Lue keskustelun säännöt.
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siitä olen samaa mieltä että kyseessä ei ole mielipideasia. On vaan kylmä fakta että yksiselitteistä vastausta ei annetuilla tiedoilla voi antaa.
Selvä. Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:
T + P
P + T
P + PSe ei sulje mitään näistä pois enkä ole missään väittänyt että sulkisi. Kysymys on siitä, että ovatko nuo vaihtoehdot keskenään yhtä todennäköisiä, vai eivät. Ja se taas riippuu Jukan logiikasta.
Ovat, koska tehtävänannossa sanottiin että poika/tyttö todennäköisyys on tasan 50/50. Ja se ei riipu millään tapaa Jukan logiikasta, koska Jukan logiikkaa ei ole tehtävänannossa kerrottu niin siitä ei tarvitse silloin myöskään välittää.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Mitä jos Jukka valehtelee tai aloittaja KEKSI Jukan olemassaolon omasta päästään?! :D Matikanope ei tykkäisi, jos oppilaat eivät suostuisi hyväksymään tehtävän mukana tulevia ehtoja vaan mitäjossittelisivat loputtomasti.
"Jukka valehtelee" on ihan looginen mahdollisuus, mutta yleensä tällaisissa kysymyksissä tehdään oletus, että kaikki mitä sanotaan on totta. Nuo muut mahdollisuudet Jukan toiminnasta eivät ole "loputonta mitäjossittelua" vaan vastaesimerkkejä jotka osoittavat että 1/3 ei voi olla oikea vastaus, jos ei tehdä lisäoletuksia joita kysymyksessä ei ole annettu.
Mitä lisäoletuksia tulos 1/3 muka vaatii?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Oikea vastaus (ei ollut vastausvaihtoehdoissa): tietoa ei ole riittävästi yksiselitteisen vastauksen antamiseen. Se nimittäin riippuu siitä, että miksi (minkä säännön mukaisesti) Jukka sanoi mitä sanoi.
Kyllä on. Vastaus on 1/3.
Olet väärässä. Jos Jukan logiikka oli esim. että hän kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen, eli jos vanhempi lapsi olisikin ollut tyttö, hän olisi sanonut "ainakin toinen on tyttö", vastaus olisi 1/2.
Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä. Todennäköisyydet lasketaan aina tietyillä oletuksilla, eikä kaikkea tietoa aina ole. Siksi sitä kutsutaan todennäköisyydeksi eikä varmaksi tiedoksi.
Jos sanotaan, että toinen lapsista on poika, silloin oletamme vain ja ainoastaan juuri sen, että jompikumpi lapsista on poika, emmekä tee mitään omia oletuksia, että oliko se vanhempi vai nuorempi.
Jos sanottaisiin, että vanhempi lapsi on poika, se olisi aivan eri tietoa, ja silloin vastauskin itse asiassa olisi eri. Silloin vastaus olisi 1/2, kun nyt esitettyyn pulmaan se on 1/3.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Ensin ajattelin, että 1/2.
Nyt ajattelen, että 1/3, koska vaihtoehtoja kahdelle lapselle on kolme: tyttö+tyttö, tyttö+poika ja poika+poika.Kertokaa nyt joku, mikä on oikea vastaus!
Oikea vastaus on 1/3. Vaihtoehtoja on neljä, luettelemiesi lisäksi vielä poika+tyttö.
Oikeasti oikea vastaus on että kysymyksessä ei ole riittävästi tietoa joten yksiselitteistä vastausta ei voi antaa.
Vastaukseksi ei voida antaa varmaa tietoa onko Jukalla kaksi poikaa vai ei, mutta kyllä sille voidaan laskea ainoa oikea todennäköisyys niillä tiedoilla, jotka on saatavilla. Tietoa ei tarvitse olle "riittävästi". Eri tiedoilla saadaan eri tuloksia.
Olet väistämättömästi väärässä heti lähtökohdassa: "Jukan salaisella logiikalla ei ole todennäköisyyden laskemisen kannalta väliä, koska emme tiedä sitä." Tuossahan minä juuri kerroin yhden tavan miten Jukan toiminnan logiikka voi vaikuttaa lopputulokseen. Ja sinä myönnät että Jukan logiikka ei ole tiedossa. Joten lopputuloskaan ei voi olla tiedossa.
