Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ihmettelen eniten yhtä asiaa. Nuo 50/50-jankkaajat, jotka väittävät ettei järjestys merkitse tässä mitään, eivät vaan hyväksy sitä matemaattisesti todistettua ja yleisesti tiedossa olevaa faktaa että se on se 1/3.

Itsekin tutustuttuani asiaan netistä yllätyin ensin tuota ettei ole 50/50, enkä tajunnut miten se järjestys vaikuttaa. Silti en jankuttanut mihinkään ja yrittänyt "todistella" omaa, selvästi väärää intuitiotani oikeaksi, vaan käytin sen ajan ymmärtääkseni, miksi olen väärässä. Lopulta kun sen tajusin, tuntuu asia nyt simppeliltä.

Mutta kun se ei ole mikään fakta. Siksi tuota pulmaa kutsutaan paradoksiksi (boy or girl paradox). Oikea vastaus riippuu siitä, millaisia oletuksia teet. Tämä ei ole mikään lasten "mikä on vihreä ja puhuu" -arvoitus, jossa kysyjä vain päättää, että oikea vastaus on puhuva sammakko. Kun kysymyksestä puuttuu vastauksen kannalta oleellista tietoa, siihen ei ole yhtä oikeaa vastausta.

Ei vaan siitä ymmärrätkö lukemasi vai et. Esitetty tehtävä on ihan normaalia todennäköisyyslaskuissa käytettyä kieltä eikä siinä ole mitään erityisen moniselitteistä. Tässä syntyy näitä väärinymmärryksiä juuri siksi kun osa ihmisistä ei joko enää muista koulun matikkaa tai ei ole sitä aikoinaan edes ymmärtänyt.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ihmettelen eniten yhtä asiaa. Nuo 50/50-jankkaajat, jotka väittävät ettei järjestys merkitse tässä mitään, eivät vaan hyväksy sitä matemaattisesti todistettua ja yleisesti tiedossa olevaa faktaa että se on se 1/3.

Itsekin tutustuttuani asiaan netistä yllätyin ensin tuota ettei ole 50/50, enkä tajunnut miten se järjestys vaikuttaa. Silti en jankuttanut mihinkään ja yrittänyt "todistella" omaa, selvästi väärää intuitiotani oikeaksi, vaan käytin sen ajan ymmärtääkseni, miksi olen väärässä. Lopulta kun sen tajusin, tuntuu asia nyt simppeliltä.

Mutta kun se ei ole mikään fakta. Siksi tuota pulmaa kutsutaan paradoksiksi (boy or girl paradox). Oikea vastaus riippuu siitä, millaisia oletuksia teet. Tämä ei ole mikään lasten "mikä on vihreä ja puhuu" -arvoitus, jossa kysyjä vain päättää, että oikea vastaus on puhuva sammakko. Kun kysymyksestä puuttuu vastauksen kannalta oleellista tietoa, siihen ei ole yhtä oikeaa vastausta.

Onhan. Tähän on selkeä vastaus. Tästä on eri variaatioita, joissa annetaan eri informaatiota, ja todennäköisyydet muuttuvat. Tässä tn on 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tämä on kyllä jännä pähkinä juuri siksi, että ihmisillä on näköjään hurjan isoja vaikeuksia ymmärtää miksi molemmat vaihtoehdot voivat olla oikein. Itsekään en ollenkaan tajua, miksi joku olettaisi, että Jukka on valittu sieltä pelkästään Jukka-nimisiä kahden lapsen ja vähintään yhden pojan isiä sisältävästä joukosta. Minusta on ilmiselvää, että kyseessä on ihan vain joku Jukka, jos ei ole erikseen mainittu toisin. Toisille taas on ilmiselvää, että asia on päinvastoin. Vastaukseen 1/3 johtavan laskutoimituksen tietenkin ymmärrän.

No ei täällä ole kukaan laskenut oikein sitä 1/2 lopputulokseen johtavaa skenaariotakaan, joten tuskin kukaan olettaa myöskään sitä lähtökohdaksi.

kyllä minä mielestäni tuolla monta sivua sitten ihan kattavasti perustelin nelikentällä oman laskutapani.

Niin perustelit, ja se on aivan yhtä väärin nyt kuin se oli silloinkin.

