Jos osaat ratkaista tämän yksinkertaisen todennäköisyyteen liittyvän ongelman, kuulut top 15% älykkäimpiin ihmisiin

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Jos tiedän, että Jukalla on kaksi lasta, ja näen heistä yhden (pojan) vilaukselta, niin mikä on todennäköisyys, että se toinen lapsi on tyttö? Onko se 1/2 vai 2/3?

Jos se on 2/3, niin siinä olisi hyvä mahdollisuus lyödä Jukan kanssa vetoa, arvaako sen toisen lapsen sukupuolen oikein. Jos sama toistuu useiden ihmisten kanssa, niin pääsisi rikastumaan. :)

Se on tietysti 1/2. On aivan eri asia tietää että kahdesta lapsesta yksi tietty on poika, kuin että kahden lapsen joukosta vähintään toinen on poika. Ensimmäisessä tapauksessa tieto ei kerro yhtään mitään siitä toisesta lapsesta, toisessa tapauksessa tieto kertoo molemmista lapsista yhdessä (joukkona).

Ei, vaan 2/3 tietenkin. Kaksi tytärtä on tässäkin poissuljettu vaihtoehto, joten jäljelle jää P+T, T+P ja P+P. Tai voimme suoraan todeta että tehtävä on edelliseen nähden käänteinen ja laskea suoraan komplementin kautta: 1 - 1/3 = 2/3.

Eipä ollutkaan. Tämä asia ei ole niin selvä kuin kuvitellaan ja tästä on lukuisia eri versioita eri käytöksellä/tapahtumilla ja todennäköisyydet heittelee:

From all families with two children, one child is selected at random, and the sex of that child is specified to be a boy. This would yield an answer of

1

/

2

.[4][5]

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eikö todennäköisyysmatematiikassa aina vähene sen todennäköisyys, joita ryhmässä on jo paljon? Jos Jukalla on 10 lasta ja heistä on 9 poikia, sen kymmenennen tyttöyden todennäköisyys on 1/2, mutta pojan todennäköisyys on liuennut jonnekin tasolle 1/50?

Jos Jukalla on 10 lasta, niin todennäköisyys että tietty lapsi (vanhin, nuorin, kolmanneksi vanhin tai mikä tahansa) on poika, on 1/2.

Vaikka 9 vanhinta lasta olisivat kaikki poikia tai kaikki tyttöjä, niin se nuorin on poika 50 %:n todennäköisyydellä. Muiden lasten sukupuoli ei vaikuta yhden tietyn lapsen sukupuoleen.

Mutta jos sanotaan, että Jukalla on vähintään 9 poikaa yksilöimättä niitä mitenkään, niin hänellä on todennäköisemmin 9 poikaa kuin 10. On yleisempää, että poikia on 9/10 kuin 10/10. Syy on se, että 9/10 poikaa voi olla useammalla eri tavalla kuin 10/10 poikaa, koska 9 pojan joukossa on 1 tyttö, joka voi olla vanhin, toiseksi vanhin, kolmanneksi vanhin jne. Yhdistelmiä on useita.

Jos otat reaalimaailmasta kaikki 10-lapsiset perheet, joissa on 9 tai 10 poikaa, niin havaitset 9-poikaisia perheitä olevan enemmän kuin 10-poikaisia.

10-lapsisia perheitä, joissa on 10 poikaa, on yhtä paljon kuin perheitä, joissa vain tietyt 9 (esim. vanhimmat) lasta ovat poikia, mutta paljon vähemmän kuin 9/10-poikaisia perheitä kaikkiaan.

Mutta miksi tässä nyt pitää ottaa joku perhetilasto mukaan, kun mietitään vain yhden lapsen sukupuolta, joka on ainoa ratkaiseva asia. 

ohis

Koska emme tiedä, mistä lapsesta puhutaan.

Jos sanotaan, että Jukalla on vähintään 9 poikaa, ja kysymme millä todennäköisyydellä se viimeinenkin on poika, ei ole etukäteen määrätty, onko se "viimeinen" lapsi numero 1, lapsi numero 2, lapsi numero 3... vai lapsi numero 10.

"Ainakin 9 on poikia" on tarkoittaa aivan eri asiaa kuin esimerkiksi "ainakin vanhimmat 9 ovat poikia".

Mutta mitä väliä sillä on, mistä lapsesta puhutaan. Joka tapauksessa lapsia on kaksi, ja oli se poika sitten lapsi numero 1 tai kaksi, se toinen voi olla vain tyttö tai poika eikä mitään muuta. 

Ja lotossa joko voittaa tai ei, mutta se ei tee voitosta ja ei-voitosta yhtä todennäköisiä.