Jos heitin noppaa, millä todennäköisyydellä tuli 6? Siis ihan tavallista kuusisivuista noppaa. Sanoisit että 1/6. Mutta mitä jos minä esitän tuon kysymyksen sinulle vain silloin, jos noppaan tulee 6, mutta en kerro sinulle tätä salaista periaatettani? Oletko laskenut todennäköisyyden väärin?
Ei ole olemassa mitään yhtä ainoaa "oikeaa todennäköisyyttä", ellei lasketa varmaa tietoa. Kaikkitietävä olento osaisi joka heitolla sanoa, että todennäköisyys saada kutonen olisi joko 0 tai 1, mutta me ihmiset joudumme tyytymään epävarmuuteen.
Kyllä "laskisin" väärin jos vastaisin että 1/6. Onneksi en sitä vastaisi tuossa tilanteessa, vaikka sinä muuta kuvittelet. Bayesilainen logiikka on ihan oikeasti tarpeellinen periaate.
Totean myös, että yksikään 1/3-puolustajista ei ole kirjoittanut oletuksiaan Jukan toiminnasta auki, sikäli kuin olen huomannut. Jos logiikka olisi esim. että kaikista kaksilapsisista perheistä valitaan joku satunnaisesti, raakataan pois ne joissa ei ole ainuttakaan poikaa, ja annetaan "Jukan" heittää replansa, niin oikea vastaus olisi 1/3. Mutta jos ei tehdä yhtään mitään oletuksia Jukan toiminnasta, niin miten päästään tulokseen 1/3? Tämänhän pitäisi olla helppo kysymys jos minä kerran olen niin väärässä.
Jukan toimintaa ei tarvitse kirjoittaa auki koska se ei vaikuta millään tapaa tehtävään. Jukalla on kahdesta lapsesta vähintään yksi poika, jolloin saamme yksinkertaisen kombinatoorisen tehtävän:
T+P
P+T
P+P
jossa kaikki ovat yhtä todennäköisiä, ja vastaus on triviaali 1/3.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Mitä jos Jukka valehtelee tai aloittaja KEKSI Jukan olemassaolon omasta päästään?! :D Matikanope ei tykkäisi, jos oppilaat eivät suostuisi hyväksymään tehtävän mukana tulevia ehtoja vaan mitäjossittelisivat loputtomasti.
"Jukka valehtelee" on ihan looginen mahdollisuus, mutta yleensä tällaisissa kysymyksissä tehdään oletus, että kaikki mitä sanotaan on totta. Nuo muut mahdollisuudet Jukan toiminnasta eivät ole "loputonta mitäjossittelua" vaan vastaesimerkkejä jotka osoittavat että 1/3 ei voi olla oikea vastaus, jos ei tehdä lisäoletuksia joita kysymyksessä ei ole annettu.
Mitä lisäoletuksia tulos 1/3 muka vaatii?
No ilmeisesti sen että "Jukka ei valehtele" ja että "tehtävä lasketaan kuten se on annettu" ja että "älä keksi päästäsi lisäoletuksia".
Yleisesti ottaen poika-poika -yhdistelmän todennäköisyys on 1/4.
Sen, että tulee sellainen tilanne kuin Jukalla, siis vähintään toinen kahdesta lapsesta poika, todennäköisyys on 3/4.
Merkitään X:llä todennäköisyyttä sille, että Jukalla on kaksi poikaa.
Todennäköisyys 3/4, vähintään 1 poika, skaalautuu Jukan kohdalla todennäköisyydeksi 1, koska tiedetään että hänellä on poika.
Verranto:
P(yleisessä tilanteessa 2 poikaa)/P(Jukalla 2 poikaa) = P(yleisesti vähintään 1 poika)/P(Jukalla vähintään 1 poika)
Eli
(1/4) / X = (3/4) / 1
X = (1/4)/(3/4)
X = 1/4 * 4/3 = 1/3
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Olen esittänyt argumentteja joihin ei mitään järkeviä vastauksia ole tullut, ja mm. siteerannut Wikipediaa joka on asiasta kanssani samaa mieltä.
No voitko esittää uudestaan kun en muista ainuttakaan nähneeni. Ja siis jotain muuta kuin tyhjästä keksimiäsi lisäyksiä tehtävänantoon joita siinä ei ole.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siitä olen samaa mieltä että kyseessä ei ole mielipideasia. On vaan kylmä fakta että yksiselitteistä vastausta ei annetuilla tiedoilla voi antaa.
