Lue keskustelun säännöt.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Tervetuloa lukemaan keskusteluja! Kommentointi on avoinna klo 7 - 23.
Alue: Aihe vapaa
Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin
03.09.2020 |
Ongelma on kuuluisa ja vanha, ja tutkimuksen mukaan 85 % vastaa väärin.
Oletetaan tehtävässä, että tyttöjä syntyy sama määrä kuin poikia, eli molempien syntymiseen todennäkäisyys on tasan 1/2.
Kysymys:
Jukka sanoo: "minulla on kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika."
Millä todennäköisyydellä Jukan molemmat lapset ovat poikia?
Kommentit (844)
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Kumpikaan noista ei ole tiedossa. Kaksi poikaa voi syntyä vain yhdellä tavalla: ensin syntyy poika, ja sen jälkeen syntyy poika.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.
On siis mielestäsi olemassa mahdollisuus, jossa se pojaksi tiedetty lapsi ei ole perheen kuopus eikä esikoinen, vaikka lapsia on tasan kaksi?
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.
Kaikki tapaukset ilman lisätietoa. Kahdella eri tapahtumalla ei voi määrittää kuin neljä eri kombinaatiota!
TP: 0,5*0,5 = 0,25
PT: 0,5*0,5 = 0,25
PP: 0,5*0,5 = 0,25
TT: 0.5*0,5 = 0,25
Se, että tiedetään ettei voi olla TT, voidaan ajatella niin, että arvonta suoritetaan uudelleen tapauksessa TT. Siis 25 prosentin todennäköisyydella arvotaan uudelleen. Tämä 25 prosenttia jakautuu tasan kolmen vaihtoehdon kanssa, koska niillä on sama todennäköisyys. 1/4+(1/4)/3 = 1/3
Näin voi selittää ongelman hieman ei matemaattisemmin.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.
On siis mielestäsi olemassa mahdollisuus, jossa se pojaksi tiedetty lapsi ei ole perheen kuopus eikä esikoinen, vaikka lapsia on tasan kaksi?
Ei näin kukaan ole sanonut.
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
"Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika." Tässä on kolme skenaariota eikä kaksi. "Ainakin toinen on poika" sisältää mahdollisuuden, että molemmat ovat poikia!
Lasket todennäköisyytta tapahtumalle, jossa tiedetään, että joko esikoinen tai kuopus on poika. Tehtävässä ei lue "joko tai", vaan "ainakin toinen on poika".
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt? Ongelma meillä nyt vain on, että sinä näet tuolla yhden mahdollisen tapahtuman enemmän kuin minä. Minä en näe mahdollisena tapausta, että tiedetty poika voi olla yhtä aikaa tyttö.
Mikä ihmeen tiedetty poika? Eihän tässä tiedetä että onko se olemassa oleva poika esikoinen vai kuopus joten mahdollisuuksia on kaksi.
Niin ja siksi nämä skenaariot lasketaan erikseen. Hän ei voi olla molempia yhtä aikaa, mutta molemmissa tapauksissa todennäköisyys on sama.
Ei, vaan ne lasketaan Bayesin teoreemaa käyttäen. Kai tunnet edes Bayesin teoreeman?
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.
Kaikki tapaukset ilman lisätietoa. Kahdella eri tapahtumalla ei voi määrittää kuin neljä eri kombinaatiota!
TP: 0,5*0,5 = 0,25
PT: 0,5*0,5 = 0,25
PP: 0,5*0,5 = 0,25
TT: 0.5*0,5 = 0,25Se, että tiedetään ettei voi olla TT, voidaan ajatella niin, että arvonta suoritetaan uudelleen tapauksessa TT. Siis 25 prosentin todennäköisyydella arvotaan uudelleen. Tämä 25 prosenttia jakautuu tasan kolmen vaihtoehdon kanssa, koska niillä on sama todennäköisyys. 1/4+(1/4)/3 = 1/3
Näin voi selittää ongelman hieman ei matemaattisemmin.
