Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Jos jollekin tulisi mieleen jokin eri probleema, niin voisiko tehdä siitä erillisen aloituksen? Olisi hauska jankata välillä jostain muustakin. ;D

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.

Hienoa! Osaat siis varmasti kertoa, mikä varsinaisessa kysymyksenasettelussa sen kertoo.

Siis minkä? Sen että tässä lasketaan ehdollinen todennäköisyys Bayesin avulla?

No suunnilleen joo. Tuhannennen kerran, mistä tiedät, että Jukka on valittu satunnaisotannalla niistä perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Koska tehtävän sanamuoto paljastaa että halutaan testata Bayesin osaaminen. Eli "mikä on tn A, jos B".

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

pystytkö selittämään, miksi se ei liity tähän? Kaksi täysin toisistaan riippumatonta tapahtumaa 

Koska tässä tehtävässä ei ole kahta toisistaan riippumatonta tapahtumaa, vaan yksi ehdollinen todennäköisyys. Kaksi eri tehtävää, kaksi eri laskua, kaksi eri lopputulosta.

Eikö sen toisen lapsen sukupuoli siis olekaan riippumaton sisaruksen sukupuolesta? 

Ei, koska jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika.

Missä maailmassa näin? Kiinassa? 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vastaus on 1/2, koska kysytään todennäköisyyttä eikä silloin syntymäjärjestyksellä ole mitään väliä. Vaihtiehdot ovat siis:

Poika ja tyttö

Poika ja poika

Tyttö ja tyttö

Koska tehtävässä sanotaan, että toinen on poika, niin tyttö ja tyttö -vaihtoehto diskataan.

Tavallaan joo, tehtävän asettelu on epäselvä. Ehkä sen voi havainnoillistaa niin että sulle tulee kylään isä poikansa kanssa ja sanoo että hänellä on vielä yksi lapsi. Siinä tilanteessa tosiaan on 50-50 että onko sillä kaks poikaa vai poika ja tyttö.

Sitten toinen kysymys on tuo missä pitäisi ollaa syntymäjärjestys huomioon. En tiedä millä sanamuodoilla sen saisi hyvin täsmennettyä.

Mutta tälläkään tehtävällä ei ole juurikaan tekemistä itse matematiikan kanssa vaan pitemminkin sen kanssa kuinka sanallinen tehtävänanto puetaan matematiikan kielelle. Siksi täällä sitten idiootit vääntää 30 sivua semantiikasta.

Niin, mutta tässä pitääkin ajatella niitä sukupuolia, eikä sitä syntymäjärjestystä eli tavallaan vaihtoehtoja on vain kaksi: joko lapset ovat samaa sukupuolta tai sitten eri sukupuolta.

Eli TT, PP tai TP.

Voit sen luonnollisesti ajatella noinkin, mutta silloin sinun pitää muistaa huomioida että TP on kaksi kertaa todennäköisempi kuin PP. Et voi lotonkaan osalta todeta, että "joko voitat tai et voita".

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ahaa. Miksi?

Koska toinen on yksinkertainen kolikonheitto ja toinen ehdollisen todennäköisyyslaskennan perusharjoitus.

Tehtävä on yksinkertainen kolikonheitto, jos tiedämme kyseessä olevan yksi tietty perhe (Jukan perhe), jossa tiedämme Jukan kertoman perusteella olevan kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Tehtävässä täytyy laskea ehdollisia todennäköisyyksiä, jos tiedämme kyseessä olevan jokin perhe, joka on valittu satunnaisesti niiden perheiden joukossa, joissa on kaksi lasta ja ainakin yksi poika.

Mistä tiedät, kumpi alkuperäisessä tehtävässä on kyseessä?

Sanoin jo. Siitä että olen ratkaissut tuon tehtävän sekä pääsykokeissa että yliopiston peruskurssilla.

Kukahan idiootti noin typerän tehtävän laittaa pääsykokeisiin?

Varmaan jokainen yliopisto tällä planeetalla. Tai jonkin variantin siitä. Bayesin teoreema on ihan perushuttua ja varmasti lähes aina pääsykokeissa mukana tavalla tai toisella.

Ei meillä ainakaan ollut pääsykokeessa mitään todennäköisyyslaskentaa. Meillä oli talous- ja tilastomatematiikkaa ja derivaattoja. Enkä kyllä muista, että yliopistossa olisi muutenkaan hirveästi mitään todennäköisyyslaskentaa käyty läpi. Tilastotiede oli paljon tärkeämpää. 