Voi herranen aika teidän kanssanne. Ei, lotossa ei ole samoista todennäköisyyksistä kyse kuin ap:n kysymyksessä.

Jos toinen lapsista jo varmuudella on poika ja kysymys kuului, millä todennäköisyydellä molemmat lapsista ovat poikia, ap siis kysyy, millä todennäköisyydellä se toinenKIN lapsi on poika. Ja se on siis 50 prosentin todennäköisyys.

Jos alat saivarrella pidemmälle, olet menettänyt pelin jo kättelyssä.

Ohis

Eikö todennäköisyys sille, että kahdesta lapsesta molemmat on poikia kasva silloin kun toinen heistä on jo valmiiksi poika verrattuna tilanteeseen, että kummankaan sukupuoli ei ole tiedossa?

Kasvaa.

Vierailija kirjoitti:

Tämä on kyllä jännä pähkinä juuri siksi, että ihmisillä on näköjään hurjan isoja vaikeuksia ymmärtää miksi molemmat vaihtoehdot voivat olla oikein. Itsekään en ollenkaan tajua, miksi joku olettaisi, että Jukka on valittu sieltä pelkästään Jukka-nimisiä kahden lapsen ja vähintään yhden pojan isiä sisältävästä joukosta. Minusta on ilmiselvää, että kyseessä on ihan vain joku Jukka, jos ei ole erikseen mainittu toisin. Toisille taas on ilmiselvää, että asia on päinvastoin. Vastaukseen 1/3 johtavan laskutoimituksen tietenkin ymmärrän.

Niinpä. Jos Jukka heittäisi tuossa vedonlyönnin, kumpaa sukupuolta veikkaat toisen hänen lapsensa olevan, eikö kaikille olisi päivänselvää, että sen vedonlyönnin kerroin on 50:50. 

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tämä on kyllä jännä pähkinä juuri siksi, että ihmisillä on näköjään hurjan isoja vaikeuksia ymmärtää miksi molemmat vaihtoehdot voivat olla oikein. Itsekään en ollenkaan tajua, miksi joku olettaisi, että Jukka on valittu sieltä pelkästään Jukka-nimisiä kahden lapsen ja vähintään yhden pojan isiä sisältävästä joukosta. Minusta on ilmiselvää, että kyseessä on ihan vain joku Jukka, jos ei ole erikseen mainittu toisin. Toisille taas on ilmiselvää, että asia on päinvastoin. Vastaukseen 1/3 johtavan laskutoimituksen tietenkin ymmärrän.

Niinpä. Jos Jukka heittäisi tuossa vedonlyönnin, kumpaa sukupuolta veikkaat toisen hänen lapsensa olevan, eikö kaikille olisi päivänselvää, että sen vedonlyönnin kerroin on 50:50. 

Niinpä. Tosin todennäköisyyslaskennassa ei voida alkaa tehdä omia oletuksia. Tosiasiassahan se on 100/0, joko on poika tai ei. Pitää laskea se todennäköisyys OLEMASSA olevilla tiedoilla.

Vaikka Jukka sanoisi että minulla on yksi poika, vaan sen takia että hänellä on oikeasti kaksi poikaa, se ei muuttaisi sinänsä mitään, koska kysytään todennäköisyyttä, joka voidaan laskea annetuilla tiedoilla.

Vierailija kirjoitti:

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Tämähän on helppo. 1/14 tietysti, koska viikonpäiviä on seitsemän ja molemmat sukupuolet voivat syntyä minä tahansa päivänä. 

Vierailija kirjoitti:

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

1/2, olettaen että listaan on voinut joutua miehiä ja naisia yhtä suurella todennäköisyydellä (ja vastoin valtavaa todennäköisyyttä) ainakin 999 niistä on ollut miehiä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Tämähän on helppo. 1/14 tietysti, koska viikonpäiviä on seitsemän ja molemmat sukupuolet voivat syntyä minä tahansa päivänä. 

Ei todellakaan. Lue kysymys uudelleen, siinä ei sanota, että toisenkin pojan tulisi olla syntynyt tiistaina.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Tämähän on helppo. 1/14 tietysti, koska viikonpäiviä on seitsemän ja molemmat sukupuolet voivat syntyä minä tahansa päivänä. 

Vastaus on 48,1%.

Vierailija kirjoitti:

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

Mahdotonta vastata näillä annetuilla tiedoilla, koska emme tiedä listalla olevien nimien riippuvuudesta yhtään mitään. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Tämähän on helppo. 1/14 tietysti, koska viikonpäiviä on seitsemän ja molemmat sukupuolet voivat syntyä minä tahansa päivänä. 