Ei kai sitä noin monimutkaisesti tarvi laskea? Pojan mahdollisuus on 50%, joten kahden pojan on 50%^2= 25%.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).
Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.
Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.
Pikemminkin tällaisten huvin vuoksi tehtyjen pointless "pulmien" käyttämä kieli oletuksineen on osalle vieraita. Jos haluttaisiin oikeasti laskea jonkun todellisen elämän tapahtuman todennäköisyyttä ja soveltaa vastausta käytännössä, niin juuri tämän tyyppiset asiat pitäisi olla tiedossa tai ainakin huomioitu ja niiden vaikutusten suuruusluokka arvioitu. Ei silloin voida vaan olettaa, että kyllä joku olisi kertonut jos jotain pitäisi tietää.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
"Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika." Tässä on kolme skenaariota eikä kaksi. "Ainakin toinen on poika" sisältää mahdollisuuden, että molemmat ovat poikia!
Lasket todennäköisyytta tapahtumalle, jossa tiedetään, että joko esikoinen tai kuopus on poika. Tehtävässä ei lue "joko tai", vaan "ainakin toinen on poika".
Lue tarkemmin. Siinä skenaariot ilmaisevat ainoastaan sitä, että emme tiedä onko se kerrottu poika esikoinen vai kuopus, koska hän ei voi olla molempia yhtä aikaa. Sen jälkeen käsitellään molemmissa skenaarioissa todennäköisyydet, että toinen sisarus on tyttö tai poika.
ohis
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
Laskussasi on todennäköisyys kahdelle pojalle kaksi kertaa.
Tässä oikea lasku:
Ensimmäinen lapsi on Poika.
P T
P P
Jälkimmäinen lapsi on Poika:
T P
P P
Joten erilaisia lapsikatraita joissa on ainakin yksi poika on yhteensä:
P T
P P
T P
Joten mahdollisuus sille, että molemmat ovat poikia on 1/3, koska yhdistelmä P P on yksi kolmesta mahdollisuudesta.
Laskit omassa tehtävässäsi mukaan kaikki mahdolliset kombinaatiot eli:
P T
P P
T P
P P
Koska mahdollisuus saada kaksi poikaa on sama riippumatta poikien järjestyksestä, tulee kahden pojan todennäköisyys ottaa laskussa huomioon vain yhden kerran.
T: ei matemaattinen tyyppi
Eiväthän ne ole täysin samanlaisia, kuten itsekin merkinnöilläsi näytät. P P on eri kuin P P.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli kuopuksen sukupuoli.
P P on kaksi poikaa tilanteessa, jossa etukäteen tiedossa oli esikoisen sukupuoli.
Emme voi olla molemmissa tilanteissa samaan aikaan, joten nuo ovat eri mahdollisuuksia.
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.
On siis mielestäsi olemassa mahdollisuus, jossa se pojaksi tiedetty lapsi ei ole perheen kuopus eikä esikoinen, vaikka lapsia on tasan kaksi?
Ei näin kukaan ole sanonut.
No eikö silloin jompikumpi noista skenaarioista aina päde? Ja toisaalta kuopus ei voi olla yhtä aikaa esikoinen.
ohis
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.
Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.
Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).
Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).
Molempien todennäköisyys on 50 %.
Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:
Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.
Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:
Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.
Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.
Molempien todennäköisyys 50 %.
Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?
0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5
"Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika." Tässä on kolme skenaariota eikä kaksi. "Ainakin toinen on poika" sisältää mahdollisuuden, että molemmat ovat poikia!
Lasket todennäköisyytta tapahtumalle, jossa tiedetään, että joko esikoinen tai kuopus on poika. Tehtävässä ei lue "joko tai", vaan "ainakin toinen on poika".
