Lue keskustelun säännöt.
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Koska tähän ei koskaan tullut jatkoa, niin jatkan itse siltä varalta että joku sitä jäi kaipaamaan. Ehkä ei, mutta saatte sen nyt kuitenkin:
B, C ja D täyttävät ehdon. "Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä" on siis sama kuin kaikkien alkioiden määrä, eli 3.
Näistä kolmesta alkio D, ja vain alkio D täyttää ehdon "kaksi poikaa". Suotuisten tapahtumien määrä on siis yksi.
Näin ollen klassisen todennäköisyyslaskennan mukaan saamme todennäköisyydeksi tapahtumalle "kaksi poikaa, jos ainakin yksi poika" = 1/3.
Vastasin kyllä tuolla aiemmin, että näistä aina kaksi kerrallaan, riippuen onko poika merkitty tuohon ensimmäiseksi vai jälkimmäiseksi. Eli joko b ja d tai c ja d täyttävät ehdon. Samaan yhtälöön näitä ei saa koska se poika, jonka sukupuoli kerrottiin, ei voi olla yhtä aikaa kuopus ja esikoinen.
Nyt ei ollut puhe mistään yhtälöistä, vaan alkioista. En tiedä miksi sotket koko ajan täysin asiaan kuulumattomia juttuja vastauksiisi? Jokainen alkioista B, C ja D täyttävät ehdon, siinä ei ole mitään epäselvää.
No eikö noista alkioista muodosteta se yhtälö?
Ei. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa ei ole mitään yhtälöitä. On vain joukko tapahtumia (=alkioita) joista osa on suotuisia ja osa ei.
No mikä hitto tuo Bayesin teoreema sitten oli, ellei yhtälö?
Bayesin teoreema ei ole klassista todennäköisyyslaskentaa. Se on kyllä johdettavissa siitä, mutta jos sitä haluat niin tosiaan joudun viittaamaan sinut jonkun yliopiston proffan luokse, itse sitä tuskin enää osaisin tehdä.
Bayesin teoreema tarjoaa keinon laskea tuo ratkaisu numeräärisesti, klassinen todennäköisyyslaskenta kertoo vain suotuisten tapahtumien suhteen kaikkiin tapahtumiin.
Koeta nyt päättää, mitä tähän todennäköisyyslaskentaan kuuluu ja mitä ei. Et voi ensin vedota teoreemaan ja sitten sanoa, että eihän sitä voida käyttää.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Tässä esimerkki ehdollisesta todennäköisyydestä Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen kurssilta.
Tehtävä 8.1. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 9 sillä ehdolla, että ainakin toisella heitoista saadaan silmäluku 5? Laske todennäköisyys sekä suoraan että käyttäen ehdollista todennäköisyyttä.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.
Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.
Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.
"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.
Mistä tiedät, että ei viittaa? Se ei käy Jukan lausunnosta mitenkään ilmi. Jos Jukka olisi sanonut, että hänellä on kaksi lasta ja vähintään yksi poika, niin tilanne olisi eri.
Miksi aloituksessa kysyttäisiin, mikä on ensimmäisen lapsen sukupuoli? Vastaushan olisi siinä tapauksessa jo annettu valmiiksi, eikä koko kysymyksessä olisi järkeä. Eri
Miten se olisi siinä tapauksessa annettu valmiiksi yhtään enempää kuin nytkään?
Aloituksessa sanotaan suoraan, että todennäköisyys olla tiettyä sukupuolta on 1/2. Jos kysyttäisiin vain ensimmäisen lapsen todennäköisyyttä olla poika, niin senhän voisi päätellä suoraan, eikä olisi mitään laskettavaa tai pähkäiltävää. Ei olisi mitään järkeä kertoa toisen (2.) lapsen sukupuolta, jos sillä ei olisi mitään merkitystä tehtävän kannalta. Vai olisiko se hämäystä?
Mun nähdäkseni voisi hyvin olla. On paljon kompakysymyksiä, joissa hämäys perustuu siihen, että huomattava osa ihmisistä alkaa miettiä, että "eihän tää voi olla näin helppo".
Sitten on vielä nekin ihmiset, jotka olettavat, että jos toinen lapsi on poika, niin ensimmäisen todennäköisyys olla tyttö on suurempi kuin 1/2. (En tiedä miksi, mutta näin näyttäisi olevan.)
Oli miten hyvänsä, niin tehtävästä ei käy ilmi, kumpi luenta on oikein. Jos haluaa perustella, että vain toinen on oikein, niin se menee "mitä järkeä olisi kysyä"-osastolle, millä ei ole enää matikan kanssa paljoa tekemistä. Ja siis tosiaan, olisi ollut ihan mahdollista olla käyttämättä sanaa toinen. Esim tuo vähintään, tai sitten ihan vaikka "Minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika."