Ei todellakaan. Lue kysymys uudelleen, siinä ei sanota, että toisenkin pojan tulisi olla syntynyt tiistaina.

Ei sanotakaan. Tuo olikin sarkastinen heitto, jossa oli tarkoitus tuoda esiin tämä järjetön logiikka, jossa sillä syntymisen järjestyksellä olisi jotain väliä ja siksi sille keksitään ihan oma kategoriansa, vaikka tehtävänanto ei sitä vaadi ollenkaan. 

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

1/2, olettaen että listaan on voinut joutua miehiä ja naisia yhtä suurella todennäköisyydellä (ja vastoin valtavaa todennäköisyyttä) ainakin 999 niistä on ollut miehiä.

Jos listalla oli 999 miestä ja vain 1 nainen, niin eikö ole hyvin epätodennäköistä, että sattumalta tulin poistaneeksi juuri sen naisen? En tiedä mikä todennäköisyys on sille, että poistettu oli mies, mutta en usko sen olevan niin suuri kuin 1/2.

Korjaan: en usko sen olevan niin PIENI kuin 1/2.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

1/2, olettaen että listaan on voinut joutua miehiä ja naisia yhtä suurella todennäköisyydellä (ja vastoin valtavaa todennäköisyyttä) ainakin 999 niistä on ollut miehiä.

Jos listalla oli 999 miestä ja vain 1 nainen, niin eikö ole hyvin epätodennäköistä, että sattumalta tulin poistaneeksi juuri sen naisen? En tiedä mikä todennäköisyys on sille, että poistettu oli mies, mutta en usko sen olevan niin suuri kuin 1/2.

Tässähän on oikeastaan kaksi kysymystä: 1) Millä todennäköisyydellä löytyy tuollainen lista, jossa on yksi nainen 999 miehen joukossa 2) Millä todennäköisyydellä juuri se yksi nainen poistetaan

Jälkimmäiseen löytyy vastaus helposti, mutta ensimmäinen kysymys on lähes mahdoton selvittää ilman lisätietoja. 

Tää on näitä ikuisia kompakysymyksiä joissa sanamuodot merkitsevät hitosti.  Miksköhän näissä "90% ei tiedä vastausta jos tiedät olet einstein" ei ikinä ole mitään todella selkeää ja yksiselittäistä tehtävänantoa?

Tottakai jos toinen lapsi on poika niin siitä katsoen todennäköisyys sille että myös toinen on poika on 50%. Mutta jos katsotaan permutaatioita on olemassa neljä vaihtoehtoa: TT, TP, PT, PP, joilla kaikilla sama todennäköisyys. Näistä kolmessa on ainakin yksi poika ja näistä kolmesta vaihtoehdosta yksi on sellainen jossa molemmat ovat poikia, eli vastaus olisi tämän perusteella 33%. Tästä sitten syntyykin ikuinen vääntö ja 20 sivua pitkiä lankoja.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tämä on kyllä jännä pähkinä juuri siksi, että ihmisillä on näköjään hurjan isoja vaikeuksia ymmärtää miksi molemmat vaihtoehdot voivat olla oikein. Itsekään en ollenkaan tajua, miksi joku olettaisi, että Jukka on valittu sieltä pelkästään Jukka-nimisiä kahden lapsen ja vähintään yhden pojan isiä sisältävästä joukosta. Minusta on ilmiselvää, että kyseessä on ihan vain joku Jukka, jos ei ole erikseen mainittu toisin. Toisille taas on ilmiselvää, että asia on päinvastoin. Vastaukseen 1/3 johtavan laskutoimituksen tietenkin ymmärrän.

Niinpä. Jos Jukka heittäisi tuossa vedonlyönnin, kumpaa sukupuolta veikkaat toisen hänen lapsensa olevan, eikö kaikille olisi päivänselvää, että sen vedonlyönnin kerroin on 50:50. 

Niinpä. Tosin todennäköisyyslaskennassa ei voida alkaa tehdä omia oletuksia. Tosiasiassahan se on 100/0, joko on poika tai ei. Pitää laskea se todennäköisyys OLEMASSA olevilla tiedoilla.

Vaikka Jukka sanoisi että minulla on yksi poika, vaan sen takia että hänellä on oikeasti kaksi poikaa, se ei muuttaisi sinänsä mitään, koska kysytään todennäköisyyttä, joka voidaan laskea annetuilla tiedoilla.