Selvä. Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:
T + P
P + T
P + PSe ei sulje mitään näistä pois enkä ole missään väittänyt että sulkisi. Kysymys on siitä, että ovatko nuo vaihtoehdot keskenään yhtä todennäköisiä, vai eivät. Ja se taas riippuu Jukan logiikasta.
Miten perustelet sen ettet ole väittänyt niin? Jos olet sitä mieltä että vaihtoehtojen todennäköisyys riippuu Jukan logiikasta, niin se antaa mahdollisuuden sille että jonkun lapsikombinaation todennäköisyys on 0. Silloin se nimenomaan sulkee pois tuon kombinaation.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Ne joiden mielestä tyttö ja poika ovat sama asia kuin poika ja tyttö.
Arkikielessä ehkä, mutta todennäköisyyksiä laskettaessa ei ole, ja tässä havainnollistus.
Ajatellaan, että kaupungissa on 1000 kaksilapsista perhettä. Ensin nämä kaikki perheet olivat yksilapsisia, jolloin perheet jakautuivat suunnilleen näin:
- 500 ensin poika -perhettä
- 500 ensin tyttö -perhettä.Kun perheisiin syntyy toinen lapsi, entiset poikaperheet jakautuvat suunnilleen näin:
- 250 ensin poika ja sitten poika -perhettä
- 250 ensin poika ja sitten tyttö -perhettä.
Ja entiset tyttöperheet näin:
- 250 ensin tyttö ja sitten poika -perhettä
- 250 ensin tyttö ja sitten tyttö -perhettä.Jos ei erotella perheitä lasten syntymäjärjestyksen perusteella, perheet voidaan jakaa myös näin:
- 250 perhettä, joissa kaksi poikaa
- 250 perhettä, joissa kaksi tyttöä
- 500 perhettä, joissa yksi kumpaakin sukupuolta.Kuten huomaa, perheitä joissa on yksi molempaa sukupuolta, on tuplasti enemmän kuin pelkkiä poika ja poika -perheitä.
Kyllä se vastaus on 50%
Juu, mutta ei aloituksessa esitettyyn kysymykseen.
Vierailija kirjoitti:
Yleisesti ottaen poika-poika -yhdistelmän todennäköisyys on 1/4.
Sen, että tulee sellainen tilanne kuin Jukalla, siis vähintään toinen kahdesta lapsesta poika, todennäköisyys on 3/4.
Merkitään X:llä todennäköisyyttä sille, että Jukalla on kaksi poikaa.
Todennäköisyys 3/4, vähintään 1 poika, skaalautuu Jukan kohdalla todennäköisyydeksi 1, koska tiedetään että hänellä on poika.
Verranto:
P(yleisessä tilanteessa 2 poikaa)/P(Jukalla 2 poikaa) = P(yleisesti vähintään 1 poika)/P(Jukalla vähintään 1 poika)
Eli
(1/4) / X = (3/4) / 1
X = (1/4)/(3/4)
X = 1/4 * 4/3 = 1/3
No tässähän se ois ihan puhtaasti laskettuna ilman kombinatoriikkaa. 5/5
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Tää on enemmän kielioppia kuin matematiikkaa. Tässä haetaan kai ajatusta, että millä todennäköisyydellä syntyy kaksi poikaa, kun kahden tytön saaminen on mahdotonta. Tällöin se on 1/3. Useimmat miettivät kysymystä "millä todennäköisyydellä pojan lisäksi syntyy poika", mikä on 1/2 eli 50%.
Vierailija kirjoitti:
Tää on enemmän kielioppia kuin matematiikkaa. Tässä haetaan kai ajatusta, että millä todennäköisyydellä syntyy kaksi poikaa, kun kahden tytön saaminen on mahdotonta. Tällöin se on 1/3. Useimmat miettivät kysymystä "millä todennäköisyydellä pojan lisäksi syntyy poika", mikä on 1/2 eli 50%.