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole.
Onhan. Voi olla myös molemmat jos kumpikin lapsista on poikia.
Kysymys ei ollut siitä, ONKO kuopus tai esikoinen poika, vaan siitä, TIEDÄMMEKÖ kuopuksen tai esikoisen olevan poika. Eli se informaatio "ainakin toinen on poika" koski joko esikoista tai kuopusta, ei molempia. Jukka saattoi toki vekkulina mielessään ajatella molempia, mutta sillä ei laskutoimituksen kannalta ole väliä.
Emme tiedä. Tiedämme että toinen on, mutta emme voi mielivaltaisesti valita että kumpi.
Emme voikaan, mutta voimme laskea molemmat skenaariot ja molemmissa on sama tulos.
Sama väärä tulos, kaiken lisäksi. Vielä väärään kysymykseenkin laskettuna.
Miten niin? Jos todennäköisyys kuopuksen tapauksessa on 1/2 ja esikoisen tapauksessa on 1/2, mitä muita mahdollisuuksia meillä on. Voiko kahden lapsen perheessä lapsi olla jotain muuta kuin kuopus tai esikoinen?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Ei suinkaan, kumpaakin korttia nostettaessa on ollut 50/50 todennäköisyys saada punainen tai musta. Aivan kuten Jukan lapsia tehdessään on ollut (tässä tehtävässä) 50/50 todennäköisyys saada tyttö tai poika. Pahoittelut, rajallisen korttipakan kyseessä ollessa olisi todennäköisyys ollutkin hieman eri.
Vierailija kirjoitti:
Koeta nyt päättää, mitä tähän todennäköisyyslaskentaan kuuluu ja mitä ei. Et voi ensin vedota teoreemaan ja sitten sanoa, että eihän sitä voida käyttää.
No en ole noin sanonutkaan. Voit ratkaista tehtävän käyttämällä klassista todennäköisyyslaskentaa tai soveltamalla Bayesin teoreemaa. Aivan kuten voit laskea 3 x 3 joko opettelemalla kolmosen kertotaulun tai purkamalla sen yhteenlaskuksi 3 + 3 + 3 tai laskea suorakulmaisen kolmion hypotenuusan joko Pytagoraan lauseella tai trigonometrian avulla.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:
PT
TP
PP
mutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat
PT
TP
PP
PP
Eli oikea vastaus on 2/4 = 1/2
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Onko kortit jaettu neljän kortin pakasta jossa on kaksi mustaa ja kaksi punaista korttia? Jotta siis tilanne olisi identtinen tämän lapsi-kysymyksen kanssa.
Miten niin kaksi mustaa ja kaksi punaista? Eihän se ole mitenkään identtinen lapsikysymyksen kanssa. Kun lapsi syntyy, ei se ime itseesä sitä edellisen lapsen "käyttämätöntä" sukupuolta. Siten ei korttipakkaankaan jää mustan kortin jälkeen punaista ylimääräistä korttia.
ohis
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
1/2 todennäköisyydellä minusta. En ymmärrä miten se vaikuttaisi toisen kohdalla mitenkään todennäköisyyskin oli ensimmäisen mitä hyvänsä.
Tehtävässä ei sanottu että ensimmäinen lapsi on poika, vaan että lapsia on kaksi joista ainakin yksi on poika.
Ei, tehtävänannossa sanotaan "ainakin toinen on poika". Ensimmäisen sukupuolta ei tiedetä.
"Toinen" ei tässä viittaa järjestykseen. Jos viittaisi, niin vastaus olisi toki 1/2.
Mistä tiedät, että ei viittaa? Se ei käy Jukan lausunnosta mitenkään ilmi. Jos Jukka olisi sanonut, että hänellä on kaksi lasta ja vähintään yksi poika, niin tilanne olisi eri.
Miksi aloituksessa kysyttäisiin, mikä on ensimmäisen lapsen sukupuoli? Vastaushan olisi siinä tapauksessa jo annettu valmiiksi, eikä koko kysymyksessä olisi järkeä. Eri
Miten se olisi siinä tapauksessa annettu valmiiksi yhtään enempää kuin nytkään?
Aloituksessa sanotaan suoraan, että todennäköisyys olla tiettyä sukupuolta on 1/2. Jos kysyttäisiin vain ensimmäisen lapsen todennäköisyyttä olla poika, niin senhän voisi päätellä suoraan, eikä olisi mitään laskettavaa tai pähkäiltävää. Ei olisi mitään järkeä kertoa toisen (2.) lapsen sukupuolta, jos sillä ei olisi mitään merkitystä tehtävän kannalta. Vai olisiko se hämäystä?
