Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Väärinymmärryksesi on tässä se että kyse ei ole noiden tyttö-poika yhdistelmien todennäköisyyksistä lainkaan vaan vain siitä montako erilaista vaihtoehtoa tilanteita voi olla. Ne siis ovat mahdollisia vaihtoehtoja. Todennäköisyys lasketaan suhteessa olemassaoleviin vaihtoehtoihin joten niiden vaihtoehtojen lukumäärä on ratkaisevaa todennäköisyyden laskemisen kannalta.

Mutta kun minä ne mitenkään näe noita eri tilanteina, vaan kun toisen lapsen sukupuoli tiedetään, mukaan otetaan vain jompi kumpi tyttö + poika tai poika + tyttö. Eli siinä vaiheessa päätetään, kumpiko merkitään ensin. Se, jonka sukupuoli tiedetään, vai se, jonka sukupuolta ei tiedetä. Millään muulla ei ole tässä järjestyksellä väliä kuin sillä, kumpi päätetään siksi tiedetyksi pojaksi. Jos päätetään, että tiedetty poika on se ensiksi merkitty, eihän silloin ole vaihtoehtoa tyttö + poika, koska se tiedetty poika ei voi olla tyttö. 

Koska ne ovat käytännössä vaihtoehtoja jotka voivat tapahtua, ne pitää molemmat ottaa huomioon. Et sinä voi poistaa vaihtoehtoja vain siksi että ne ovat sinusta samat jos ne voivat todellisuudessa tapahtua kumpikin.

Mutta kun se pojaksi tiedetty ei voi olla yhtä aikaa myös tyttö tai sisaruksensa. Siksi ne eivät voi tapahtua yhtä aikaa. 

Vastasin 1/3. Olisin kyllä vastannut 1/2 jos ei olisi ollut mainintaa että 85% vastaa väärin, eli arvasin ettei vastaus voi olla se ilmiselvältä vaikuttava. Mietin sitten vähän tarkemmin ja päädyin tuohon vastaukseen. Olen ilmeisesti nyt harvinaisen älykäs.

Vierailija kirjoitti:

Kun täällä valiteltiin, ettei vastaukseen 1/2 ole annettu laskutoimitusta, niin tässä se nyt sitten on.

Jukalla on siis kaksi lasta, joista ainakin toinen on poika.

Skenaario 1: Sait tietää Jukan esikoisen sukupuolen (poika).

Skenaario 2: Sait tietää Jukan kuopuksen sukupuolen (poika).

Molempien todennäköisyys on 50 %.

Mikäli olet skenaariossa 1 (esikoinen on poika), jatkovaihtoehtoja on kaksi:

Skenaario 1a: Jukan kuopus on tyttö.

Skenaario 1b: Jukan kuopus on poika.

Molempien todennäköisyys 50 %.

Mikäli olet skenaariossa kaksi (kuopus on poika), jatkovaihtoehtoja on niin ikään kaksi:

Skenaario 2a: Jukan esikoinen on tyttö.

Skenaario 2b: Jukan esikoinen on poika.

Molempien todennäköisyys 50 %.

Skenaarioissa 1b ja 2b Jukan molemmat lapset ovat siis poikia. Mikä on näiden yhteenlaskettu todennäköisyys?

0.5*0.5 + 0.5*0.5 = 0.25 + 0.25 = 0.5

Juuri näin! Ei voi sotkea keskenään eri skenaarioita, että poika on kuopus, mutta sitten kuitenkin kuopus onkin tyttö. Siksi ei voi ujuttaa samaan skenaarioon t+p ja p+t vaan ne kuuluvat eri skenaarioihin, joille tulee laskea kummallekin omat todennäköisyydet. 

Vierailija kirjoitti:

Kaksi lasta voi olla neljällä eri tavalla:

- tyttö ja poika

- poika ja tyttö

- tyttö ja tyttö

- poika ja poika

Kun kerrotaan, että poikia on vähintään yksi, noista mahdollisia tilanteita on kolme.

Näistä kolmesta mahdollisesta tilanteesta yksi on se tilanne, jonka todennäsyyttä kysytään. Vastaus on siis 1/3.

(Vastasin kyselyyn kuitenkin vahingossa 3/4, koska mietin asiaa liian hätiköidysti enkä lukenut kysymystäkään huolella.)

-poika ja tyttö

-tyttö ja poika

Nämä kaksi on täysin sama asia. Eli 1/2 on oikea vastaus.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

Enpä oikein usko, että tässä on mitään älykästä. Pitää osata laskea neljään.

Zinc

Syntyy 2 poikaa, 2 tyttöä.  Yksi poika syntynyt, jäljelle jää 1 poika 2 tyttöä ;)

Mahdollisuus, että syntyy poika on

1/3

tyttö

2/3

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt? Ongelma meillä nyt vain on, että sinä näet tuolla yhden mahdollisen tapahtuman enemmän kuin minä. Minä en näe mahdollisena tapausta, että tiedetty poika voi olla yhtä aikaa tyttö. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Matematiikan ja tilastotieteen laitos: Helsingin yliopisto

Sisarusongelma: Aidillä on kaksi lasta, joista toi-

nen on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että toinen on

poika?

