0.999... = 1

On se kumma kun tällä palstalla tiedetään professoreiden ongelmat joita he itsekään eivät tiedä.

Kiinnostuneille sisarlehden palstalta pitkä keskustelu, ei tarvitse täällä toistaa samaa paskaa.

http://www.tiede.fi/keskustelu/1482/ketju/0_999_1

Juuh eli hys hys vaan, muualle siitä keskustelemaan?

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

Väkivaltaa yhtäläisyysmerkkiä kohtaa.

Vierailija kirjoitti:

Onpa outoa, että tietämäni matematiikan professorit eivät ole mistään ongelmakohdista tässä yhteydessä maininneet. Kerro lisää!

Oletko kysynytkään? Aivan varmasti tuota yliopistomaailmassa esittäneet ovat törmänneet siihen.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Jaapa vaikka jakokulmassa 1/3, niin vastaus on 0,333... Vai onko jakokulmakin virheellinen?

 

Jakokulma on algoritmi, todista että se toimii. Todista että tuo 0,333... kehitelmä on todellakin päättymätön.

 

Jos nyt nillittää halutaan.

Miksi haluat nillittää?

Oikeastaan tuo sarjakehitelmätodistus ei muuta todista kuin sen. että 0.999... ja loputon sarja ysejä sen jälkeen lähestyy ykköstä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Onpa outoa, että tietämäni matematiikan professorit eivät ole mistään ongelmakohdista tässä yhteydessä maininneet. Kerro lisää!

Oletko kysynytkään? Aivan varmasti tuota yliopistomaailmassa esittäneet ovat törmänneet siihen.

Hahahahahaa! Nyt kyllä pilailet julmasti näiden palstan typerysten kustannuksella.

Noniin. Ketjua silmäilemällä näyttäisi olevan about 50-50 puolesta ja vastaan. Konsensusta lienee mahdotonta saavuttaa.

Kyllä kansa tietää, niin kuin sanonta käy.

Vierailija kirjoitti:

Noniin. Ketjua silmäilemällä näyttäisi olevan about 50-50 puolesta ja vastaan. Konsensusta lienee mahdotonta saavuttaa.

Kyllä kansa tietää, niin kuin sanonta käy.

Valitettavasti matematiikka ei ole äänestämistä.

Vierailija kirjoitti:

Oikeastaan tuo sarjakehitelmätodistus ei muuta todista kuin sen. että 0.999... ja loputon sarja ysejä sen jälkeen lähestyy ykköstä.

Tietyllä tapaatämä on totta, kuitenkin käytännössä aina määritellään että, kun sarja suppenee jotain reaalilukua kohden, on kyseinen luku sarjan summa.

Voihan tästäkin tietysti vääntää kättä niin halutessaan, mutta tuo nyt vaan on käytännössä enemmän tai vähemmän se ainoa järkevä määritelmä asialle. Voisimmehan me periaatteessa sanoa että sarjalla ei ole summaa, vaikka se kohti jotain lukua suppenee, mutta siinä taas ei oikein ole järkeä.

Tuo määritelmällisesti menee täsmälleen esitetyn mukaan, eli 0,999...=1. Laitan tähän viestiin tuohon todelliseen ongelmaan liittyvän selvitykseni, seuraavaan otan kantaa tuohon etusivun triviaaliin "todistukseen".

Kuten tuossa esitetyssä exponenttikaavassa, on käytännön tilanteissa päätettävä toisella tavalla. Jännitystilan kuvaaja murtumistilanteessa noudattaa jotakuinkin kaavaa 1/x. Siitä seuraa joihinkin tilanteisiin sovellettava exponenttifunktio a^1/(x-1). Todellisuudessa kummastakaan suunnasta lim x->1 ei voi kohdata yhtä (kun yhtä lähestytään nollan suunnalta tai kahden suunnalta ja sama taas negatiivisella puolella lähestyttäessä -1:tä).

Jos tarkastellaan määrittelemättömän pientä partikkelia, kuten lujuusopissa ja rakennetaan partikkelien vuorovaikutusketju matemaattisesti, voi raja-arvoilla, eli tässä puhutulla määritelmällä kyse olla siitä, katkeaako vai kestääkö kappale. Tai se voi ratkaista murtumasta syntyvän voiman vaikutussuunnan. Eli katkeamispisteeseen saakka kappale on viimeisen partikkelin kohdalla vaikka äärettömän pienellä voimien erotuksella vielä. Kun kappale on katkennut, se on samantien absoluuttisen katki.

Todellisuudessa aihetta vain sivutaan, koska ääretöntä ei oikeasti rajallisten partikkelien tai kiteiden maailmassa lähestytä. Minusta matemaattisena ongelma silti on olemassa.