Jos halutaan päästä tuohon 1/2 lopputulokseen oikein, niin pitää laskea että millä todennäköisyydellä Jukan perhe on valikoitunut kaikkien perheiden (myös niiden joissa on kaksi tyttöä) joukosta, ja millä todennäköisyydellä tällaisessa perheessä on kaksi poikaa. Tullaan siis kaksinkertaisesti ehdolliseen todennäköisyyteen, jonka toki voi senkin laskea joko Bayesin teoreemalla tai käymällä läpi kaikki vaihtoehdot ja laskemalla niistä suotuisien määrä.

Sinä lasket edelleen sitä, että millä todennäköisyydellä heitän toisen kruunan jos heitin jo yhden kruunan, ja sitä ei tässä tehtävässä edelleenkään kysytä.

Eikö tuo nimenomaan johda siihen 1/3 tulokseen. 

Kerro nyt millä ihmeen logiikalla se sama pojaksi tiedetty lapsi voi olla yhtä aikaa siellä yläakselilla ja pystyakselilla. Tätä en nyt mitenkään hoksaa. MInun logiikallani on kaksi lasta ja siinä nelikentällä voidaan ottaa huomioon kummatkin tavat ja vastaus on molemmissa 1/2. Miksi siinä nelikentässä pitäisi olettaa, että pojaksi tiedetty voi olla yhtä aikaa se, jonka sukupuolta ei tiedetä? 

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Väärinymmärryksesi on tässä se että kyse ei ole noiden tyttö-poika yhdistelmien todennäköisyyksistä lainkaan vaan vain siitä montako erilaista vaihtoehtoa tilanteita voi olla. Ne siis ovat mahdollisia vaihtoehtoja. Todennäköisyys lasketaan suhteessa olemassaoleviin vaihtoehtoihin joten niiden vaihtoehtojen lukumäärä on ratkaisevaa todennäköisyyden laskemisen kannalta.

Vierailija kirjoitti:

Tuosta professorin tekstistä jäi alku pois... kerrotaanpa uudelleen:

Most people would agree that this is the natural way to interpret probability, but it is actually not what most people imagine when they try to solve this particular problem. They imagine that there is a guy named Peter who has a son, let’s say his name is Adam, and we ask about the probability that the other child is a boy. Of course, this probability is 50%, since “the other child” is just a random child.

What’s the problem? People think that we speak about one particular son of Peter’s, and the question is about the other child. However, Peter is a random person with two children, at least one of whom is a boy. If Peter happens to have two sons, it does not make sense to talk about his “other child”, i.e. “the child other than his son”, and this is where the “common sense” reasoning stops working—and where the other interpretation comes into play.

Osoitapa kysymyksestä vielä se kohta, josta voidaan 100-prosenttisen varmasti päätellä, että aiheena EI ole "one particular son of Peter's", vaan että EHDOTTOMASTI "Peter is a random person with two children, at least one of whom is a boy".

Say I'm introduced to a random father of two and I want to know what's the probability that both his children are boys. Currently:

BB BG GB GG ⇢ 1/4

Where the first letter represents the younger sibling and the second letter represents the older sibling. So far so good.

(1) Now the father tells me that his youngest child is boy:

BB BG GB GG ⇢ 1/2

(2) If, instead, he told me that at least one of his children is a boy:

BB BG GB GG ⇢ 1/3

Makes sense, kind of.

(3) But if the father brought one of his children with him without telling whether he's the younger child or the older child and that child happened to be a boy, I think I could have still honestly arrived to the 50/50 probability:

BB BG GB GG ⇢ 1/2

Where the first letter represents the boy I've just seen and the second letter represents his sibling.

Now, say, the father first told me that he has at least 1 boy. That's the case (2).

Then the father called (one of) the boy(s) here, and somehow the situation turned into the case (3)!

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Ei tuossa ole mitään samaa. Jos kysyisit että mikä on todennäköisyys että molemmat arvat olivat voitollisia kun tiedetään että vähintään toinen arpa oli voitollinen olisi tehtävä sama.

Mahdolliset kombinaatiot:

H + H

V + H

H + V

V + V

joista H + H on pois laskuista, jäljelle jää kolme yhtä todennäköistä mahdollisuutta joista yksi täyttää ehdon "kaksi voitollista arpaa", eli todennäköisyys on 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Väärinymmärryksesi on tässä se että kyse ei ole noiden tyttö-poika yhdistelmien todennäköisyyksistä lainkaan vaan vain siitä montako erilaista vaihtoehtoa tilanteita voi olla. Ne siis ovat mahdollisia vaihtoehtoja. Todennäköisyys lasketaan suhteessa olemassaoleviin vaihtoehtoihin joten niiden vaihtoehtojen lukumäärä on ratkaisevaa todennäköisyyden laskemisen kannalta.

