0.999... = 1

Opin juuri jotain av:lla. :O

Täällä oikeasti joku on yrittämässä vesittää jollain peruslogiikalla matemaattista päätelmää, jonka lukuisat matematiikot ja tiedemiehet ovat joutuneet toteamaan oikeaksi satojen vuosien ajan :D Nauravat Helsingin matematiikan osastolla partaansa, jos joku sinne erehtyy ilmoittamaan, että on todistanut yhden matematiikan pitkäaikaisita olettamuksista vääräksi "koska kehäpäätelmä". 

Mutta ihan oikeasti, älkää tuolle yhdelle yrittäkö selittää. Jos on jääräpäinen niin on jääräpäinen, vaikka saataisiin matematiikan professori tänne tuota selittämään. Voi vain kuvitella miten poloinen reagoisi, jos erehtyisi koskaan käymään yliopiston matikan luennoilla.

Ratkaise yhtälö

x+2=3

x=1

Ei päde, jos x ei ole 1 => kehäpäätelmä :D

Vierailija kirjoitti:

Täällä oikeasti joku on yrittämässä vesittää jollain peruslogiikalla matemaattista päätelmää, jonka lukuisat matematiikot ja tiedemiehet ovat joutuneet toteamaan oikeaksi satojen vuosien ajan :D Nauravat Helsingin matematiikan osastolla partaansa, jos joku sinne erehtyy ilmoittamaan, että on todistanut yhden matematiikan pitkäaikaisita olettamuksista vääräksi "koska kehäpäätelmä". 

Mutta ihan oikeasti, älkää tuolle yhdelle yrittäkö selittää. Jos on jääräpäinen niin on jääräpäinen, vaikka saataisiin matematiikan professori tänne tuota selittämään. Voi vain kuvitella miten poloinen reagoisi, jos erehtyisi koskaan käymään yliopiston matikan luennoilla.

 

Menit yliopistoon pelkästään päästäksesi pätemään taviksille?

Vierailija kirjoitti:

Ratkaise yhtälö

x+2=3

x=1

Ei päde, jos x ei ole 1 => kehäpäätelmä :D

Tällä päättelyllä voitkin kaikkiin matemaattisiin ongelmiin vastata 'vaarin housut'.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Täällä oikeasti joku on yrittämässä vesittää jollain peruslogiikalla matemaattista päätelmää, jonka lukuisat matematiikot ja tiedemiehet ovat joutuneet toteamaan oikeaksi satojen vuosien ajan :D Nauravat Helsingin matematiikan osastolla partaansa, jos joku sinne erehtyy ilmoittamaan, että on todistanut yhden matematiikan pitkäaikaisita olettamuksista vääräksi "koska kehäpäätelmä". 

Mutta ihan oikeasti, älkää tuolle yhdelle yrittäkö selittää. Jos on jääräpäinen niin on jääräpäinen, vaikka saataisiin matematiikan professori tänne tuota selittämään. Voi vain kuvitella miten poloinen reagoisi, jos erehtyisi koskaan käymään yliopiston matikan luennoilla.

 

Menit yliopistoon pelkästään päästäksesi pätemään taviksille?

No mitäs muutakaan sitä yliopisto-opinnoilla tekisin? Opinto-ohjaajat sun muut aina toitottaneet, että opiskele sellaista alaa, jonka avulla pääset tekemään sitä mistä eniten nautit. Omalla kohdallani tuo sattui olemaan av-palstalla päteminen. :D

No tehdään tämäkin sitten jotakuinkin kunnolla kunnolla:

Määritellään sarja 9/10*(1/10)^k, k käy 0:stä äärettömään. (Eli ääretön summa, jonka termit ovat muotoa 9/10 = 0,9; 9/100 = 0,09 jne. Tämä tuottaa luvun 0,999...)

Huomataan että sarja on muotoa a*q^k, joten se on geometrinen sarja, tälläinen sarja suppenee jos ja vain jos |q|<1. Tässä tilanteessa se on, joten sen summa on a/(1-q)

Eli tämän sarjan summa on (9/10)/(1-(1/10)=(9/10)/(9/10) = 1.

a = 9/10 tässä.

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

elegantti todistus.