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Vaikka tuo väite on matemaattisesti osoitettu, tuolla triviaalilla esitystavalla kyse on pyöristämisestä, kun kerrot todistuksessa luvut kymmenellä ja väität 9x:n vielä olevan 9.

10x ei ole sama kuin 9+0,999... Silloin, kun x on sama 0,999... kuin tuossa yhteenlaskussa. Kertomalla kymmenellä paitsi, että siirrät desimaalin paikkaa, ilmoitat lisääväsi nollan. Käytännössä, jotta väitteesi pitäisi paikkaansa, se nolla on pyöristetty lukujonon lopusta.

Todistan sen tässä (valitan matemaattista luettavuutta, yritän selittää tekstissä mahdollisimman hyvin):

Kun poistetaan desimaalit, äärettömyys siirtyy toiseen päähän, eli pääsemme tarkastelemaan lukujonon loppua:

0,999...* 10^ääretön

Se loppuu ...999, desimaaleja ei enää ole.

Kun se kerrotaan 10:llä, lukujonon alkupää on äärettömyydessä, mutta viimeinen on nolla. Eli ...990.

...999 ja ...990:n välillä on siis kymmenen ero, joten väitteesi pyöristämättömyydestä ei pidä paikkaansa.

Menet metsään jo vaiheessa 0,999...^ääretön. Ääretön ei ole reaaliluku, joten sitä ei voi laskutoimituksissa käyttää kuten lukua ( esim. 2+2=4, mutta ääretön+ääretön=ääretön, tai esim. ääretön-ääretön ei ole edes määritelty)

Mutta näin lukion opettajana, minullahan menee pohja koko opetukselta, jos vaikka tuon 1/3=0,333... totuusarvoa epäillään. Mitähän muuta olen viimeiset 15 opettanut väärin?

Edelleen kannusta epäilijöitä tutkimaan lukion ykköskurssin oppikirjaa. Desimaaliluvun muunto murtoluvuksi löytyy monesta kirjasta ensimmäisestä kappaleesta. Mutta väärinhän se sinne on kirjattu :(

Korjaan itseäni tarkoitin tietysti 0.999...*10^ääretön

Ongelma on siinä ettei ymmäretä äärettömyyksiä ja tässä tapauksessa äärettömän pitkää desimaaliesitystä. Jos tuo ymmärrettäisiin niin ei tarvittaisi tällaista turhaa keskustelua.

Vierailija kirjoitti:

Korjaan itseäni tarkoitin tietysti 0.999...*10^ääretön

Edelleen: 15 vuotta... Ei pysty ope kirjoittamaan ennen kuin on saanut aamukahvit. Ajattelin näyttää tämän ketjun ykköskurssilaisille, ollaan nimittäin juuri tässä jaksossa harjoiteltu kyseistä asiaa. Eli vastauksena kysymykseen "mihin tätä oikein tarvii?".

Kyllä opettajan pitäisi tietää, että lähtökohtana merkitä 1/3=0.333... vastaa samaa  kuin käyttää lähtökohtana 0.999.. = 1

Simo Vaatehuoneelta hei! 

Kysykää Simolta

Tokmannilla on nyt ,99 hinnat;)

Vierailija kirjoitti:

Menet metsään jo vaiheessa 0,999...^ääretön. Ääretön ei ole reaaliluku, joten sitä ei voi laskutoimituksissa käyttää kuten lukua ( esim. 2+2=4, mutta ääretön+ääretön=ääretön, tai esim. ääretön-ääretön ei ole edes määritelty)

Mutta näin lukion opettajana, minullahan menee pohja koko opetukselta, jos vaikka tuon 1/3=0,333... totuusarvoa epäillään. Mitähän muuta olen viimeiset 15 opettanut väärin?

Edelleen kannusta epäilijöitä tutkimaan lukion ykköskurssin oppikirjaa. Desimaaliluvun muunto murtoluvuksi löytyy monesta kirjasta ensimmäisestä kappaleesta. Mutta väärinhän se sinne on kirjattu :(

Olennainen siinä on tuo kysymys pyöristämisestä.

Tuo laskutapa äärettömän exponentilla perustuu samoihin matemaattisiin periaatteisiin kuin puolittain kertominen. Tässä kentässä pädin näppiksellä matemaattinen esitystapa on lievästi sanottuna haasteellista.

Jos kielletään ääärettömällä laskeminen kokonaisuudessaan, tuon 0,99... käyttäminen todistuksessakin on myös yksi esitystapa äärettömästä laskutoimituksessa. Sehän on 1-1/ääretön.