Mutta kun minä ne mitenkään näe noita eri tilanteina, vaan kun toisen lapsen sukupuoli tiedetään, mukaan otetaan vain jompi kumpi tyttö + poika tai poika + tyttö. Eli siinä vaiheessa päätetään, kumpiko merkitään ensin. Se, jonka sukupuoli tiedetään, vai se, jonka sukupuolta ei tiedetä. Millään muulla ei ole tässä järjestyksellä väliä kuin sillä, kumpi päätetään siksi tiedetyksi pojaksi. Jos päätetään, että tiedetty poika on se ensiksi merkitty, eihän silloin ole vaihtoehtoa tyttö + poika, koska se tiedetty poika ei voi olla tyttö. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tuosta professorin tekstistä jäi alku pois... kerrotaanpa uudelleen:

Most people would agree that this is the natural way to interpret probability, but it is actually not what most people imagine when they try to solve this particular problem. They imagine that there is a guy named Peter who has a son, let’s say his name is Adam, and we ask about the probability that the other child is a boy. Of course, this probability is 50%, since “the other child” is just a random child.

What’s the problem? People think that we speak about one particular son of Peter’s, and the question is about the other child. However, Peter is a random person with two children, at least one of whom is a boy. If Peter happens to have two sons, it does not make sense to talk about his “other child”, i.e. “the child other than his son”, and this is where the “common sense” reasoning stops working—and where the other interpretation comes into play.

Osoitapa kysymyksestä vielä se kohta, josta voidaan 100-prosenttisen varmasti päätellä, että aiheena EI ole "one particular son of Peter's", vaan että EHDOTTOMASTI "Peter is a random person with two children, at least one of whom is a boy".

Nyt takaisin ala-asteen äidinkielen tunnille.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Ei tuossa ole mitään samaa. Jos kysyisit että mikä on todennäköisyys että molemmat arvat olivat voitollisia kun tiedetään että vähintään toinen arpa oli voitollinen olisi tehtävä sama.

Mahdolliset kombinaatiot:

H + H

V + H

H + V

V + V

joista H + H on pois laskuista, jäljelle jää kolme yhtä todennäköistä mahdollisuutta joista yksi täyttää ehdon "kaksi voitollista arpaa", eli todennäköisyys on 1/3.

Ei vaan tarkoitin pelkästään tuon v+h:n ja h+v:n yhteenlaskettua todennäköisyyttä. Eikö se sinusta ole 1/2, jos saan valita niistä vain kerrallaan toisen? 

Vierailija kirjoitti:

Eikö tuo nimenomaan johda siihen 1/3 tulokseen. 

Ei. Siihen johtaa oletus että Jukan perhe on valikoitu sellaisten kaksilapsisten perheiden joukosta joissa on vähintään yksi poikalapsi. Jos perhe valikoidaan kaikkien perheiden joukosta joista paljastetaan satunnaisesti yksi lapsi, johtaa yksi poika siihen että myös kaksi poikaa on todennäköisempi kuin edellä.

Vierailija kirjoitti:

Kerro nyt millä ihmeen logiikalla se sama pojaksi tiedetty lapsi voi olla yhtä aikaa siellä yläakselilla ja pystyakselilla. Tätä en nyt mitenkään hoksaa. MInun logiikallani on kaksi lasta ja siinä nelikentällä voidaan ottaa huomioon kummatkin tavat ja vastaus on molemmissa 1/2. Miksi siinä nelikentässä pitäisi olettaa, että pojaksi tiedetty voi olla yhtä aikaa se, jonka sukupuolta ei tiedetä? 

Kukaan lapsi ei ole millään akselilla. Jos sinulla on purkki täynnä lappuja jossa lukee "tyttö" tai "poika" ja näitä on yhtä paljon kumpaakin, niin voit nostaa purkista kaksi lappua seuraavin tavoin:

t + t

t + p

p + t

p + p

Vaihtoehtoja on siis neljä. Niistä voimme poissulkea ensimmäisen, koska tehtävässä kerrottiin että Jukalla ei voi olla kahta tyttöä. Jää siis kolme keskenään yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, ja todennäköisyyden määritelmä on (suotuisat tapaukset) / (kaikki tapaukset), eli 1/3.