Mun nähdäkseni voisi hyvin olla. On paljon kompakysymyksiä, joissa hämäys perustuu siihen, että huomattava osa ihmisistä alkaa miettiä, että "eihän tää voi olla näin helppo".
Sitten on vielä nekin ihmiset, jotka olettavat, että jos toinen lapsi on poika, niin ensimmäisen todennäköisyys olla tyttö on suurempi kuin 1/2. (En tiedä miksi, mutta näin näyttäisi olevan.)
Oli miten hyvänsä, niin tehtävästä ei käy ilmi, kumpi luenta on oikein. Jos haluaa perustella, että vain toinen on oikein, niin se menee "mitä järkeä olisi kysyä"-osastolle, millä ei ole enää matikan kanssa paljoa tekemistä. Ja siis tosiaan, olisi ollut ihan mahdollista olla käyttämättä sanaa toinen. Esim tuo vähintään, tai sitten ihan vaikka "Minulla on kaksi lasta, joista ainakin yksi on poika."
Yleensä tehtävissä kyllä termi "ainakin toinen" tarkoittaa ainakin yksi kahdesta. Jopa laissa lukee "ainakin toinen" ja se tarkoittaa vähintään jompi kumpi.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Koeta nyt päättää, mitä tähän todennäköisyyslaskentaan kuuluu ja mitä ei. Et voi ensin vedota teoreemaan ja sitten sanoa, että eihän sitä voida käyttää.
No en ole noin sanonutkaan. Voit ratkaista tehtävän käyttämällä klassista todennäköisyyslaskentaa tai soveltamalla Bayesin teoreemaa. Aivan kuten voit laskea 3 x 3 joko opettelemalla kolmosen kertotaulun tai purkamalla sen yhteenlaskuksi 3 + 3 + 3 tai laskea suorakulmaisen kolmion hypotenuusan joko Pytagoraan lauseella tai trigonometrian avulla.
No mitä sitten tarkoitat, että ei puhuta mistään yhtälöstä vaan alkioista?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Suurin osa vastaa että 1/3 , koska ajattelevat että vaihtoehdot ovat:
PT
TP
PPmutta ei voi ajatella, että huomioisi eri sukupuolta olevien syntymisen eri järjestyksessä Jos niin tekee, täytyy huomioida myös kahden pojan syntyminen eri järjestyksessä. Eli vaihtoehdot ovat
PT
TP
PP
PPEli oikea vastaus on 2/4 = 1/2
Mitä ihmettä minä luen?
Meinaatko oikeasti, että ilman mitään lisätietojakin normaalisti on viisi eri tapaa saada kaksi lasta?
Siis TT, PT, TP, PP, PP
Mitkä näinen todennäköisyydet mielestäsi ovat? Yhteensä 125 %?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Kai sen jokainen nyt ymmärtää, että toinen tarkoittaa että yksi. Muutoin olisi sanottu "vanhempi" ja eihän se silloin edes olisi mikään "kuuluisa ongelma" kun vastaus olisi intuition mukainen 1/2.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?
Tämä riippuu siitä, näyttikö Jukka sen kortin sattumalta, ja se sattui olemaan musta. Tällöin tn että molemmat on mustia on 1/2.
Toisaalta jos olette sopineet että Jukka katsoo molemmat kortit ja näyttää mustan, silloin vastaus on 1/3.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?
En. Kyseessä ei ole Jukka, joka on valittu äärettömästä joukosta Jukkia, joilla on kaksi korttia, joista ainakin yksi on musta. Kyseessä on kaverisi Jukka, jonka kanssa pelaat juuri nyt uhkapeliä. Voitat, jos veikkaat oikein, onko hänellä kaksi mustaa korttia vai ei. Mitä veikkaat?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?
Tämä riippuu siitä, näyttikö Jukka sen kortin sattumalta, ja se sattui olemaan musta. Tällöin tn että molemmat on mustia on 1/2.
Toisaalta jos olette sopineet että Jukka katsoo molemmat kortit ja näyttää mustan, silloin vastaus on 1/3.
Ymmärsin tuon ensin niin, että Jukka näytti satunnaisen kortin ja se sattui olemaan musta. Silloin todennäköisyys sille, että molemmat ovat mustia, on 1/3 eli sama kuin aloituksessa, ja tämä on jo selvitetty asia.
