0.999... = 1

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Jaapa vaikka jakokulmassa 1/3, niin vastaus on 0,333... Vai onko jakokulmakin virheellinen?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Tuo on yksinkertaistettu malli, jolla saa todistettua melkein mitä vaan kautta, että x=1.

1 ei ole 0,999..., vaan 1 on 1. Ei ole sen monimutkaisempaa todistaa yhtäkuinmerkin käyttöä vääräksi. Raja-arvolauseessa tuo voisi olla kohtalokastakin ja saada eri tuloksen. Toinen on tilanteessa, jossa yhtälö ei kulje koskaan akseleiden kautta, koska vastakkainen merkki voi tarkoittaa vaikka toista päätä koordinaatistossa.

Mitä oikein selität?

oletettiin, että x=0,999 ja siitä johdettiin tulos, että x=1. Ongelma ratkaistu.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

1/3=0,33333....

Kerrotaan molemmat puolet luvulla kolme:

3/3=0,99999....

eli

1=0,99999.....

Ps. Opetan matematiikkaa lukiossa...

 

1 = 4

Kerrotaan molemmat puolet neljällä

4 = 16

Jaapa vaikka jakokulmassa 1/3, niin vastaus on 0,333... Vai onko jakokulmakin virheellinen?

Jakokulma on algoritmi, todista että se toimii. Todista että tuo 0,333... kehitelmä on todellakin päättymätön.

Jos nyt nillittää halutaan.

Tämä on siitä viihdyttävä keskustelu, että täällä selvästi on ihmisiä, jotka osaavat matematiikkaa hyvin (luultavasti ovat opiskelleet sitä yliopistossa ainakin sivuainekokonaisuuden) ja sitten niitä, jotka ilmeisesti eivät tiedä matematiikasta mitään, mutta haluavat silti ottaa kantaa. Ja esimerkiksi kommentoijan 39 viestiä en tajunnut ollenkaan - ja mun maisterintutkinnon pääaine oli matematiikka.

Suurimmalle osalle näyttää tässäkin ketjussa olevan täysin tuntematon päättymättömän desimaaliluvun käsite. Ei sellaista lukua voi koskaan esittää kun vain ja ainoastaan likiarvona. Sellainen luku on esimerkiksi tämä luku 0,9999... joka jatkuu äärettömiin. Mutta luku 1 ei ole likiarvo, vaan se on täsmällinen arvo. Siksi likiarvoinen luku ei ole yhtä kuin täsmällinen arvo.

Vierailija kirjoitti:

Tämä on siitä viihdyttävä keskustelu, että täällä selvästi on ihmisiä, jotka osaavat matematiikkaa hyvin (luultavasti ovat opiskelleet sitä yliopistossa ainakin sivuainekokonaisuuden) ja sitten niitä, jotka ilmeisesti eivät tiedä matematiikasta mitään, mutta haluavat silti ottaa kantaa. Ja esimerkiksi kommentoijan 39 viestiä en tajunnut ollenkaan - ja mun maisterintutkinnon pääaine oli matematiikka.

Jos ihan totta puhutaan, musta tuntuu että osa täällä nyt vaan trollaa. Viestiä 39 en tajunnut minäkään, vaikka matemaatikko olen minäkin. Siinä nyt ei vaan ollut mitään järkeä.

Tämä sama lasku löytyy aika monesta lukion pitkän matematiikan ykköskurssin kirjasta. Onkohan niissä virheellistiä tietoa?

Otetaan vaikka päättymätön desimaaliluku pii (π). Sen tarkka arvo on vain ja ainoastaan π, kaikki muut ovat likiarvoja.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Tämä on siitä viihdyttävä keskustelu, että täällä selvästi on ihmisiä, jotka osaavat matematiikkaa hyvin (luultavasti ovat opiskelleet sitä yliopistossa ainakin sivuainekokonaisuuden) ja sitten niitä, jotka ilmeisesti eivät tiedä matematiikasta mitään, mutta haluavat silti ottaa kantaa. Ja esimerkiksi kommentoijan 39 viestiä en tajunnut ollenkaan - ja mun maisterintutkinnon pääaine oli matematiikka.

 

Jos ihan totta puhutaan, musta tuntuu että osa täällä nyt vaan trollaa. Viestiä 39 en tajunnut minäkään, vaikka matemaatikko olen minäkin. Siinä nyt ei vaan ollut mitään järkeä.

En usko, että trollaa. He ovat yksinkertaisesti tyhmiä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Tuota kutsutaan kehäpäätelmäksi koska laskusi ei päde jos 0,999... ei ole 1

Kehäpäätelmää nyt ei oikein voi soveltaa matematiikkaan.

Ei ehkä matikkaan mutta tuo todistelu meni aika siististi kehää. Yleensä kait matemaattisia lauseita ei voi todistaa pelkästään niiden itsensä avulla vaan ne pitäisi sitoa jo aiemmin todistettuihin matemaattisiin tosiasioihin. Esim. aiemmassa kommentissa nähty sarjakehitelmä-todistus.

Merkitään

x=0,333...

Tällöin

10x= 3,333...

Nyt

10x-x = 3.333... - 0,333..

Eli

9x = 3

Ja

x = 3/9 = 1/3.

