Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).

Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.

Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.

En ymmärrä millainen ihminen voi kirjoittaa seuraavat lauseet tajuamatta niissä olevaa ilmiselvää ristiriitaa: "Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti."

Satunnaisuus on neutraali oletus, jos mitään muuta tietoa ei ole. Pakkohan sinun on sen verran olettaa.

Ensinnäkään satunnaisuus ei ole "neutraali oletus". En edes kysy että mitä tuolla luulet tarkoittavasi koska järjellistä vastausta sinulla ei ole. Mutta toisekseen, ja aivan itsestään selvästi, EI OLE MIKÄÄN PAKKO OLETTAA YHTÄÄN MITÄÄN.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Mieti niin, että jos molemmat ovat tyttöjä, niin silloin ei voi olla yhtään poikaa. Kahden tytön todennäköisyys on 0,5*0,5=0,25. Jos ei ole kahta tyttöä, on ainakin yksi poika eli negaatio on 1 - 0,25 = 0,75.

P("poika tai tyttö) olisi oikeammin ilmaistuna P(PT tai TP) = P(PT)+P(TP) = 0,5*0,5+0,5*0,5 = 0,5. "TAI" voidaan muuttaa todennäköisyyksien summaksi silloin kuin tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia. Tässä tilanteessa riippumattomuus pätee, koska edellinen lapsi ei vaikuta seuraavan lapsen sukupuoleen.

Niin, tuon negaation tajuan, että tuolla todennäköisyydellä syntyy eri kombinaatioita. Mutta en ymmärrä, miksi ne kombinaatiot sotketaan tähän, kun meillä on jo yksi poika, jonka sukupuoli ei ole enää minkään arvan varassa. Siinähän on ainoastaan kombinaatiot p+ x ja x voi olla joko t tai p. Ei ole enää kombinaatiota t + x. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Kerro nyt, miten se on eri tehtävä, kun aloituksessa puhutaan Jukasta eikä siitä synnytysfarmista, jossa on kaksilapsisia perheitä. 

Koska tämä on klassinen ehdollisen todennäköisyyden tehtävä joka käydään läpi jokaisen yliopiston todennäköisyyslaskennan peruskurssilla, jos ei jo pääsykokeessa.

Mikä on todennäköisyys tapahtumalle A, jos tiedämme B.

Eli pelurin virhepäätelmää ei ole mielestäsi olemassa? 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ahaa. Miksi?

Koska toinen on yksinkertainen kolikonheitto ja toinen ehdollisen todennäköisyyslaskennan perusharjoitus.

Siirrytään seuraavaan, haastavampaan kysymykseen, joka ei ole 1/3 eikä 1/2:

Gary Foshee, a collector and designer of puzzles from Issaquah near Seattle walked to the lectern to present his talk. It consisted of the following three sentences: “I have two children. One is a boy born on a Tuesday. What is the probability I have two boys?”

“The first thing you think is ‘What has Tuesday got to do with it?'” said Foshee, deadpan. “Well, it has everything to do with it.” And then he stepped down from the stage.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Kerro nyt, miten se on eri tehtävä, kun aloituksessa puhutaan Jukasta eikä siitä synnytysfarmista, jossa on kaksilapsisia perheitä. 

Koska tämä on klassinen ehdollisen todennäköisyyden tehtävä joka käydään läpi jokaisen yliopiston todennäköisyyslaskennan peruskurssilla, jos ei jo pääsykokeessa.

Mikä on todennäköisyys tapahtumalle A, jos tiedämme B.

Eli pelurin virhepäätelmää ei ole mielestäsi olemassa? 

On, mutta se ei liity millään tapaa Bayesin teoreemaan, jolla tässä lasketaan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.

Vastaus on 1/2, koska kysytään todennäköisyyttä eikä silloin syntymäjärjestyksellä ole mitään väliä. Vaihtiehdot ovat siis:

Poika ja tyttö

Poika ja poika

Tyttö ja tyttö

Koska tehtävässä sanotaan, että toinen on poika, niin tyttö ja tyttö -vaihtoehto diskataan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Jos kysyt siis että miten Bayesin teoreema on johdettu, niin siinä tapauksessa viittaan sinut lähimmän yliopiston todennäköisyyslaskennan professorin juttusille. Muuten en ihan ymmärrä mitä tarkoitat?

