Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?

En. Kyseessä ei ole Jukka, joka on valittu äärettömästä joukosta Jukkia, joilla on kaksi korttia, joista ainakin yksi on musta. Kyseessä on kaverisi Jukka, jonka kanssa pelaat juuri nyt uhkapeliä. Voitat, jos veikkaat oikein, onko hänellä kaksi mustaa korttia vai ei. Mitä veikkaat?

No tuossa tapauksessa, Jukka ehkä yrittäisi voittaa saamalla minut vastaamaan "väärin", jolloin hänellä olisi kaksi mustaa korttia, vaikka se olisi epätodennäköisempää. Toisaalta hän varmaan arvaisi, että minä ajattelisin näin, joten hänellä ei sittenkään olisi kaksi korttia... Vaikea sanoa miten pitkälle Jukka miettisi tuota "hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että..." -ketjua. Vaikea kysymys,

Pitikö tässä olettaa, että ne kortit olivat satunnaisia eikä Jukan valitsemia?

OIKEA VASTAUS ON 1/3

Gardner väitti erityisesti, että "satunnaistamismenettelyn määrittelemättä jättäminen" voisi johtaa lukijoita tulkita kysymys kahdella erillisellä tavalla:

Kaikista perheistä, joissa on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika, perhe valitaan sattumanvaraisesti. Tämä antaisi vastauksen 1/3.

Kaikista kahden lapsen perheistä yksi lapsi valitaan sattumanvaraisesti ja lapsen sukupuolen on määritetty olevan poika. Tämä antaisi vastauksen 1/2.

https://fi.qwe.wiki/wiki/Boy_or_Girl_paradox#Second_question

Tehtävässä Jukka kertoo : "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?

En. Kyseessä ei ole Jukka, joka on valittu äärettömästä joukosta Jukkia, joilla on kaksi korttia, joista ainakin yksi on musta. Kyseessä on kaverisi Jukka, jonka kanssa pelaat juuri nyt uhkapeliä. Voitat, jos veikkaat oikein, onko hänellä kaksi mustaa korttia vai ei. Mitä veikkaat?

No tuossa tapauksessa, Jukka ehkä yrittäisi voittaa saamalla minut vastaamaan "väärin", jolloin hänellä olisi kaksi mustaa korttia, vaikka se olisi epätodennäköisempää. Toisaalta hän varmaan arvaisi, että minä ajattelisin näin, joten hänellä ei sittenkään olisi kaksi korttia... Vaikea sanoa miten pitkälle Jukka miettisi tuota "hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että..." -ketjua. Vaikea kysymys,

Pitikö tässä olettaa, että ne kortit olivat satunnaisia eikä Jukan valitsemia?

Jukka tietää lapsensa. Lapset eivät ole Jukalle tuntemattomia. "Minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

TP

PT

PP

Lukija ei tiedä kortteja/lapsia. Jukka ei niitä paljasta. Jukalla voi olla kolme erilaista kombinaatiota korteista/lapsista. Vain yhdessä tapauksessa tilanne on PP.

Aika typerä tehtävä, jos pitää olettaa, että Jukka ei tiedä omia lapsiaa lainkaan, vaan tietää mitä tehtävän tekijälle kerrotaan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?

En. Kyseessä ei ole Jukka, joka on valittu äärettömästä joukosta Jukkia, joilla on kaksi korttia, joista ainakin yksi on musta. Kyseessä on kaverisi Jukka, jonka kanssa pelaat juuri nyt uhkapeliä. Voitat, jos veikkaat oikein, onko hänellä kaksi mustaa korttia vai ei. Mitä veikkaat?

No tuossa tapauksessa, Jukka ehkä yrittäisi voittaa saamalla minut vastaamaan "väärin", jolloin hänellä olisi kaksi mustaa korttia, vaikka se olisi epätodennäköisempää. Toisaalta hän varmaan arvaisi, että minä ajattelisin näin, joten hänellä ei sittenkään olisi kaksi korttia... Vaikea sanoa miten pitkälle Jukka miettisi tuota "hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että hän ajattelisi, että minä ajattelisin, että..." -ketjua. Vaikea kysymys,

Pitikö tässä olettaa, että ne kortit olivat satunnaisia eikä Jukan valitsemia?