Kyllä meillä oli todennäköisyyslaskennan perus- ja syventävä kurssi jotka olivat edellytyksenä (vai oliko suosituksena, en muista enää) tilastomatematiikan kursseille.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

pystytkö selittämään, miksi se ei liity tähän? Kaksi täysin toisistaan riippumatonta tapahtumaa 

Koska tässä tehtävässä ei ole kahta toisistaan riippumatonta tapahtumaa, vaan yksi ehdollinen todennäköisyys. Kaksi eri tehtävää, kaksi eri laskua, kaksi eri lopputulosta.

Eikö sen toisen lapsen sukupuoli siis olekaan riippumaton sisaruksen sukupuolesta? 

Ei, koska jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika.

Missä maailmassa näin? Kiinassa? 

Tämän tehtävän maailmassa. "Joista ainakin toinen on poika."

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.

Hienoa! Osaat siis varmasti kertoa, mikä varsinaisessa kysymyksenasettelussa sen kertoo.

Siis minkä? Sen että tässä lasketaan ehdollinen todennäköisyys Bayesin avulla?

No suunnilleen joo. Tuhannennen kerran, mistä tiedät, että Jukka on valittu satunnaisotannalla niistä perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Koska tehtävän sanamuoto paljastaa että halutaan testata Bayesin osaaminen. Eli "mikä on tn A, jos B".

Onneksi olkoon, olet hyvä vastaamaan koekysymyksiin.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Työkaverini Jukka on kertonut, että hänellä on kaksi lasta. Huomaan, että hän on kanssani samassa Facebook-ryhmässä Poikien isit, johon pääsee vain isät, joilla on vähintään yksi poikalapsi. (oletus: Jukka on rehellinen tyyppi, eikä liity ryhmiin, joiden pääsyvaatimusta hän ei täytä, eikä ryhmään liittymisen todennäköisyyteen vaikuta, kuinka monta poikalasta hänellä on). Millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

Entäs jos Jukka ei olekaan Facebookissa, mutta tiedän edelleen, että hänellä on kaksi lasta. Soitan Jukan ovikelloa ja oven avaa lapsi, joka kertoo olevansa poika ja että Jukka on hänen isänsä (oletus: lapsetkaan eivät valehtele ja tietävät oman sukupuolensa oikein). Millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

 

Jukka saapuu ovelle ja sanoo 'tapasitkin jo esikoiseni'. Vaikuttaako tämä siihen, millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

(olettaen ne perusjutut, Jukka tietää lastensa sukupuolet, kukaan ei valehtele ja todennäköisyys syntyä poika on 0,5)

Ensimmäinen 1/3

Toinen 1/2

Kolmas 1/2

On aivan eri asia tietää että ainakin toinen lapsista on poika, kuin nähdä sattumanvaraisesti yksi, joka sattuu olemaan poika.

Siis miten? Oikeasti, kertokaa nyt joku, en tajua. Meillä on täsmälleen sama informaatio

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.

Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.

Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.

Vierailija kirjoitti:

Jos jollekin tulisi mieleen jokin eri probleema, niin voisiko tehdä siitä erillisen aloituksen? Olisi hauska jankata välillä jostain muustakin. ;D

Eiköhän etusivulla ole monta keskustelua aiheista "miksi en saa naista" ja "miksi mies ei osallistu kotitöihin". Siellä voi jankata oikein ammattilaisten seurassa ;)

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

pystytkö selittämään, miksi se ei liity tähän? Kaksi täysin toisistaan riippumatonta tapahtumaa 

Koska tässä tehtävässä ei ole kahta toisistaan riippumatonta tapahtumaa, vaan yksi ehdollinen todennäköisyys. Kaksi eri tehtävää, kaksi eri laskua, kaksi eri lopputulosta.

Eikö sen toisen lapsen sukupuoli siis olekaan riippumaton sisaruksen sukupuolesta? 

Ei, koska jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika.

Missä maailmassa näin? Kiinassa? 

Tämän tehtävän maailmassa. "Joista ainakin toinen on poika."

Nyt puhuttiin oletuksesta, miten sisaruksen sukupuoli vaikuttaa toisen sisaruksen sukupuoleen. Miksi se oletus kahden lapsen sukupuolen keskinäisestä riippumattomuudesta ei päde tähän tapaukseen? 

Jukalla on kaksi lasta, joista vähintään yksi on poika.

Millä todennäköisyydellä esikoinen on poika?

Vastaus: 2/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.