Vierailija kirjoitti:

Suurimmalle osalle näyttää tässäkin ketjussa olevan täysin tuntematon päättymättömän desimaaliluvun käsite. Ei sellaista lukua voi koskaan esittää kun vain ja ainoastaan likiarvona. Sellainen luku on esimerkiksi tämä luku 0,9999... joka jatkuu äärettömiin. Mutta luku 1 ei ole likiarvo, vaan se on täsmällinen arvo. Siksi likiarvoinen luku ei ole yhtä kuin täsmällinen arvo.

Väärin. On monia päättymättömiä desimaalilukuja jotka voi esittää täsmällisesti murtolukuna. Ja siihen monet tässä ketjussa esiintyvät todistukset perustuvatkin.

Vierailija kirjoitti:

Otetaan vaikka päättymätön desimaaliluku pii (π). Sen tarkka arvo on vain ja ainoastaan π, kaikki muut ovat likiarvoja.

Miinuspeukuttajat voivat sitten esittää piin täsmällisen arvon. Siihen ei ole kukaan maailmassa vielä pystynyt. Jos älyä siihen on, niin siitä vain se piin tarkka arvo esittämään. Suorituksesta palkintona matematiikan Nobel-palkinto, huikea summa rahaa, mainetta ja kunniaa on varmasti luvassa. Luulisi kannustavan.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurimmalle osalle näyttää tässäkin ketjussa olevan täysin tuntematon päättymättömän desimaaliluvun käsite. Ei sellaista lukua voi koskaan esittää kun vain ja ainoastaan likiarvona. Sellainen luku on esimerkiksi tämä luku 0,9999... joka jatkuu äärettömiin. Mutta luku 1 ei ole likiarvo, vaan se on täsmällinen arvo. Siksi likiarvoinen luku ei ole yhtä kuin täsmällinen arvo.

Väärin. On monia päättymättömiä desimaalilukuja jotka voi esittää täsmällisesti murtolukuna. Ja siihen monet tässä ketjussa esiintyvät todistukset perustuvatkin.

Se on taas toinen asia, jos esitetään murtolukuna.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Tuo on yksinkertaistettu malli, jolla saa todistettua melkein mitä vaan kautta, että x=1.

1 ei ole 0,999..., vaan 1 on 1. Ei ole sen monimutkaisempaa todistaa yhtäkuinmerkin käyttöä vääräksi. Raja-arvolauseessa tuo voisi olla kohtalokastakin ja saada eri tuloksen. Toinen on tilanteessa, jossa yhtälö ei kulje koskaan akseleiden kautta, koska vastakkainen merkki voi tarkoittaa vaikka toista päätä koordinaatistossa.

Mitä oikein selität?

oletettiin, että x=0,999 ja siitä johdettiin tulos, että x=1. Ongelma ratkaistu.

Sijoitapa tuo yhtälöön:

y=e^(1/(x-1))

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurimmalle osalle näyttää tässäkin ketjussa olevan täysin tuntematon päättymättömän desimaaliluvun käsite. Ei sellaista lukua voi koskaan esittää kun vain ja ainoastaan likiarvona. Sellainen luku on esimerkiksi tämä luku 0,9999... joka jatkuu äärettömiin. Mutta luku 1 ei ole likiarvo, vaan se on täsmällinen arvo. Siksi likiarvoinen luku ei ole yhtä kuin täsmällinen arvo.

Väärin. On monia päättymättömiä desimaalilukuja jotka voi esittää täsmällisesti murtolukuna. Ja siihen monet tässä ketjussa esiintyvät todistukset perustuvatkin.

Se on taas toinen asia, jos esitetään murtolukuna.

No ykkönen nyt vaan on murtoluku 1=1/1.

Mielenkiintoinen juttu. Tästä ei taida olla tieteellistä konsensusta, joten jokainen tulkitkoon kontollaan...

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Otetaan vaikka päättymätön desimaaliluku pii (π). Sen tarkka arvo on vain ja ainoastaan π, kaikki muut ovat likiarvoja.

Miinuspeukuttajat voivat sitten esittää piin täsmällisen arvon. Siihen ei ole kukaan maailmassa vielä pystynyt. Jos älyä siihen on, niin siitä vain se piin tarkka arvo esittämään. Suorituksesta palkintona matematiikan Nobel-palkinto, huikea summa rahaa, mainetta ja kunniaa on varmasti luvassa. Luulisi kannustavan.

Matematiikasta ei jaeta nobelia.

Alapeukut liittyvät luultavasti siihen että jatkat väitettä "päättymättömistä desimaaliluvuista" ja mahdottomuudesta esittää niitä täsmällisesti.

Sellaisia lukuja kun nyt sattuu olemaan. On myös tietysti reaalilukuja, joiden desimaalikehitelmä on ääretön, jaksoton ja kaikkea muuta mahdollista epämiellyttävää.

Vierailija kirjoitti:

Mielenkiintoinen juttu. Tästä ei taida olla tieteellistä konsensusta, joten jokainen tulkitkoon kontollaan...

On olemassa konsensus. Lue viesti 27 jossa väite on todistettu täsmällisesti.

Vierailija kirjoitti:

Merkitään

x=0,333...

Tällöin

10x= 3,333...

Nyt

10x-x = 3.333... - 0,333..

Eli

9x = 3

Ja

x = 3/9 = 1/3.

vanha vitsi

jos x = 0.333...

niin 9x  ei ole 3 muuten kuin siinä tapauksessa että 0.999... = 1 (tai oikeastaan 3*0.333... = 1)

monellako eri tavalla tämän saman "todistuksen" pystyy kirjoittamaan?

monellako tavalla normaali ihminen jaksaa sen kirjoittaa ennen kuin kyllästyy?