Jukka tietää lapsensa. Lapset eivät ole Jukalle tuntemattomia. "Minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."

TP

PT

PP

Lukija ei tiedä kortteja/lapsia. Jukka ei niitä paljasta. Jukalla voi olla kolme erilaista kombinaatiota korteista/lapsista. Vain yhdessä tapauksessa tilanne on PP.

Aika typerä tehtävä, jos pitää olettaa, että Jukka ei tiedä omia lapsiaa lainkaan, vaan tietää mitä tehtävän tekijälle kerrotaan.

Tästä tulikin nykyaikainen tehtävä, jossa Jukka ei tiedä lastensa sukupuolia, vaan lääkäri on jukalle kertonyt, että hänellä on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:

PT

TP

PP

mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat

PT

TP

PP

PP

Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2

Mitä ihmettä minä luen?

Meinaatko oikeasti, että ilman mitään lisätietojakin normaalisti on viisi eri tapaa saada kaksi lasta?

Siis TT, PT, TP, PP, PP

Mitkä näinen todennäköisyydet mielestäsi ovat? Yhteensä 125 %?

En, vaan tuolla teikäläisten ajattelutavalla on 6 eri vaihtoehtoa:

Maija ja Liisa

Liisa ja Maija

Maija ja Pekka

Pekka ja Maija

Pekka ja Jussi

Jussi ja Pekka

Eli TT, TT, TP, PT, PP ja PP

Eli, jos huomioidaan että eri sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä, täytyy myös huomioida, että samaa sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä.

Tyttövaihtoehdot diskataan, joten vastaus on 2/4 =1/2

Mites:

Minulla on työkaveri Minna (nainen). Kysyn onko hänellä sisaruksia. Hän vastaa kyllä.

Mikä on todennäköisyys, että molemmat - sekä Minna että hänen sisaruksensa - ovat naisia?

Tämä on kai eri kysymys kuin aloituksessa?

Onko vastaus tähän 1/2?

Vierailija kirjoitti:

Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen? 

Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.

665 taitaa olla trolli?

Jos et ole, niin generoi taulukkolaskentaohjelmalla satunnaisia lukuja pareittain ja mieti uudestaan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:

PT

TP

PP

mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat

PT

TP

PP

PP

Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2

Mitä ihmettä minä luen?

Meinaatko oikeasti, että ilman mitään lisätietojakin normaalisti on viisi eri tapaa saada kaksi lasta?

Siis TT, PT, TP, PP, PP

Mitkä näinen todennäköisyydet mielestäsi ovat? Yhteensä 125 %?

En, vaan tuolla teikäläisten ajattelutavalla on 6 eri vaihtoehtoa:

Maija ja Liisa

Liisa ja Maija

Maija ja Pekka

Pekka ja Maija

Pekka ja Jussi

Jussi ja Pekka

Eli TT, TT, TP, PT, PP ja PP

Eli, jos huomioidaan että eri sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä, täytyy myös huomioida, että samaa sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä.

Tyttövaihtoehdot diskataan, joten vastaus on 2/4 =1/2

Tämä on sitä korkeampaa huumoria.

Vierailija kirjoitti:

Mites:

Minulla on työkaveri Minna (nainen). Kysyn onko hänellä sisaruksia. Hän vastaa kyllä.

Mikä on todennäköisyys, että molemmat - sekä Minna että hänen sisaruksensa - ovat naisia?

Tämä on kai eri kysymys kuin aloituksessa?

Onko vastaus tähän 1/2?

Muotoilin tämän tyhmästi. Tarkoitin että Minnalla on YKSI sisarus, jonka sukupuolta en tiedä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?

Tämä riippuu siitä, näyttikö Jukka sen kortin sattumalta, ja se sattui olemaan musta. Tällöin tn että molemmat on mustia on 1/2.