Tää on 1/2

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eikö tuo nimenomaan johda siihen 1/3 tulokseen. 

Ei. Siihen johtaa oletus että Jukan perhe on valikoitu sellaisten kaksilapsisten perheiden joukosta joissa on vähintään yksi poikalapsi. Jos perhe valikoidaan kaikkien perheiden joukosta joista paljastetaan satunnaisesti yksi lapsi, johtaa yksi poika siihen että myös kaksi poikaa on todennäköisempi kuin edellä.

Vierailija kirjoitti:

Kerro nyt millä ihmeen logiikalla se sama pojaksi tiedetty lapsi voi olla yhtä aikaa siellä yläakselilla ja pystyakselilla. Tätä en nyt mitenkään hoksaa. MInun logiikallani on kaksi lasta ja siinä nelikentällä voidaan ottaa huomioon kummatkin tavat ja vastaus on molemmissa 1/2. Miksi siinä nelikentässä pitäisi olettaa, että pojaksi tiedetty voi olla yhtä aikaa se, jonka sukupuolta ei tiedetä? 

Kukaan lapsi ei ole millään akselilla. Jos sinulla on purkki täynnä lappuja jossa lukee "tyttö" tai "poika" ja näitä on yhtä paljon kumpaakin, niin voit nostaa purkista kaksi lappua seuraavin tavoin:

t + t

t + p

p + t

p + p

Vaihtoehtoja on siis neljä. Niistä voimme poissulkea ensimmäisen, koska tehtävässä kerrottiin että Jukalla ei voi olla kahta tyttöä. Jää siis kolme keskenään yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, ja todennäköisyyden määritelmä on (suotuisat tapaukset) / (kaikki tapaukset), eli 1/3.

Siinä minun nelikentässäni oli akselit. Et ilmeisesti nähnyt sitä. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Otetaanpas toinen ihan erilainen esimerkki. Minulla on edessäni kaksi arpaa, joista molemmissa on täsmälleen 1/2 todennäköisyys voittaa. Eivät siis ole samassa arvonnassa mukana olevia arpoja, vaan toisistaan erillisiä. Saan valita näistä vain toisen. Mikä on minun todennäköisyyteni voittaa? 

Minun logiikkani mukaan tässä on kaksi toisensa poissulkevaa mahdollisuutta, eli minulla on 

1) 1/2 voittomahdollisuus 

tai 

2) 1/2 voittomahdollisuus

Eli valitsen kumman tahansa, minulla on aina se sama mahdollisuus. Koska en voi valita molempia arpoja yhtä aikaa, näiden voittotodennäköisyyksiä ei voida laskea yhteen. 

Eikö tässä tyttö + poika ja poika + tyttö -yhdistelmissä ole ihan sama juttu. Niiden todennäköisyys on sama, mutta ne kumoavat tässä tapauksessa toisensa, kun se tiedetty poika voi olla vain jompikumpi eikä poika voi olla sekä ensimmäinen että jälkimmäinen. 

Ei tuossa ole mitään samaa. Jos kysyisit että mikä on todennäköisyys että molemmat arvat olivat voitollisia kun tiedetään että vähintään toinen arpa oli voitollinen olisi tehtävä sama.

Mahdolliset kombinaatiot:

H + H

V + H

H + V

V + V

joista H + H on pois laskuista, jäljelle jää kolme yhtä todennäköistä mahdollisuutta joista yksi täyttää ehdon "kaksi voitollista arpaa", eli todennäköisyys on 1/3.

Ei vaan tarkoitin pelkästään tuon v+h:n ja h+v:n yhteenlaskettua todennäköisyyttä. Eikö se sinusta ole 1/2, jos saan valita niistä vain kerrallaan toisen? 

On, ja V + V todennäköisyys on 1/4, jolloin (V+H tai H+V) on tuplasti todennäköisempi. Eli x + 2x = 1, josta saadaan x = 1/3.

Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Lol! Tällä hetkellä 16 prosenttia on vastannut oikein, eli aika lähelle menee tuota otsikon 15 prosenttia! Oikeassa olit!

Vierailija kirjoitti:

Siinä minun nelikentässäni oli akselit. Et ilmeisesti nähnyt sitä. 

