävää.
Ensimmäisessä tiedämme että molemmat lapset eivät ole tyttöjä. Toisessa haluamme tietää täsmälleen yhden lapsen sukupuolen.
Ei tuo ensimmäinen ole tehtävä. Jälkimmäinen on.
Siis ensimmäinen tehtävä on laskea todennäköisyys että molemmat lapset ovat poikia jos tiedämme että molemmat lapset eivät ole tyttöjä. Toinen on triviaali tehtävä laskea täsmälleen yhden lapsen sukupuolen todennäköisyys.
Niin ja tässä kysyttiin nimenomaan Jukan olemassa olevista lapsista eikä koko maailman perheistä tai perhettä suunnittelevista.
Jukankin perhe kuuluu koko maailman perheisiin. Jos kaikissa kaksilapsisissa perheissä on tuplasti todennäköisemmin yksi kumpaakin sukupuolta kuin kaksi poikaa, niin näin voidaan olettaa myös Jukan kohdalla, ellei muuta tietoa anneta.
eri
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole.
Onhan. Voi olla myös molemmat jos kumpikin lapsista on poikia.
Kysymys ei ollut siitä, ONKO kuopus tai esikoinen poika, vaan siitä, TIEDÄMMEKÖ kuopuksen tai esikoisen olevan poika. Eli se informaatio "ainakin toinen on poika" koski joko esikoista tai kuopusta, ei molempia. Jukka saattoi toki vekkulina mielessään ajatella molempia, mutta sillä ei laskutoimituksen kannalta ole väliä.
Emme tiedä. Tiedämme että toinen on, mutta emme voi mielivaltaisesti valita että kumpi.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Koska tähän ei koskaan tullut jatkoa, niin jatkan itse siltä varalta että joku sitä jäi kaipaamaan. Ehkä ei, mutta saatte sen nyt kuitenkin:
B, C ja D täyttävät ehdon. "Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä" on siis sama kuin kaikkien alkioiden määrä, eli 3.
Näistä kolmesta alkio D, ja vain alkio D täyttää ehdon "kaksi poikaa". Suotuisten tapahtumien määrä on siis yksi.
Näin ollen klassisen todennäköisyyslaskennan mukaan saamme todennäköisyydeksi tapahtumalle "kaksi poikaa, jos ainakin yksi poika" = 1/3.
Vastasin kyllä tuolla aiemmin, että näistä aina kaksi kerrallaan, riippuen onko poika merkitty tuohon ensimmäiseksi vai jälkimmäiseksi. Eli joko b ja d tai c ja d täyttävät ehdon. Samaan yhtälöön näitä ei saa koska se poika, jonka sukupuoli kerrottiin, ei voi olla yhtä aikaa kuopus ja esikoinen.
Nyt ei ollut puhe mistään yhtälöistä, vaan alkioista. En tiedä miksi sotket koko ajan täysin asiaan kuulumattomia juttuja vastauksiisi? Jokainen alkioista B, C ja D täyttävät ehdon, siinä ei ole mitään epäselvää.
No eikö noista alkioista muodosteta se yhtälö?
Ei. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa ei ole mitään yhtälöitä. On vain joukko tapahtumia (=alkioita) joista osa on suotuisia ja osa ei.
No mikä hitto tuo Bayesin teoreema sitten oli, ellei yhtälö?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
No ihan logiikan avullahan me tuon tiedämme. Kaksi lasta, joista toinen on aina kuopus ja toinen on esikoinen. Sama lapsi ei voi olla yhtä aikaa molempia, mutta on pakosti aina jompikumpi.
Jos tiedämme, että lapsia on kaksi ja molempia sukupuolia, ei ole mahdollista, että sekä esikoinen että kuopus ovat poikia. Siinä on tasan kaksi vaihtoehtoa, jotka sulkevat toisensa aina pois.
ohis
Emme tiedä tällaista.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.
Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.
Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.
"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.
Mistä tiedät, että ei viittaa? Se ei käy Jukan lausunnosta mitenkään ilmi. Jos Jukka olisi sanonut, että hänellä on kaksi lasta ja vähintään yksi poika, niin tilanne olisi eri.
Koska englanninkielisessä alkuperäisessä tehtävässä tai yhdessäkään sen variantissa ei käytetä sanoja "first, second, order" tai muutakaan järjestykseen viittaavaa.
Mistä lähtien matemaattisia tehtäviä on ratkaistu sillä perusteella, että "no pitää vaan tietää, että tämä on käännös, alkuperäisessä sanotaan sitä ja tätä"?
Tämä ei ollut englanninkielinen tehtävä eikä sisältänyt mitään vaatimusta tutustua muunkielisiin / alkuperäiseen versioon. Tämä tehtävänanto on mahdollista lukea sekä muodossa "toinen (= nuorempi) lapsi on poika" että muodossa "yksi kahdesta lapsesta on poika". Joten tässä annettujen tietojen pohjalta voi päätyä ainakin kahteen perusteltuun lopputulokseen. Se, että sinä ratkaiset tehtävää jossain muualla annettujen tietojen perusteella ei muuta toista vastausta loogisesti vääräksi.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole.
Onhan. Voi olla myös molemmat jos kumpikin lapsista on poikia.
Kysymys ei ollut siitä, ONKO kuopus tai esikoinen poika, vaan siitä, TIEDÄMMEKÖ kuopuksen tai esikoisen olevan poika. Eli se informaatio "ainakin toinen on poika" koski joko esikoista tai kuopusta, ei molempia. Jukka saattoi toki vekkulina mielessään ajatella molempia, mutta sillä ei laskutoimituksen kannalta ole väliä.