Toisaalta jos olette sopineet että Jukka katsoo molemmat kortit ja näyttää mustan, silloin vastaus on 1/3.

Ymmärsin tuon ensin niin, että Jukka näytti satunnaisen kortin ja se sattui olemaan musta. Silloin todennäköisyys sille, että molemmat ovat mustia, on 1/3 eli sama kuin aloituksessa, ja tämä on jo selvitetty asia.

Jos minä tiedän, että Jukalla on jokin muu perustelu näyttää musta kortti, voi todennäköisyys muuttua, mutta koska minulla ei ole mitään tietoa Jukan vilautteluperiaatteesta, niin oletan hänen näyttäneen täysin satunnaisen kortin kahdesta. Jukkahan saattoi näyttää vaikka sen kortin jossa oli enemmän rypistymistä. Tai Jukka on sokea, joka ei näe korttien värejä. Sillä mitä ei tiedetä, ei ole väliä.

EI EI EI EI !!!!

TÄMÄ EI OLE SAMA KUIN ALOITUKSESSA MAINITTU ASIA

jos katsotaan sattumalta yksi, se ei muuta toisen todennäköisyyttä 50%:sta mihinkään suuntaan. On edelleenkin aivan eri asia tietää että kahdesta ainakin toinen on X, kuin että sattumanvaraisesti katsottu on X

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.

Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.

Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.

P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")

= (1 * 1/4) / (3/4) 

= 4 / 12

= 1/3

Vierailija kirjoitti:

Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:

PT

TP

PP

mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat

PT

TP

PP

PP

Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2

No ei.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:

PT

TP

PP

mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat

PT

TP

PP

PP

Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2

Mitä ihmettä minä luen?

Meinaatko oikeasti, että ilman mitään lisätietojakin normaalisti on viisi eri tapaa saada kaksi lasta?

Siis TT, PT, TP, PP, PP

Mitkä näinen todennäköisyydet mielestäsi ovat? Yhteensä 125 %?

Ilmeisesti kuusi tapaa, koska kai kaksi tyttöäkin voi sitten saada eri järjestyksessä joten tn on yhteensä ilmeisesti 150 %?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.

Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.

Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika).  Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta

-

Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin

A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP

B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP

C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT

D perheet joissa kaksi tyttöä.

Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.

Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.

Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2,  koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.

Yltä lainattua:

"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.

Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.

Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."

Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.

"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?

En. Kyseessä ei ole Jukka, joka on valittu äärettömästä joukosta Jukkia, joilla on kaksi korttia, joista ainakin yksi on musta. Kyseessä on kaverisi Jukka, jonka kanssa pelaat juuri nyt uhkapeliä. Voitat, jos veikkaat oikein, onko hänellä kaksi mustaa korttia vai ei. Mitä veikkaat?

Riippuu kertoimista.

Matematiikan professorina en ymmärrä, miksi tästä aletaan jauhamaan heti kukonlaulun aikaan ja lopetetaan jauhaminen kun palsta menee kiinni. Ketjun ensimmäinen vastaus tyhjensi jo pajatson. Vastaus on 1/3. Tehtävänannossa ei kerrota mitään Jukan salaisesta logiikasta, eikä sillä ole väliä, koska Jukka tietää joka tapauksessa, montako poikaa hänellä on.

Kyse on siitä ehdollisesta todennäköisyydestä, mikä saadaan tehtävänannossa annetuilla tiedoilla. Ei todennäköisyyslaskennan tehtävissä ole selitetty juurtajaksain kaikkea, mikä ikinä voisikaan vaikuttaa tähän ehdolliseen todennäköisyyteen, vaan pointtina on laskea todennäköisyys, yksinkertaitettuna, sinun kannaltasi.