Hienoa! Osaat siis varmasti kertoa, mikä varsinaisessa kysymyksenasettelussa sen kertoo.

Siis minkä? Sen että tässä lasketaan ehdollinen todennäköisyys Bayesin avulla?

No suunnilleen joo. Tuhannennen kerran, mistä tiedät, että Jukka on valittu satunnaisotannalla niistä perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Koska tehtävän sanamuoto paljastaa että halutaan testata Bayesin osaaminen. Eli "mikä on tn A, jos B".

Onneksi olkoon, olet hyvä vastaamaan koekysymyksiin.

Kiitos, sekin on kieltämättä yksi taito jonka joutuu opettelemaan jos haluaa välttää tuskailun näiden suusanallisten tehtävien kanssa. En tiedä olenko joku matemaattinen autisti, mutta näen tämänkin tehtävän heti edessäni yhtälömuodossa ennen kuin olen oikeastaan edes lukenut sitä, tai ainakaan tietoisesti sisäistänyt tehtävän sanamuotoa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

pystytkö selittämään, miksi se ei liity tähän? Kaksi täysin toisistaan riippumatonta tapahtumaa 

Koska tässä tehtävässä ei ole kahta toisistaan riippumatonta tapahtumaa, vaan yksi ehdollinen todennäköisyys. Kaksi eri tehtävää, kaksi eri laskua, kaksi eri lopputulosta.

Eikö sen toisen lapsen sukupuoli siis olekaan riippumaton sisaruksen sukupuolesta? 

Ei, koska jos ensimmäinen lapsi on tyttö, on toisen pakko olla poika.

Missä maailmassa näin? Kiinassa? 

Tämän tehtävän maailmassa. "Joista ainakin toinen on poika."

Nyt puhuttiin oletuksesta, miten sisaruksen sukupuoli vaikuttaa toisen sisaruksen sukupuoleen. Miksi se oletus kahden lapsen sukupuolen keskinäisestä riippumattomuudesta ei päde tähän tapaukseen? 

Koska se on annettu tehtävässä. Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, ei toinen lapsi voi olla tyttö koska se rikkoisi tehtävän reunaehtoja.

Vierailija kirjoitti:

Siis miten? Oikeasti, kertokaa nyt joku, en tajua. Meillä on täsmälleen sama informaatio

Meillä ei ole "täsmälleen samaa" informaatiota, ja meillä on lisäksi kaksi eri tehtävää.

Ensimmäisessä tiedämme että molemmat lapset eivät ole tyttöjä. Toisessa haluamme tietää täsmälleen yhden lapsen sukupuolen.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.

Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.

Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.

"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ahaa. Miksi?

Koska toinen on yksinkertainen kolikonheitto ja toinen ehdollisen todennäköisyyslaskennan perusharjoitus.

Tehtävä on yksinkertainen kolikonheitto, jos tiedämme kyseessä olevan yksi tietty perhe (Jukan perhe), jossa tiedämme Jukan kertoman perusteella olevan kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Tehtävässä täytyy laskea ehdollisia todennäköisyyksiä, jos tiedämme kyseessä olevan jokin perhe, joka on valittu satunnaisesti niiden perheiden joukossa, joissa on kaksi lasta ja ainakin yksi poika.

Mistä tiedät, kumpi alkuperäisessä tehtävässä on kyseessä?

Sanoin jo. Siitä että olen ratkaissut tuon tehtävän sekä pääsykokeissa että yliopiston peruskurssilla.

Kukahan idiootti noin typerän tehtävän laittaa pääsykokeisiin?

Varmaan jokainen yliopisto tällä planeetalla. Tai jonkin variantin siitä. Bayesin teoreema on ihan perushuttua ja varmasti lähes aina pääsykokeissa mukana tavalla tai toisella.

Jos haluaa testata ehdollista todennäköisyyttä sen voi tehdä tehtävällä jossa on selkeä sanamuoto ja joka ei aiheuta 30 sivun tappelua semantiikasta.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Eikö tässä nyt ole se vastaus. Se poika voi olla vain jompikumpi näistä, joten oli se sitten kuopus tai esikoinen (jolla ei ole meille mitään väliä), todennäköisyys on joka tapauksessa 1/2. Kertokaa nyt, miksi se ei ole näin? MIksi kaikki maailman perheet pitää kutsua riviin vain, koska emme tiedä, onko kyseessä kuopus vai esikoinen, vaikka sillä ei ole meille mitään väliä ja molemmissa lopputulos on täysin sama?