Lue tarkemmin. Siinä skenaariot ilmaisevat ainoastaan sitä, että emme tiedä onko se kerrottu poika esikoinen vai kuopus, koska hän ei voi olla molempia yhtä aikaa. Sen jälkeen käsitellään molemmissa skenaarioissa todennäköisyydet, että toinen sisarus on tyttö tai poika.
ohis
Juuri näin. Toisin selitettynä:
Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)
Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.
Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No näytäpäs miten sinä lasket tuota teoreemaa käyttäen. Ja ei, en tarkoita sitä, mikä tässä nyt on moneen kertaan näytetty, että t+p ja p+t ja p+p on kolme, vaan selitä minulle, miten toisensa poissulkevat skenaariot käsitellään tässä teoreemassa.
Bayesin teoreemalla lasketaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä on todennäköisyys että "A", jos "B" on totta: P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B)
Eli, mikä on todennäköisyys että perheessä on kaksi poikaa, jos tiedetään että perheessä on ainakin yksi poika?
P(A) = "Todennäköisyys saada kaksi poikaa": Ensimmäisen lapsen pitää olla poika, ja toisen lapsen pitää olla poika.
= 0,5 * 0,5 = 0,25 (tai 1/4)
P(B) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika"
= P("kaksi poikaa) + P("poika tai tyttö)
= 0,25 + 0,5
= 0,75 (tai 3/4)
P(B|A) = "Todennäköisyys että perheessä on ainakin yksi poika, jos perheessä on kaksi poikaa"
= 1, jos perheessä on kaksi poikaa niin niitä on silloin ainakin yksi.
Syötetään luvut kaavaan:
P(A | B) = (1 * 1/4) / (3/4)
= (1/4) / (3/4)
= 1/4 * 4/3
= 4/12
= 1/3
Ehdit ensin. Itsekin laskin juuri todennäköisyyden Bayesin kaavalla P(A | B) = (P(B | A) * P(A)) / P(B) https://fi.wikipedia.org/wiki/Bayesin_teoreema
P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa)*P(kaksi poikaa)/P(ainakin toinen on poika)
P(ainakin toinen on poika | kaksi poikaa) = 1
P(ainakin toinen on poika) = 1 - P(molemmat tyttöjä)
=> P(kaksi poikaa | ainakin toinen on poika) = P(kaksi poikaa) / (1 - P(molemmat tyttöjä) ) = 0,5*0,5 / ( 1- 0,25) = 1/3
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Voi olla miljardeja universumillisia vastaavia Jukkia erilaisilla ajatuksilla. Osa Jukista kertoo aina vain vanhemman sukupuolen ja osa nuoremman, osa taas sekoittaa lasten kuvat ja kertoo sen sukupuolen, jonka kuvan nostaa esiin. Ei ole mitään syytä kallistua yhden Jukan kohdalla toiseen teoriaan enempää kuin toiseen. Meille ei ole annettu pohjatietoa, millainen logiikka ihmisillä on lastensa sukupuolen kertomisessa, joten emme oleta mitään logiikkaa. Oletamme siis Jukan antavan tietoa täysin satunnaisesti. Tietämättömän näkökulmasta Jukka antaa tiedon satunnaisesti (vaikka joka toinen Jukka kertoisi tarkoituksella vanhemman ja joka toinen Jukka nuoremman sukupuolen).
Tiedon puuttuminen tuntuu olevan monelle vaikea hyväksyä. Todennäköisyyden käsite on kyllä aivan hukassa, jos luulee, että pitäisi tietää enemmän, jotta vastauksen voisi antaa. Tietää tarvitsee vain se, mitä kerrotaan.
Vastasi kysymykseen sitten 1/3 tai 1/2, niin Jukka tietää aina paremmin ja kaikki vastaajat ovat väärässä. Jukan mielestä vastaus on 0 tai 1 ja me olemme ihan tyhmiä.
