Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ja tuon tehtävän (tiedät että naapurilla on kaksi lasta, näet yhden pojan, millä tn puskan takana piilotteleva toinen lapsi on myös poika) vastaus on 1/2.

Paha tilanne palstalla, kun matematiikka tai taivu ylä- ja alapeukutuksille!

Kannattaa pitää mielessä, että oikeassa elämässäkin on tämän matemaattisen tehtävän kaltaisia ongelmia. Niitä vain harva osaa pukea matemaattiseen kaavaan ja ongelma ratkaistaa mututuntumalla, usein väärin.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?

Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.

Niitä voi syntyä 

1) molemmat ovat tyttöjä

2) molemmat ovat poikia

3) yksi molempia

En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli. 

mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on. 

juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.

Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.

 

Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi? 

Juu, on vaihtoehdot 

tt

tp

pt ja 

pp

Entä sitten? 

No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:

A: tt

B: tp

C: pt

D: pp

Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?

Kaksi kerrallaan. B ja C eivät toteuta sitä yhtä aikaa, vaan aina pelkästään jompikumpi. 

Jukka oli nuorena oikein sikapanokone, en usko ensimmäistäkään lausetta.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Kerro nyt, miten se on eri tehtävä, kun aloituksessa puhutaan Jukasta eikä siitä synnytysfarmista, jossa on kaksilapsisia perheitä. 

Vierailija kirjoitti:

Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).

Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.

Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.

En ymmärrä millainen ihminen voi kirjoittaa seuraavat lauseet tajuamatta niissä olevaa ilmiselvää ristiriitaa: "Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti."

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?

Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.

Niitä voi syntyä 

1) molemmat ovat tyttöjä

2) molemmat ovat poikia

3) yksi molempia

En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli. 

mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on. 

juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.

Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.

 

Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi? 

Juu, on vaihtoehdot 

tt

tp

pt ja 

pp

Entä sitten? 

No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:

A: tt

B: tp

C: pt

D: pp

Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?

Kaksi kerrallaan. B ja C eivät toteuta sitä yhtä aikaa, vaan aina pelkästään jompikumpi. 

Ole hyvä ja vastaa siihen mitä kysytään, tai jos ei kiinnosta tai et osaa niin voit toki olla vastaamatta kokonaan. Ihan sama minulle, mutta jos haluat tietää miksi vastaus on 1/3 klassisella todennäköisyyslaskennalla johdettuna niin sitten sinun pitää vastata kysymykseen täsmällisesti ilman omia lisäilyjäsi.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Kyllä, jos valitsemme satunnaisesti perheen niiden kaksilapsisten perheiden joukosta, joilla on ainakin yksi poika. Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).

Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.

Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.

Pikemminkin tällaisten huvin vuoksi tehtyjen pointless "pulmien" käyttämä kieli oletuksineen on osalle vieraita. Jos haluttaisiin oikeasti laskea jonkun todellisen elämän tapahtuman todennäköisyyttä ja soveltaa vastausta käytännössä, niin juuri tämän tyyppiset asiat pitäisi olla tiedossa tai ainakin huomioitu ja niiden vaikutusten suuruusluokka arvioitu. Ei silloin voida vaan olettaa, että kyllä joku olisi kertonut jos jotain pitäisi tietää.

Oikean elämän todennäköisyyspulmia ei useinkaan esitetä valmiina kysymyksinä, vaan joudumme muodostamaan kysymyksen itse. Nyt se on meillä valmiina tarjottimella. Helppoa! Toisin kuin oikea elämä. Todellisessa elämässä saattaisi olla eri tiedot kuin tässä pulmassa, esimerkiksi arvioita Jukan ajatuksenkulusta.

Todennäköisyys on aina vain arvio tietystä näkökulmasta eli jonkun toisen (eri tietoja omaavan) mielestä "väärin", niin kauan kuin todennäköisyydeksi ei voida vastata 0 tai 1.

Lisätiedon vaatiminen on sitä, että haluamme muuttaa pulmaa toisenlaiseksi. Jos meille kerrottaisiin jotain muuta, niin pulma ei olisi enää sama.

Toki kysymystä voi pohtia myös eri näkökulmista, mutta silloin pitää ymmärtää, että pohtii aivan eri kysymystä eikä aloituksessa olevaa.

Juu, tuo on kyllä totta. Mutta minusta tehtävä pitäisi ainakin pyrkiä muodostamaan siten, että siihen voi vastata tekemättä ylimääräisiä oletuksia. Kuten joku aiempi kirjoittaja kommentoi, olisi tämänkin pulman voinut ihan hyvin esittää kaikkitietävän kertojan muodossa eikä "joku kertoo" -muodossa.

Onko se vastaus siis 1/3?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Kerro nyt, miten se on eri tehtävä, kun aloituksessa puhutaan Jukasta eikä siitä synnytysfarmista, jossa on kaksilapsisia perheitä. 

Koska tämä on klassinen ehdollisen todennäköisyyden tehtävä joka käydään läpi jokaisen yliopiston todennäköisyyslaskennan peruskurssilla, jos ei jo pääsykokeessa.