Emme tiedä. Tiedämme että toinen on, mutta emme voi mielivaltaisesti valita että kumpi.
Emme voikaan, mutta voimme laskea molemmat skenaariot ja molemmissa on sama tulos. Muita skenaarioita ei ole, joten on ihan perusteltua pitää näitä oikeina vastauksina, koska ne kattavat kaikki mahdolliset tapaukset.
0*x :kin on aina nolla, vaikka emme voi tehdä oletuksia x:stä. Jos löydämme vastauksen, joka on sama kaikilla x:n arvoilla, ei meitä haittaa se, että x:ää ei voi mielivaltaisesti itse valita.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Koska tähän ei koskaan tullut jatkoa, niin jatkan itse siltä varalta että joku sitä jäi kaipaamaan. Ehkä ei, mutta saatte sen nyt kuitenkin:
B, C ja D täyttävät ehdon. "Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä" on siis sama kuin kaikkien alkioiden määrä, eli 3.
Näistä kolmesta alkio D, ja vain alkio D täyttää ehdon "kaksi poikaa". Suotuisten tapahtumien määrä on siis yksi.
Näin ollen klassisen todennäköisyyslaskennan mukaan saamme todennäköisyydeksi tapahtumalle "kaksi poikaa, jos ainakin yksi poika" = 1/3.
Vastasin kyllä tuolla aiemmin, että näistä aina kaksi kerrallaan, riippuen onko poika merkitty tuohon ensimmäiseksi vai jälkimmäiseksi. Eli joko b ja d tai c ja d täyttävät ehdon. Samaan yhtälöön näitä ei saa koska se poika, jonka sukupuoli kerrottiin, ei voi olla yhtä aikaa kuopus ja esikoinen.
Nyt ei ollut puhe mistään yhtälöistä, vaan alkioista. En tiedä miksi sotket koko ajan täysin asiaan kuulumattomia juttuja vastauksiisi? Jokainen alkioista B, C ja D täyttävät ehdon, siinä ei ole mitään epäselvää.
No eikö noista alkioista muodosteta se yhtälö?
Ei. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa ei ole mitään yhtälöitä. On vain joukko tapahtumia (=alkioita) joista osa on suotuisia ja osa ei.
No mikä hitto tuo Bayesin teoreema sitten oli, ellei yhtälö?
Bayesin teoreema ei ole klassista todennäköisyyslaskentaa. Se on kyllä johdettavissa siitä, mutta jos sitä haluat niin tosiaan joudun viittaamaan sinut jonkun yliopiston proffan luokse, itse sitä tuskin enää osaisin tehdä.
Bayesin teoreema tarjoaa keinon laskea tuo ratkaisu numeräärisesti, klassinen todennäköisyyslaskenta kertoo vain suotuisten tapahtumien suhteen kaikkiin tapahtumiin.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
No ihan logiikan avullahan me tuon tiedämme. Kaksi lasta, joista toinen on aina kuopus ja toinen on esikoinen. Sama lapsi ei voi olla yhtä aikaa molempia, mutta on pakosti aina jompikumpi.
Jos tiedämme, että lapsia on kaksi ja molempia sukupuolia, ei ole mahdollista, että sekä esikoinen että kuopus ovat poikia. Siinä on tasan kaksi vaihtoehtoa, jotka sulkevat toisensa aina pois.
ohis
Emme tiedä tällaista.
Täh? Tiedämmehän näissä t+p ja p+t kombinaatioissa. Niistähän tässä puhuttiin.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.
Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.
Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.
"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.
Mistä tiedät, että ei viittaa? Se ei käy Jukan lausunnosta mitenkään ilmi. Jos Jukka olisi sanonut, että hänellä on kaksi lasta ja vähintään yksi poika, niin tilanne olisi eri.
Koska englanninkielisessä alkuperäisessä tehtävässä tai yhdessäkään sen variantissa ei käytetä sanoja "first, second, order" tai muutakaan järjestykseen viittaavaa.
Mistä lähtien matemaattisia tehtäviä on ratkaistu sillä perusteella, että "no pitää vaan tietää, että tämä on käännös, alkuperäisessä sanotaan sitä ja tätä"?
Todennäköisesti aivan aikojen alusta asti. Vähän sama kuin jos istut kitara sylissä ja vieressä jazz-pianisti heittää sulle että vedä kaksviisykkönen, niin vaikka voit toki saivarrella ja soittaa äänen toiselta nauhalta, viidenneltä nauhalta ja ensimmäiseltä nauhalta, mutta hän tarkoitti kuitenkin että soittaisit Dm7 - G7 - Cmaj7 sointukäännöksen.
Alue: Aihe vapaa
Jos tätä tehtävää oikeasti käytetään jossain pääsykokeissa sellaisenaan ja siihen hyväksytään vain yksi vastaus niin on todella surkeaa toimintaa yliopistolta ja itse en kyllä tuollaiseen opinahjoon menisi. Tai sitten oikeaoppinen vastaus tulisi olla juuri sellainen missä tutkittaisiin sitä, mitä tehtävänannossa oikeasti mukamas kysytään, jolloin vastaus on tulkinnasta riippuen joko 1/2 tai 1/3. Siinäkin tapauksessa siinä tosin testattaisiin enemmän jotain kielen ja semantiikan ymmärtämistä eikä ehdollisen todennäköisyyden osaamista. Jälkimmäisen testaamiseen löytyy selkeämpiäkin tehtäviä.
Tosin sinä nyt taidat olla pelkkä trolli sen verran samaa virttä joka viestissäsi laulat...