Oletamme, että tytöt ja pojat syntyvät toisistaan riip-

pumatta samalla todennäköisyydellä 1/2.
Väärä vastaus: 1/2.

Virheellinen ratkaisu perustuu seuraavaan päättelyyn.

Aidillä on tyttö. Seuraava lapsi on joko poika tai tyttö.

Todennäköisyys, että se on poika on 1/2.

On totta, ett¨a pojan syntym¨atodenn¨ak¨oisyys on 1/2,

mutta kysytäänkö ongelmassa tätä?
Oikea vastaus: 2/3.

Mietitään tilannetta huolellisemmin. Perheessä on kak-

si lasta. Jos aiti  luettelee lapset ikäjärjestyksessä, mah-

dollisuuksia ovat:

1. tyttö–tyttö,

2. tyttö–poika,

3. poika–tyttö,

4. poika–poika.

Periaatteessa kaikki nämä vaihtoehdot ovat yhtä to-

dennäköisiä. Koska tiedämme, että perhessä on tyttö,

on vaihtoehto 4 kuitenkin mahdoton. Vaihtoehdot 1–

3 ovat sen sijaan edelleen yhtä todennäköisiä. Näistä

vaihtoehdoista kahdessa on poika. Siten todennäköi-

syys, että perheessä on poika on 2/3.

Tämä. Onko tää joku pääsykoekysymyksen oikea vastaus?

Juu, ja en usko että olisi saanut täysiä pisteitä laittamalla 50/50 ja suoltamalla 20 sivua aivopieruja perusteluksi sille

Vierailija kirjoitti:

Enpä oikein usko, että tässä on mitään älykästä. Pitää osata laskea neljään.

Zinc

Syntyy 2 poikaa, 2 tyttöä.  Yksi poika syntynyt, jäljelle jää 1 poika 2 tyttöä ;)

Mahdollisuus, että syntyy poika on

1/3

tyttö

2/3

Zinc räjäytti pankin! Kiitos zinc! Mitä ihmettä me ollaan täällä jauhettu yli 20 sivua kun vastaus on näin helppo!

vaan kun ovat, siis ala-astetasoista porukkaa päättäjät kun keikkailevien artistien yleisörajoituksissa oli nollavirhe....siis mitä väliä saako tulla viisi vai viisikymmentä maksanutta katsojaa. Tai viisikymmentä / viisi sataa.... että ihan ala-astetasoa ja pahemman laatuista numero-luki-tms. häiriötä. Ja eivätpähän itse kärsi virheistään. Ja semmoista jengiä me "valitaan" jotta syy saataisiin vielä kansan päälle. Tästä syystä olen miettinyt olisiko joku monarkia tai tyrannia parempi kun ei olisi kansalla osaa eikä arpaa, kuten ei aina nytkään.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?

Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.

50/60

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt? Ongelma meillä nyt vain on, että sinä näet tuolla yhden mahdollisen tapahtuman enemmän kuin minä. Minä en näe mahdollisena tapausta, että tiedetty poika voi olla yhtä aikaa tyttö. 

Mikä ihmeen tiedetty poika? Eihän tässä tiedetä että onko se olemassa oleva poika esikoinen vai kuopus joten mahdollisuuksia on kaksi.

Vastaus 1/3:

Ystävilläsi Terolla, Pekalla, Matilla ja Pentillä on kullakin kaksi lasta.

Terolla on kaksi poikaa. Pekan esikoinen on poika ja kuopus on tyttö. Matin esikoinen on tyttö ja kuopus on poika. Pentillä on kaksi tyttöä.

Laitat Teron, Pekan ja Matin nimet lapuille. Pentti jäi siis pois. Arvot yhden lapun.

Millä todennäköisyydellä nostat sen miehen nimen, jolla on kaksi poikaa?

Vastaus ½:

Keskustelet sattumalta lapsista lähikaupan kassalla työskentelevän Akin kanssa.

Saat tietää, että Akilla on kaksi lasta.

Saat myös tietää, että ainakin yksi lapsista on poika (eli molemmat eivät ole tyttöjä).

Millä todennäköisyydellä Akin toinenkin lapsi on poika (eli Akilla on kaksi poikaa)?

Sekä Tero että Aki voivat Jukan tavoin sanoa: ”Minulla on kaksi lasta. Ainakin toinen heistä on poika.” Ero on siinä, että Tero valittiin vain niiden isien joukosta, joilla on kaksi lasta ja ainakin yksi poika. Aki taas on vain joku, jolla sattuu olemaan kaksi lasta, joista ainakin yksi sattuu olemaan poika - et valinnut keskustella hänen kanssaan lapsista tämän takia. Me emme tehtävänannon perusteella varmaksi tiedä, kumpaa tapausta Jukka edustaa. Emme, vaikka kaikki meistä ovat tahoillaan sitä mieltä, että vain toinen vaihtoehto on oikein.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kaksi lasta voi olla neljällä eri tavalla:

- tyttö ja poika

- poika ja tyttö

- tyttö ja tyttö

- poika ja poika

Kun kerrotaan, että poikia on vähintään yksi, noista mahdollisia tilanteita on kolme.