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Eihän se ole yksi. Mutta joudumme elämään yksinkertaistetussa maailmassa jotta emme menisi sekaisin. Joten pyöristämme, teemme kompromisseja ja yksinkertaistamme saadaksemme yhteiskunnan pyörimään mahdollisimman kivuttomasti.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Nytpä on laadukasta trollausta. /o\

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Nyt ollaan asian ytimessä. Näppärästi tuossakin oletettiin, että 1/3=0,333.... mikä on pohjimmiltaan se asia, mitä tässä yritetään todistaa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Nyt ollaan asian ytimessä. Näppärästi tuossakin oletettiin, että 1/3=0,333.... mikä on pohjimmiltaan se asia, mitä tässä yritetään todistaa.

Näinpä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Nyt ollaan asian ytimessä. Näppärästi tuossakin oletettiin, että 1/3=0,333.... mikä on pohjimmiltaan se asia, mitä tässä yritetään todistaa.

Tavallaan, ja olihan tuo 0,333.. sinänsä ruma todistus. Samoin kuin x = 0,999... ja eivät ne ole täsmällisiä ja sanotaanko, välttämättä täysin matemaattisesti korrekteja. Tähän yhteyteen varsinkin jälkimmäinen olisi luultavasti ollut riittävä. Viestissä 27 on sitten täsmällisempi todistus, mutta sen luettavuus ei-matemaatikolle on huonoa, ja siinäkin oletetaan tunnetuksi geometrisen sarjan suppeneminen, ja suppeneminen tuota kaavan antamaa lukua kohti, todistamatta näitä. Nämä nyt kuitenkin ovat todistettavia.

Pointtini nyt ehkä on se, että ainakaan mulla ei ole aikaa eikä halua opettaa ketjun niille lukijoille jotka sitä jo eivät osaa, sarjateorian alkeita ja todistaa tämän teorian perustuloksia. ja tämä palsta ei tarjoa erityisen hyviä työkalujakaan siihen. x = 0,999... "todistuksella" kuitenkin monet saavat hyvän idean mistä tässä on kyse, ja miksi näin on. (Jos näin ei olisi, jotain meidän matematiikka-käsityksessä olisi hieman vinksallaan)

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

eli siis 10x = 9 + x

ja x  = 0.999...

tämän sujuvasti summaat muotoon 9x = 9 ja toivot että kukaan ei huomaa?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

eli siis 10x = 9 + x

ja x  = 0.999...

tämän sujuvasti summaat muotoon 9x = 9 ja toivot että kukaan ei huomaa?

äh väärä rivi tuli lainattua, siis magiikka tapahtui rivien

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

välillä

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

eli siis 10x = 9 + x

ja x  = 0.999...

tämän sujuvasti summaat muotoon 9x = 9 ja toivot että kukaan ei huomaa?

Eihän tuossa mitään vikaa ole. Alkuolettamuksesta x=0,999... edetään yhtälönratkaisuperiaatteilla lopputulokseen x=1. Pelkkiä normaaleja hyväksyttäviä laskutoimituksia; yhtälön molempien puolten kertomista samalla termillä, termien jakamista yhteenlaskettaviin osiin ja siitämistä yhtäsuuruusmerkin toidelle puolen etumerkki vaihtaen.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

eli siis 10x = 9 + x

ja x  = 0.999...

tämän sujuvasti summaat muotoon 9x = 9 ja toivot että kukaan ei huomaa?

äh väärä rivi tuli lainattua, siis magiikka tapahtui rivien

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

välillä

Alussa oletamme että x = 0,999...

Voimme merkitä 9 + 0,999...  muotoon 9 +x koska alussa oletimme että x = 0,999...

Eli missä mielestäsi meni pieleen? Menetkö sekaisin kun numeroita merkitään muuttujilla?

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Tuo on yksinkertaistettu malli, jolla saa todistettua melkein mitä vaan kautta, että x=1.

1 ei ole 0,999..., vaan 1 on 1. Ei ole sen monimutkaisempaa todistaa yhtäkuinmerkin käyttöä vääräksi. Raja-arvolauseessa tuo voisi olla kohtalokastakin ja saada eri tuloksen. Toinen on tilanteessa, jossa yhtälö ei kulje koskaan akseleiden kautta, koska vastakkainen merkki voi tarkoittaa vaikka toista päätä koordinaatistossa.

Ei olekaan, vaan vain ja ainoastaan 1=1. Luku 0,99999... taas ≈ 1.

Jos olisi niin että 0,99999.... = 1, niin samalla perusteellahan silloin voisi olla vaikka 789859346749367=1. Mutta eihän se niin mene. Ainoastaan 1=1.