Kyllä olen, mutta sinä käytit sitä edelleen väärin vaikka onnistuneesti listasit kaikki neljä mahdollista vaihtoehtoa, joista näit että yksi on mahdoton ja yksi suotuisa.

Matematiikan ja tilastotieteen laitos: Helsingin yliopisto

Sisarusongelma: Aidill¨ ¨ a on kaksi lasta, joista toi-

nen on tytt¨o. Mik¨a on todenn¨ak¨oisyys, ett¨a toinen on

poika?

Oletamme, ett¨a tyt¨ot ja pojat syntyv¨at toisistaan riip-

pumatta samalla todenn¨ak¨oisyydell¨a 1/2.

V¨a¨ar¨a vastaus: 1/2.

Virheellinen ratkaisu perustuu seuraavaan p¨a¨attelyyn.

Aidill¨ ¨ a on tytt¨o. Seuraava lapsi on joko poika tai tytt¨o.

Todenn¨ak¨oisyys, ett¨a se on poika on 1/2.

On totta, ett¨a pojan syntym¨atodenn¨ak¨oisyys on 1/2,

mutta kysyt¨a¨ank¨o ongelmassa t¨at¨a?

Oikea vastaus: 2/3.

Mietit¨a¨an tilannetta huolellisemmin. Perheess¨a on kak-

si lasta. Jos aiti ¨ luettelee lapset ik¨aj¨arjestyksess¨a, mah-

dollisuuksia ovat:

1. tytt¨o–tytt¨o,

2. tytt¨o–poika,

3. poika–tytt¨o,

4. poika–poika.

Periaatteessa kaikki n¨am¨a vaihtoehdot ovat yht¨a to-

denn¨ak¨oisi¨a. Koska tied¨amme, ett¨a perhess¨a on tytt¨o,

on vaihtoehto 4 kuitenkin mahdoton. Vaihtoehdot 1–

3 ovat sen sijaan edelleen yht¨a todenn¨ak¨oisi¨a. N¨aist¨a

vaihtoehdoista kahdessa on poika. Siten todenn¨ak¨oi-

syys, ett¨a perheess¨a on poika on 2/3.

Vierailija kirjoitti:

Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Lol! Tällä hetkellä 16 prosenttia on vastannut oikein, eli aika lähelle menee tuota otsikon 15 prosenttia! Oikeassa olit!

Harmi vaan että 1/3 ei ole oikea vastaus. Ketjun alkupuolella olen tämän selittänyt moneen kertaan ja hyvin seikkaperäisesti, mutta kukaan ei usko eikä ymmärrä: oikea vastaus on että kysymykseen ei ole mahdollista antaa yksiselitteistä vastausta annetuilla tiedoilla.

Vierailija kirjoitti:

voisiko joku nyt selittää, missä kohtaa tässä tehtävässä on merkitystä sillä, missä järjestyksessä lapset syntyvät. On olemassa kaksi lasta, joiden sukupuolia ei aluksi tiedetä. Näistä voidaan tehdä nelikenttä, jossa on kaikki mahdolliset yhdistelmät.

                    T           P

T              T+T          T+P

P              P+T         P+P

(Toivottavasti näkyy jotenkin järkevästi)

Sitten kun tiedetään toisen sukupuoli, nelikentästä poistuu kaksi kenttää ja jää kaksi, joista toisessa on yhdistelmä P+P eli 1/2. 

Tässä siis tämä minun aiempi nelikenttäni. Ylhäällä siis lapsi 1, joka voi olla tyttö tai poika. Sivulla lapsi 2, joka voi olla tyttö tai poika. Kentissä näkyvät näiden yhdistelmät. Tiedämme, että toinen lapsista on poika. Tässä vaiheessa se voi olla kumpi tahansa, lapsi 1 tai lapsi 2. Jos oletetaan, että tiedetty poika on ylhäällä lapsi 1, tästä poistuu kokonaan tuo T-sarake ja jäljelle jää ainoastaan T+P ja P+P.  Sama tapahtuu, jos lapsi 2 onkin poika, eli jäljelle jää ainoastaan kaksi vaihtoehtoa P+T ja P+P. Ei ole olemassa tilannetta, jossa pojaksi tiedetty lapsi olisi yhtä aikaa lapsi 1 ja 2, joten aina putoaa joko P+T tai T+P.