0,75 on todennäköisyys että kahden lapsen joukossa on vähintään yksi poika. Sama voidaan laskea komplementin kautta: Mikä on todennäköisyys että kahden lapsen perheessä ei ole yhtään tyttöä:

P("kaksi tyttöä") = 0,5 * 0,5

= 0,25

P("ei kahta tyttöä) = 1 - P("kaksi tyttöä")

= 1 - 0,25

= 0,75

Heitä kolikkoa 99 kertaa. Väitätkö että sadannen heiton todennäköisyys on riippuvainen niistä aiemmista heitoista? Vai onko siinä edelleen ihan 50/50 mahdollisuus saada kruuna? Tätä minä tarkoitan ihan koko ajan. Edelleen meillä on ainoastaan yksi lapsi, jonka sukupuolta emme tiedä. Miten ihmeessä hänen sukupuolensa todennäköisyys olisi jotain muuta kuin 1/2? 

Vierailija kirjoitti:

Siirrytään seuraavaan, haastavampaan kysymykseen, joka ei ole 1/3 eikä 1/2:

Gary Foshee, a collector and designer of puzzles from Issaquah near Seattle walked to the lectern to present his talk. It consisted of the following three sentences: “I have two children. One is a boy born on a Tuesday. What is the probability I have two boys?”

“The first thing you think is ‘What has Tuesday got to do with it?'” said Foshee, deadpan. “Well, it has everything to do with it.” And then he stepped down from the stage.

Tämä on oleelliselta luonteeltaan sama kysymys kuin alkuperäinen, ja vastauskin on sama: ei voi antaa yksiselitteistä vastausta koska kysymyksessä ei ole riittävästi tietoa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Laske todennäköisyys, että saat nopalla luvun 1 tai 2.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Kerro nyt, miten se on eri tehtävä, kun aloituksessa puhutaan Jukasta eikä siitä synnytysfarmista, jossa on kaksilapsisia perheitä. 

Koska tämä on klassinen ehdollisen todennäköisyyden tehtävä joka käydään läpi jokaisen yliopiston todennäköisyyslaskennan peruskurssilla, jos ei jo pääsykokeessa.

Mikä on todennäköisyys tapahtumalle A, jos tiedämme B.

Eli pelurin virhepäätelmää ei ole mielestäsi olemassa? 

On, mutta se ei liity millään tapaa Bayesin teoreemaan, jolla tässä lasketaan.

pystytkö selittämään, miksi se ei liity tähän? Kaksi täysin toisistaan riippumatonta tapahtumaa, josta toisen lopputulos meillä on jo tiedossa. Miksi sen toisen sisaruksen olemassaolo muuttaisi toisen sisaruksen sukupuolen todennäköisyyttä? 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ahaa. Miksi?

Koska toinen on yksinkertainen kolikonheitto ja toinen ehdollisen todennäköisyyslaskennan perusharjoitus.

Tehtävä on yksinkertainen kolikonheitto, jos tiedämme kyseessä olevan yksi tietty perhe (Jukan perhe), jossa tiedämme Jukan kertoman perusteella olevan kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Tehtävässä täytyy laskea ehdollisia todennäköisyyksiä, jos tiedämme kyseessä olevan jokin perhe, joka on valittu satunnaisesti niiden perheiden joukossa, joissa on kaksi lasta ja ainakin yksi poika.

Mistä tiedät, kumpi alkuperäisessä tehtävässä on kyseessä?

Työkaverini Jukka on kertonut, että hänellä on kaksi lasta. Huomaan, että hän on kanssani samassa Facebook-ryhmässä Poikien isit, johon pääsee vain isät, joilla on vähintään yksi poikalapsi. (oletus: Jukka on rehellinen tyyppi, eikä liity ryhmiin, joiden pääsyvaatimusta hän ei täytä, eikä ryhmään liittymisen todennäköisyyteen vaikuta, kuinka monta poikalasta hänellä on). Millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

Entäs jos Jukka ei olekaan Facebookissa, mutta tiedän edelleen, että hänellä on kaksi lasta. Soitan Jukan ovikelloa ja oven avaa lapsi, joka kertoo olevansa poika ja että Jukka on hänen isänsä (oletus: lapsetkaan eivät valehtele ja tietävät oman sukupuolensa oikein). Millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

 

Jukka saapuu ovelle ja sanoo 'tapasitkin jo esikoiseni'. Vaikuttaako tämä siihen, millä todennäköisyydellä Jukalla on kaksi poikalasta?

(olettaen ne perusjutut, Jukka tietää lastensa sukupuolet, kukaan ei valehtele ja todennäköisyys syntyä poika on 0,5)

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).

Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.

Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.