Toki ymmärrän keskustelun pituuden jos täällä aletaan miettimään erilaisia variaatiota tästä ongelmasta. Tosiasiassa tämäkin muuttu aika pian tylsäksi, koska kaikki variaatiot on typistettävissä tähän: onko se lapsi jonka sukupuoli tiedetään, valikoitunut jostain syystä sattumanvaraisesti (jolloin tn. on 1/2) vai onko informaatio kenties se, että ainakin yksi niistä on X-sukupuolta.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:

PT

TP

PP

mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat

PT

TP

PP

PP

Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2

Mitä ihmettä minä luen?

Meinaatko oikeasti, että ilman mitään lisätietojakin normaalisti on viisi eri tapaa saada kaksi lasta?

Siis TT, PT, TP, PP, PP

Mitkä näinen todennäköisyydet mielestäsi ovat? Yhteensä 125 %?

En, vaan tuolla teikäläisten ajattelutavalla on 6 eri vaihtoehtoa:

Maija ja Liisa

Liisa ja Maija

Maija ja Pekka

Pekka ja Maija

Pekka ja Jussi

Jussi ja Pekka

Eli TT, TT, TP, PT, PP ja PP

Eli, jos huomioidaan että eri sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä, täytyy myös huomioida, että samaa sukupuolta olevat voivat syntyä eri järjestyksessä.

Tyttövaihtoehdot diskataan, joten vastaus on 2/4 =1/2

Ei. Matematiikka ei toimi niin että kuka tahansa voi keksiä mitä tahansa sääntöjä ja sitten mennään niiden kanssa.

Emme tarkastele nimiä, vaan sukupuolia. Kaksi kahta sukupuolta olevaa lasta voi saada näillä, ja vain näillä tavoilla:

Tyttö ja tyttö

Tyttö ja poika

Poika ja tyttö

Poika ja poika

Vierailija kirjoitti:

Mites:

Minulla on työkaveri Minna (nainen). Kysyn onko hänellä sisaruksia. Hän vastaa kyllä.

Mikä on todennäköisyys, että molemmat - sekä Minna että hänen sisaruksensa - ovat naisia?

Tämä on kai eri kysymys kuin aloituksessa?

Onko vastaus tähän 1/2?

Kyllä. Eri kysymys, ja vastaus on 1/2.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen? 

Siten niin, että ei ehdollista todennäköisyyttä lasketa noin. Vähän sama kuin kysyisit, että miten niin ei kolmion pinta-ala ole sivujen summa kerrottuna kolmella, koska siinä on ne sivut ja kolme kulmaa.

Mitä se normaali todennäköisyyslaskenta sitten on? 

Tiedämme, että joko kuopus tai esikoinen on ainakin poika. 

Tapaus A (esikoinen on poika): kuopus on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5)

Tapaus B (kuopuos on poika): esikoinen on poika tai tyttö (molempien sukupuolien todennäköisyys 0,5) 

Molempien tapauksien todennäköisyys on 0,5 ja molemmissa mahdollisuus kahteen poikaan on 0,5. 

0,5*0,5 + 0,5*0,5= 0,5 

Mitä tämä laskenta on ja mikä tässä menee pieleen ja miksi tämä laskutapa on väärä? Se ottaa huomioon kaikki mahdolliset tapaukset. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kävisikö näin järkeen:

Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.

Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.

Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.

Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.

Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.

Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.

Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.

Mikäs se tuollainen ääretön korttipakka on? Ei ole sellaista vielä koskaan tullut vastaan. Mutta lasketaan.

P("kaksi mustaa korttia" | "vähintään yksi musta kortti") = (P("vähintään yksi musta kortti" | "kaksi mustaa korttia") * P("kaksi mustaa korttia")) / P("vähintään yksi musta kortti")

= (1 * 1/4) / (3/4) 

= 4 / 12

= 1/3

Laittaisit siis tuossa tilanteessa (näytettävä kortti valittu sattumanvaraisesti) panokset poikkeuksetta sille vaihtoehdolle, että Jukalla ei ole kahta mustaa korttia? Tavattaisiinko tänään jossain pubissa, minulla olisi hauska peli pelattavaksi. Minimipanos 100 euroa kierros. Voin käyttää tavallista korttipakkaa.