Jos minä tiedän, että Jukalla on jokin muu perustelu näyttää musta kortti, voi todennäköisyys muuttua, mutta koska minulla ei ole mitään tietoa Jukan vilautteluperiaatteesta, niin oletan hänen näyttäneen täysin satunnaisen kortin kahdesta. Jukkahan saattoi näyttää vaikka sen kortin jossa oli enemmän rypistymistä. Tai Jukka on sokea, joka ei näe korttien värejä. Sillä mitä ei tiedetä, ei ole väliä.
Vilpittömästi hyvää perjantai-illan jatkoa kanssajankkaajille, eläköidyn nyt tästä keskustelusta! Terveisin synnytysfarmien ja Jukan uhkapelikerhon ylpeä perustaja :D
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö?
Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.
Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:
Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.
Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5.
Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5
= 0,5
Mutta miksi nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö.
Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?
0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:
P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5
= 0,25
P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")
= 1 - 0,25
= 0,75
Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2?
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat poikia.
Todennäköisyys olisi 0, jos tietäisimme, että molemmat lapset ovat tyttöjä.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista.
Tiedämme vain, että mollemmat lapset eivät voi olla tyttöjä (vähintää yksi poika). Tämä 1/4 todennäköisyys ei ole tässä tehtävässä mahdollinen kaikista eri tavoista saada kaksi lasta
-
Jos kaikki jonkin maan kaksilapsiset perheet kutsuttaisiin kokoon ja riviin
A laitettaisiin ne perheet , joilla 2 poikaa PP
B joilla nuorin on tyttö ja vanhempi poika TP
C joilla nuorin on poika ja vanhempi tyttö PT
D perheet joissa kaksi tyttöä.
Kaikkia näitä perheitä on sama määrä esim 100 000, yhteensä siis 400 000.
Rivin D perheet lähetettäisiin kotiin. Jäljelle jäisi kolme riviä, joissa yhteensä on 300 000 perhettä.
Jaa kaikilla jäljelle jääneille perheilla arpaliput, joissa numerot 1 - 300 000. Arvo ensimmäinen satunnainen arpanumero väliltä 1 - 300 000. Millä todennäköisyydellä arvan saa rivin A perhe, joita on 100 000 kappaletta jäljellejääneiden 300 000 perheen joukossa? Todennäköisyys ei voi olla 1/2, koska rivin A perheitä on paikalla olleista vain kolmasosa.
Yltä lainattua:
"Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että ensimmäinen lapsi on poika.
Todennäköisyys olisi 1/2, jos tietäisimme, että toinen lapsi on poika.
Emme tiedä mitään yllämainituista asioista."
Tiedämmepäs, jos kyseessä on tietty yksilöitävissä ja täysin satunnaisesti tapaamamme Jukka, jolla on jo kaksi lasta! Tiedämme varmasti, että kyseessä on joko ensimmäinen tai toinen noista tilanteista. Muita mahdollisuuksia ei ole. Molempien todennäköisyys on 1/2. Niinpä todennäköisyys on silloin 0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5.
"Tiedämme varmasti" Perustele. Et voi suin päin oman mielen mukaan yhdistää noita tapauksia tuolla tavalla.
Kävisikö näin järkeen:
Jukalla on kaksi korttia, jotka voivat olla punaisia tai mustia. Hän laittaa ne eteensä pöydälle.
Jukka näyttää sinulle toisen korteista. Se on musta. Jukka sekoittaa korttien järjestyksen.
Tiedät, että joko 1. Näit vasemmalla olevan kortin tai 2. Näit oikealla olevan kortin.
Näin ollen tiedät, että joko 1) vasemmanpuoleinen kortti on varmasti musta, oikeanpuoleinen voi olla musta tai punainen tai 2) oikeanpuoleinen kortti on varmasti musta, vasemmanpuoleinen voi olla musta tai punainen. Koska kortteja oli kaksi, näiden vaihtoehtojen todennäköisyydet ovat 50/50.
Laskutoimitus ei muutu, vaikka kortit eivät olisi näkyvissäsi, Jukka kertoisi niistä sinulle suullisesti, tai kortit olisivatkin lapsia.
Ja kai tarkoitit tuon nimenomaan niin, että todennäköisyys sille, että molemmat kortit ovat mustia, on 1/3?
Tämä riippuu siitä, näyttikö Jukka sen kortin sattumalta, ja se sattui olemaan musta. Tällöin tn että molemmat on mustia on 1/2.
Toisaalta jos olette sopineet että Jukka katsoo molemmat kortit ja näyttää mustan, silloin vastaus on 1/3.
Eikö aloituksessa nimenomaan puhuta tuosta ensimmäisestä? (Enkä kyllä vieläkään ymmärrä, mikä ero näillä edes on.)
ohis
Sama väärä tulos, kaiken lisäksi. Vielä väärään kysymykseenkin laskettuna.