En ymmärrä millainen ihminen voi kirjoittaa seuraavat lauseet tajuamatta niissä olevaa ilmiselvää ristiriitaa: "Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti."

Satunnaisuus on neutraali oletus, jos mitään muuta tietoa ei ole. Pakkohan sinun on sen verran olettaa.

Ensinnäkään satunnaisuus ei ole "neutraali oletus". En edes kysy että mitä tuolla luulet tarkoittavasi koska järjellistä vastausta sinulla ei ole. Mutta toisekseen, ja aivan itsestään selvästi, EI OLE MIKÄÄN PAKKO OLETTAA YHTÄÄN MITÄÄN.

Niin, minähän olen aivan samaa mieltä, että mitään ei ole pakko olettaa, mutta jos et oleta edes sitä, että ylimääräisiä oletuksia ei tehdä, niin miten ihmeessä lasket tehtävän? En nyt oikein ymmärrä, mitä ajat takaa. Ehkä ilmaisen itseäni ja sinäkin itseäsi jotenkin epäselvästi. Anteeksi siitä.

Puhutaanpa satunnaisuudesta.

Mikään ei ole oikeasti satunnaista. Kutsumme satunnaisiksi asioita, joita emme tiedä varmoiksi. Esimerkiksi jos heität noppaa, siitä tulee varmasti jokin tietty silmäluku, kun heiton voima, tuuli ja muut olosuhteet otetaan huomioon. Pitkässä juoksussa kaikki luvut tulevat silti suunnilleen yhtä usein.

Et osaa tulkita noppaan vaikuttavia voimia, joten väität, että todennäköisyys saada haluamasi silmäluku on 1/6. Se tarkoittaa vain sitä, että kaikista niistä kerroista, kun sanot todennäköisyyden olevan 1/6, se tietty luku tulee keskimäärin joka kuudes kerta. Et voi olettaa nopan luvuista mitään, joten oletat kaikki luvut yhtä todennäköisiksi. Et siis oleta nopalle mitään tiettyä logiikkaa ikinä, vaan pidät sitä täysin "satunnaisena".

Jos joku kurkkaisi luvun ennen sinua ja kertoisi, onko luku parillinen vai pariton, saisit joka kerta annettua haluamasi luvun todennäköisyydeksi joko 0 tai 1/3. Niistä kerroista, kun todennäköisyys on 1/3, valitsemasi luku tulee keskimäärin joka kolmas kerta. Niistä kerroista, kun todennäköisyys on 0, valitsemasi luku ei tule ikinä. Nyt voit olettaa nopalle vähän enemmän logiikkaa kuin tuossa aiemmin, mutta et kuitenkaan mitään ylimääräistä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Laske todennäköisyys, että saat nopalla luvun 1 tai 2.

Normaalissa nopassa 1/3 yhdellä heitolla. Mikäli meillä on kaksi noppaa ja vaatimuksena on, että toisella nopalla pitää tulla 1 ja toisella 2, todennäköisyys ei suinkaan tuplaannu. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Mistä tiedät?

Koska olen ratkaissut tämän tehtävän sekä yliopiston pääsykokeissa, että todennäköisyyslaskennan peruskurssilla.

Hienoa! Osaat siis varmasti kertoa, mikä varsinaisessa kysymyksenasettelussa sen kertoo.

Vierailija kirjoitti:

Vastaus on 1/2, koska kysytään todennäköisyyttä eikä silloin syntymäjärjestyksellä ole mitään väliä. Vaihtiehdot ovat siis:

Poika ja tyttö

Poika ja poika

Tyttö ja tyttö

Koska tehtävässä sanotaan, että toinen on poika, niin tyttö ja tyttö -vaihtoehto diskataan.

Tavallaan joo, tehtävän asettelu on epäselvä. Ehkä sen voi havainnoillistaa niin että sulle tulee kylään isä poikansa kanssa ja sanoo että hänellä on vielä yksi lapsi. Siinä tilanteessa tosiaan on 50-50 että onko sillä kaks poikaa vai poika ja tyttö.

Sitten toinen kysymys on tuo missä pitäisi ollaa syntymäjärjestys huomioon. En tiedä millä sanamuodoilla sen saisi hyvin täsmennettyä.

Mutta tälläkään tehtävällä ei ole juurikaan tekemistä itse matematiikan kanssa vaan pitemminkin sen kanssa kuinka sanallinen tehtävänanto puetaan matematiikan kielelle. Siksi täällä sitten idiootit vääntää 30 sivua semantiikasta.