Joo, omia oletuksia ei kuulu tehdä. Tulkintaero syntyy nimenomaan siitä, kumpi on vastaajan mielestä "neutraali", omista oletuksista vapaa vaihtoehto. Koska tästä syntyy vahvaa erimielisyyttä, joka ei poistu vaikka yritämme vilpittömästi ymmärtää toistemme kantaa, taivun itse siihen ettei yhtä oikeaa vastausta ole.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vaihdetaanko välillä aihetta? Mites tällainen pulma:

Löydän listan, jossa on 1000 ihmisen tiedot. Poistan täysin satunnaisesti yhden ihmisen tiedot ja sitten katson jäljelle jääviä tietoja. Huomaan, että kaikki 999 ihmist ovat miehiä. Millä todennäköisyydellä se poistettukin oli mies?

1/2, olettaen että listaan on voinut joutua miehiä ja naisia yhtä suurella todennäköisyydellä (ja vastoin valtavaa todennäköisyyttä) ainakin 999 niistä on ollut miehiä.

Jos listalla oli 999 miestä ja vain 1 nainen, niin eikö ole hyvin epätodennäköistä, että sattumalta tulin poistaneeksi juuri sen naisen? En tiedä mikä todennäköisyys on sille, että poistettu oli mies, mutta en usko sen olevan niin suuri kuin 1/2.

Tässähän on oikeastaan kaksi kysymystä: 1) Millä todennäköisyydellä löytyy tuollainen lista, jossa on yksi nainen 999 miehen joukossa 2) Millä todennäköisyydellä juuri se yksi nainen poistetaan

Jälkimmäiseen löytyy vastaus helposti, mutta ensimmäinen kysymys on lähes mahdoton selvittää ilman lisätietoja. 

No ainakin se on selvää, että poistettu on todennäköisemmin mies kuin nainen.

Se 999 on vain otos 1000:sta. Otokset ovat yleisiä tutkimuksissa. Otoksen suhdeluku on todennäköisesti lähellä myös kokonaisuuden suhdelukua.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ratkaisu:

We know that Peter has at least one son, so there are 3 different possibilities: 1) Both children are boys. 2) The older child is a boy and the younger child is a girl. 3) The older child is a girl and the younger child is a boy. Symbolically, Peter’s children could have been born in any of the following orders:

𝐵𝐵𝐵𝐺𝐺𝐵

The order 𝐺𝐺 is not possible because Peter has at least one boy. Since a boy being born has the same probability as a girl being born (both as the first child and as the second child), all three variants have the same probability and cover 100% of all possible cases, so each has probability ≈33.3%. There is a boy in 1 out of the 3 cases, so the probability that Peter has a daughter is ≈33.3%.

Edelleenkään meitä ei kiinnosta pätkääkään, missä järjestyksessä lapset ovat syntyneet. Miksi pitää ottaa eri skenaariot nuoremmalle ja vanhemmalle lapselle? 

Koska todennäköisyys lasketaan kysyttyjen tilantieden lukumäärästä verrattuna kaikkien olemassaolevien vaihtoehtojen lukumäärään. Ja sekä poika kuopuksena että poika esikoisena ovat eri vaihtoehdot joten ne lisäävät olemassaolevien vaihtoehtojen määrää.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tässä vielä huomattavasti mutkikkaampi versio, eri todennäköisyydellä:

Jukalla on poika, joka on syntynyt tiistaina. Mikä todennäköisyys sille, että hänellä on kaksi poikaa (kahdesta lapsesta)?

Tämähän on helppo. 1/14 tietysti, koska viikonpäiviä on seitsemän ja molemmat sukupuolet voivat syntyä minä tahansa päivänä. 

Ei todellakaan. Lue kysymys uudelleen, siinä ei sanota, että toisenkin pojan tulisi olla syntynyt tiistaina.

Ei sanotakaan. Tuo olikin sarkastinen heitto, jossa oli tarkoitus tuoda esiin tämä järjetön logiikka, jossa sillä syntymisen järjestyksellä olisi jotain väliä ja siksi sille keksitään ihan oma kategoriansa, vaikka tehtävänanto ei sitä vaadi ollenkaan. 

Jos et ymmärrä syntymisen järjestyksen merkitystä, olet älyllisesti kyllä vajaa. Jos saat kaksi lasta, niin kumpi on todennäköisempää, saat yhden tytön ja yhden pojan, vaiko kaksi tyttöä?

Syntymisen järjestyksellä on siinä mielessä ensiarvoisen tärkeää väliä, että saat yhden tytön ja yhden pojan 50% todennäköisyydellä riippumatta siitä, mitä sukupuolta esikoisesi on.

Kahteen tyttöön joudut onnistumaan jo heti ensimmäisellä kerralla.