Mikä on todennäköisyys tapahtumalle A, jos tiedämme B.

Olisiko tämä sama tilanne, todennäköisyyden kannalta?

1. Työkaverisi Jukka kertoo, että hänellä on kaksi lasta.

2. Kysyt Jukalta, onko hänellä yhtään poikaa. (Esimerkiksi siksi, että sinulla olisi lahjoittaa ylimääräisiä poikien vaatteita.)

3. Jukka vastaa kyllä. [Tässä kohdassa rupet leikkimään matemaatikkoa. ;)]

Esimerkiksi näin se kai voisi oikeassa elämässä mennä. Ei olisi mitään arvoituksia vaan arkinen tilanne, josta selviää samat asiat. Toki Jukalta voisi kysyä sen poikien määrän suoraankin.

Vierailija kirjoitti:

Jos taas kyse on yhden tietyn perheen kahdesta lapsesta, joista toisen jo tiedämme pojaksi, tilanne on eri. Siitähän tässä keskustellaan.

Kyse ei ole tästä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Mieti niin, että jos molemmat ovat tyttöjä, niin silloin ei voi olla yhtään poikaa. Kahden tytön todennäköisyys on 0,5*0,5=0,25. Jos ei ole kahta tyttöä, on ainakin yksi poika eli negaatio on 1 - 0,25 = 0,75.

P("poika tai tyttö) olisi oikeammin ilmaistuna P(PT tai TP) = P(PT)+P(TP) = 0,5*0,5+0,5*0,5 = 0,5. "TAI" voidaan muuttaa todennäköisyyksien summaksi silloin kuin tapahtumat ovat toisistaan riippumattomia. Tässä tilanteessa riippumattomuus pätee, koska edellinen lapsi ei vaikuta seuraavan lapsen sukupuoleen.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).

Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.

Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.

En ymmärrä millainen ihminen voi kirjoittaa seuraavat lauseet tajuamatta niissä olevaa ilmiselvää ristiriitaa: "Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti."

Satunnaisuus on neutraali oletus, jos mitään muuta tietoa ei ole. Pakkohan sinun on sen verran olettaa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa. 

Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)

Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?

P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.

= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)

P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"

= P("kaksi poikaa) + P("poika ja tyttö)

= 0,25 + 0,5 

= 0,75 (tai 3/4)

P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"

= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.

Syötetään luvut kaavaan:

P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)

= (1/4) / (3/4)

= 1/4 * 4/3

= 4/12

= 1/3

Tuota kohtaa en tajua. Miten se voi muka olla 0,5 eikä 0,25 jos yksi lapsi voi kerrallaan olla vain yhtä sukupuolta? Miksi meidän pitää ottaa todennäköisyydessä huomioon myös se, että se, joka jo kerran tiedettiin pojaksi, voikin olla tyttö? 

Tuossa oli kirjoitusvirhe, piti tietenkin olla P("poika ja tyttö"), ei "poika *tai* tyttö". Pahoittelen.

Todennäköisyys että perheeseen syntyy kaksi eri sukupuolta olevaa lasta:

Ensimmäinen lapsi voi olla tyttö tai poika, sillä ei ole väliä. Sen todennäköisyys on 1.

Jos ensimmäinen lapsi on tyttö, pitää toisen olla poika tai päinvastoin. Todennäköisyys että lapsi on tiettyä sukupuolta on 0,5. 

Olet mukana? Saadaan siis P("lapset eri sukupuolta") = 1 * 0,5  

= 0,5

Mutta miksi  nämä ovat samassa yhtälössä, kun nämä eivät voi tapahtua yhtä aikaa? Jos esikoinen on poika, eihän samaan todennäköisyyteen voi laskea, että esikoinen onkin tyttö. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Juuri näin. Toisin selitettynä:

Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)

Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.

Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.

Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.

Ahaa. Miksi?

Vierailija kirjoitti:

Olisiko tämä sama tilanne, todennäköisyyden kannalta?

1. Työkaverisi Jukka kertoo, että hänellä on kaksi lasta.

2. Kysyt Jukalta, onko hänellä yhtään poikaa. (Esimerkiksi siksi, että sinulla olisi lahjoittaa ylimääräisiä poikien vaatteita.)

3. Jukka vastaa kyllä. [Tässä kohdassa rupet leikkimään matemaatikkoa. ;)]

Esimerkiksi näin se kai voisi oikeassa elämässä mennä. Ei olisi mitään arvoituksia vaan arkinen tilanne, josta selviää samat asiat. Toki Jukalta voisi kysyä sen poikien määrän suoraankin.

Ei tätä tehtävää pysty oikein mitenkään siirtämään tosimaailmaan. Lähin esimerkki minkä keksin on tosiaan tuo että sinulla on neljä samanlaista kuulaa, kaksi sinistä ja kaksi punaista. Nostat yhden satunnaisen kuulan, mikä on todennäköisyys että seuraavaksi nostat toisen samanvärisen kuulan?