Pikemminkin tällaisten huvin vuoksi tehtyjen pointless "pulmien" käyttämä kieli oletuksineen on osalle vieraita. Jos haluttaisiin oikeasti laskea jonkun todellisen elämän tapahtuman todennäköisyyttä ja soveltaa vastausta käytännössä, niin juuri tämän tyyppiset asiat pitäisi olla tiedossa tai ainakin huomioitu ja niiden vaikutusten suuruusluokka arvioitu. Ei silloin voida vaan olettaa, että kyllä joku olisi kertonut jos jotain pitäisi tietää.
Oikean elämän todennäköisyyspulmia ei useinkaan esitetä valmiina kysymyksinä, vaan joudumme muodostamaan kysymyksen itse. Nyt se on meillä valmiina tarjottimella. Helppoa! Toisin kuin oikea elämä. Todellisessa elämässä saattaisi olla eri tiedot kuin tässä pulmassa, esimerkiksi arvioita Jukan ajatuksenkulusta.
Todennäköisyys on aina vain arvio tietystä näkökulmasta eli jonkun toisen (eri tietoja omaavan) mielestä "väärin", niin kauan kuin todennäköisyydeksi ei voida vastata 0 tai 1.
Lisätiedon vaatiminen on sitä, että haluamme muuttaa pulmaa toisenlaiseksi. Jos meille kerrottaisiin jotain muuta, niin pulma ei olisi enää sama.
Toki kysymystä voi pohtia myös eri näkökulmista, mutta silloin pitää ymmärtää, että pohtii aivan eri kysymystä eikä aloituksessa olevaa.
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme.
Todennäköisyyden määritelmä:
(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.
No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)
Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika)
Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?
No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?
Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.
Niitä voi syntyä
1) molemmat ovat tyttöjä
2) molemmat ovat poikia
3) yksi molempia
En kysynyt että mitä yhdistelmiä voi olla, vaan että monellako eri tapaa kuopus ja esikoinen voi syntyä jos huomioidaan vain sukupuoli.
mitä väliä syntymätavalla on. Normaali alatiesynnytys, perätila, keisarileikkaus, mitä näitä nyt on.
juu, tiedän kyllä mitä tarkoitat, mutta sinä et ymmärrä, mitä tapahtuu siinä vaiheessa, kun tiedetään toisen lapsen sukupuoli.
Emme me ole siellä vielä. Vastaa nyt vain kysymykseen, tai jos et ymmärrä/osaa niin ok.
Mitähän sinä kuvittelet nyt todistavasi?
Juu, on vaihtoehdot
tt
tp
pt ja
pp
Entä sitten?
No niin. Bayesin teoreeman kävinkin jo läpi mutta käydään nyt sitten vielä tämä klassisen todennäköisyyslaskennan avulla saatava ratkaisu. Merkitsen nuo antamasi alkiot symbolein A-D:
A: tt
B: tp
C: pt
D: pp
Mitkä neljästä alkiosta toteuttavat tehtävän reunaehdon: "vähintään yksi poika"?
Vierailija kirjoitti:
Juuri näin. Toisin selitettynä:
Tiedät, että naapurillasi on kaksi lasta. Näet heistä yhden, ja hän on poika. Joko näit kuopuksen tai näit esikoisen, ja näin ollen tiedät joko kuopuksen tai esikoisen sukupuolen. (Et tiedä, kumpi näistä on totta, mutta tietenkin tiedät, että yksi ja vain yksi on.)
Jos perheessä on kaksi poikaa, joko A) näit kuopuksen, myös esikoinen on poika tai B) näit esikoisen, myös kuopus on poika.
Jos perheessä on poika ja tyttö, joko A) näit kuopuksen, esikoinen on tyttö tai B) näit esikoisen, kuopus on tyttö.
Tämä on eri tehtävä, vaikka se ns. maalaisjärjellä ajateltuna tuntuukin samalta.
Alue: Aihe vapaa
Ei missään sanota, että tiedetään kuopuksen tai esikoisen sukupuoli. Tiedetään, että ainakin yksi lapsista on poika eli tiedetään, että ei ole kahta tyttöä.