Näistä kolmesta mahdollisesta tilanteesta yksi on se tilanne, jonka todennäsyyttä kysytään. Vastaus on siis 1/3.

(Vastasin kyselyyn kuitenkin vahingossa 3/4, koska mietin asiaa liian hätiköidysti enkä lukenut kysymystäkään huolella.)

-poika ja tyttö

-tyttö ja poika

Nämä kaksi on täysin sama asia. Eli 1/2 on oikea vastaus.

Kokeilepa vaikka Excelillä arpoa kahta satunnaislukua (esim. numeroita 1 ja 2) muutama sata kappaletta kaksi sarakkeellista. Vierekkäiset numerot muodostavat parin.

Miten iso osa pareista on eriparillisia?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?

Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.

Niitä voi syntyä 

1) molemmat ovat tyttöjä

2) molemmat ovat poikia

3) yksi molempia

Typerä kysymyksenasettelu. Pitäisi tietää, miten toisen lapsen sukupuoli vaikuttaa sen todennäköisyyteen, että vanhempi ylipäänsä esittää asian tuossa muodossa. En usko, että kahden pojan isä ja yhden tytön ja yhden pojan isä kuvaisivat lapsilukuaan käsitteellä "vähintään yksi poika" yhtä todennäköisesti.

Lisäksi pitäisi tietää todennäköisyys sille, että kysyjä puhuu totta sanoessaan että ainakin toinen on poika.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt?

Hyvä. Monellako tapaa perheeseen voi syntyä kaksi lasta kun tarkastellaan lasten sukupuolia.

Niitä voi syntyä 

1) molemmat ovat tyttöjä

2) molemmat ovat poikia

3) yksi molempia

Ja mikä on näistä kunkin vaihtoehdon todennäköisyys? Eri

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

No ole hyvä ja selitä sitten, mikä tässä minun ajatuksessani menee pieleen. Sinä vain toistat moneen kertaan noita neljää riviä, mutta et selitä, miksi niitä rivejä on neljä eikä kolme. 

Todennäköisyyden määritelmä:

(Suotuisten tapahtumien määrä) / (Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä)

Ymmärrätkö tämän? Aloitetaan siitä. Tämä on siis klassinen todennäköisyyden määritelmä.

No niin. Suotuisten tapahtumien määrä = 1 (toinenkin lapsi on poika)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä = 2 (toinen lapsi on tyttö tai poika) 

Ei. Vastaa nyt siihen kysymykseen vaan. Ymmärrätkö tuon klassisen todennäköisyyden määritelmän?

No enkö minä sen juuri tuossa näyttänyt? Ongelma meillä nyt vain on, että sinä näet tuolla yhden mahdollisen tapahtuman enemmän kuin minä. Minä en näe mahdollisena tapausta, että tiedetty poika voi olla yhtä aikaa tyttö. 

Mikä ihmeen tiedetty poika? Eihän tässä tiedetä että onko se olemassa oleva poika esikoinen vai kuopus joten mahdollisuuksia on kaksi.

Ei tiedetäkään, onko kyseessä kuopus vai esikoinen. Sen sijaan tiedetään, ettei hän ole molempia.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kaksi lasta voi olla neljällä eri tavalla:

- tyttö ja poika

- poika ja tyttö

- tyttö ja tyttö

- poika ja poika

Kun kerrotaan, että poikia on vähintään yksi, noista mahdollisia tilanteita on kolme.

Näistä kolmesta mahdollisesta tilanteesta yksi on se tilanne, jonka todennäsyyttä kysytään. Vastaus on siis 1/3.

(Vastasin kyselyyn kuitenkin vahingossa 3/4, koska mietin asiaa liian hätiköidysti enkä lukenut kysymystäkään huolella.)

-poika ja tyttö

-tyttö ja poika

Nämä kaksi on täysin sama asia. Eli 1/2 on oikea vastaus.

Kokeilepa vaikka Excelillä arpoa kahta satunnaislukua (esim. numeroita 1 ja 2) muutama sata kappaletta kaksi sarakkeellista. Vierekkäiset numerot muodostavat parin.

Miten iso osa pareista on eriparillisia?

Joo, tee noin. Vasen sarake on esikoinen ja oikea sarake on kuopus. 1 on poika ja 2 on tyttö.

Suodata nyt riveistä näkyviin vain ne, joissa vasemmassa sarakkeessa on 1. Monessako oikeassa sarakkeessa on 1?

Suodata nyt riveistä ne, joissa oikeassa sarakkeessa on 1. Monessako vasemmassa sarakkeessa on 1?