Juuri näin, mutta kysymys ei tosiaan ole tuo "millä todennäköisyydellä pojan lisäksi syntyy poika" koska molemmat lapset ovat jo syntyneet.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Plot twist: Jukkia on kaksi. Toinen Jukka kertoo vanhemman lapsen sukupuolen, toinen taas nuoremman. On ihan 50/50-tsäänssit, kummasta Jukasta aloituksessa puhutaan, joten tällä ei taida olla vaikutusta mihinkään.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Mitä jos Jukka valehtelee tai aloittaja KEKSI Jukan olemassaolon omasta päästään?! :D Matikanope ei tykkäisi, jos oppilaat eivät suostuisi hyväksymään tehtävän mukana tulevia ehtoja vaan mitäjossittelisivat loputtomasti.
"Jukka valehtelee" on ihan looginen mahdollisuus, mutta yleensä tällaisissa kysymyksissä tehdään oletus, että kaikki mitä sanotaan on totta. Nuo muut mahdollisuudet Jukan toiminnasta eivät ole "loputonta mitäjossittelua" vaan vastaesimerkkejä jotka osoittavat että 1/3 ei voi olla oikea vastaus, jos ei tehdä lisäoletuksia joita kysymyksessä ei ole annettu.
Mitä lisäoletuksia tulos 1/3 muka vaatii?
Vaatii sen oletuksen että Jukka toimii tavalla, joka antaa tulokseksi 1/3.
Olen antanut vastaesimerkin jo useampaan kertaan: jos Jukka päättikin, että hän esim. kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen (jos vanhempi lapsi olisi ollut tyttö, hän olisi sanonut että hänellä on vähintään yksi tyttö). Tuo ei ole mitenkään ristiriidassa annetun kysymyksen kanssa. NIINPÄ täytyy tehdä oletus että Jukka ei toimi noin, vaan jotenkin muuten, jos haluaa vastaukseksi 1/3. (Jollain tavalla jota 1/3-vastaajat eivät näytä osaavan selittää, he ilmeisesti kuvittelevat vaan että on olemassa joku "luonnollinen päätöksentekomalli" tms. jonka mukaan Jukka toimii).
Ei ole vaikeaa keksiä toimintamalleja joilla vastaukseksi tulee 1/3, ainakin yhden olen minäkin tähän ketjuun kirjoittanut. Mutta se on oletus siinä missä mikä tahansa toimintamalli, sitä ei tehtävässä ole kerrottu, eikä sitä voida tehtävästä yksiselitteisesti päätellä.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Tuo "millä todennäköisyydellä syntyy kaksi poikaa, kun kahden tytön saaminen on mahdotonta" on tosiaan identtisesti sama tehtävä kuin AP:n esittämä joten jos sen ratkaisu tuntuu helpommalta niin sitä kautta asia ehkä avautuu paremmin.
Sehän on 100% varmaa että toinen on tyttö, koska tehtävässähän sanotaan että tyttöjä ja poikia syntyy yhtä monta!
Vierailija kirjoitti:
Olen antanut vastaesimerkin jo useampaan kertaan: jos Jukka päättikin, että hän esim. kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen
Niin olet, mutta koska tehtävänannossa ei mainita tuollaista, ei Jukka myöskään ole niin päättänyt.
Eli, noin tuhannen kerran: oliko sinulla niitä argumentteja asiasi puolesta esittää, vai keksitkö vain satuja tehtävänannon ohitse?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Mitä jos Jukka valehtelee tai aloittaja KEKSI Jukan olemassaolon omasta päästään?! :D Matikanope ei tykkäisi, jos oppilaat eivät suostuisi hyväksymään tehtävän mukana tulevia ehtoja vaan mitäjossittelisivat loputtomasti.
"Jukka valehtelee" on ihan looginen mahdollisuus, mutta yleensä tällaisissa kysymyksissä tehdään oletus, että kaikki mitä sanotaan on totta. Nuo muut mahdollisuudet Jukan toiminnasta eivät ole "loputonta mitäjossittelua" vaan vastaesimerkkejä jotka osoittavat että 1/3 ei voi olla oikea vastaus, jos ei tehdä lisäoletuksia joita kysymyksessä ei ole annettu.
Mitä lisäoletuksia tulos 1/3 muka vaatii?
Vaatii sen oletuksen että Jukka toimii tavalla, joka antaa tulokseksi 1/3.
Olen antanut vastaesimerkin jo useampaan kertaan: jos Jukka päättikin, että hän esim. kertoo vanhemman lapsensa sukupuolen (jos vanhempi lapsi olisi ollut tyttö, hän olisi sanonut että hänellä on vähintään yksi tyttö). Tuo ei ole mitenkään ristiriidassa annetun kysymyksen kanssa. NIINPÄ täytyy tehdä oletus että Jukka ei toimi noin, vaan jotenkin muuten, jos haluaa vastaukseksi 1/3. (Jollain tavalla jota 1/3-vastaajat eivät näytä osaavan selittää, he ilmeisesti kuvittelevat vaan että on olemassa joku "luonnollinen päätöksentekomalli" tms. jonka mukaan Jukka toimii).
Ei ole vaikeaa keksiä toimintamalleja joilla vastaukseksi tulee 1/3, ainakin yhden olen minäkin tähän ketjuun kirjoittanut. Mutta se on oletus siinä missä mikä tahansa toimintamalli, sitä ei tehtävässä ole kerrottu, eikä sitä voida tehtävästä yksiselitteisesti päätellä.
Minä oletan että Jukalla on kaksi lasta, joista vähintään toinen on poika. En yhtään mitään muuta, koska tehtävänannossa ei lue mitään muuta. Siitä saan yksinkertaisen kombinatoorisen tehtävän jonka lopputulos on 1/3.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siitä olen samaa mieltä että kyseessä ei ole mielipideasia. On vaan kylmä fakta että yksiselitteistä vastausta ei annetuilla tiedoilla voi antaa.
Selvä. Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:
T + P
P + T
P + PSe ei sulje mitään näistä pois enkä ole missään väittänyt että sulkisi. Kysymys on siitä, että ovatko nuo vaihtoehdot keskenään yhtä todennäköisiä, vai eivät. Ja se taas riippuu Jukan logiikasta.
Miten perustelet sen ettet ole väittänyt niin? Jos olet sitä mieltä että vaihtoehtojen todennäköisyys riippuu Jukan logiikasta, niin se antaa mahdollisuuden sille että jonkun lapsikombinaation todennäköisyys on 0. Silloin se nimenomaan sulkee pois tuon kombinaation.
Kun en ole väittänyt niin en ole väittänyt. Juu, on mahdollista että joku kombinaatio saa todennäköisyydeksi 0 JOLLAIN JUKAN LOGIIKALLA. Mutta tehtävänanto itsessään ei sitä takaa, ja se oli se mitä kysyttiin: "Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:"
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Siitä olen samaa mieltä että kyseessä ei ole mielipideasia. On vaan kylmä fakta että yksiselitteistä vastausta ei annetuilla tiedoilla voi antaa.
Selvä. Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:
T + P
P + T
P + PSe ei sulje mitään näistä pois enkä ole missään väittänyt että sulkisi. Kysymys on siitä, että ovatko nuo vaihtoehdot keskenään yhtä todennäköisiä, vai eivät. Ja se taas riippuu Jukan logiikasta.
Miten perustelet sen ettet ole väittänyt niin? Jos olet sitä mieltä että vaihtoehtojen todennäköisyys riippuu Jukan logiikasta, niin se antaa mahdollisuuden sille että jonkun lapsikombinaation todennäköisyys on 0. Silloin se nimenomaan sulkee pois tuon kombinaation.
Kun en ole väittänyt niin en ole väittänyt. Juu, on mahdollista että joku kombinaatio saa todennäköisyydeksi 0 JOLLAIN JUKAN LOGIIKALLA. Mutta tehtävänanto itsessään ei sitä takaa, ja se oli se mitä kysyttiin: "Mitkä seuraavista lapsikombinaatioista tehtävänanto sulkee pois, ja esitä kirjaimellinen lainaus siitä kohdasta joka sen tekee:"
Siinä tapauksessa tehtävänannon mukainen yksiselitteinen vastaus tehtävään on 1/3.
MOT
"Jukka valehtelee" on ihan looginen mahdollisuus, mutta yleensä tällaisissa kysymyksissä tehdään oletus, että kaikki mitä sanotaan on totta. Nuo muut mahdollisuudet Jukan toiminnasta eivät ole "loputonta mitäjossittelua" vaan vastaesimerkkejä jotka osoittavat että 1/3 ei voi olla oikea vastaus, jos ei tehdä lisäoletuksia joita kysymyksessä ei ole annettu.