0.999... = 1

Jos 0,999...=0,999...

Niin silloin 1 ei ole 0,999...

Ihan maalaisjärjellä pääteltävissä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Menee siinä pieleen että jos x=0,999... niin ei voi täsmällisesti väittää että  10x olisi 9,999...., vaan tässä laskenta jo muuttui likiarvoiseksi.

Oletko sitten sitä mieltä, ettet voi sanoa edes 10*0,222... olevan 2,222...?

Ihan samalla tavalla myös 10*0,999... on 9,999...!

Otapa esimerkiksi laskin käteesi. Ei tuossa ole mitään likiarvoa :D

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

 

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Kuitenkin matematiikka perustuu aika pitkälti siihen että sovitaan joitain asioita, esim. numerojärjestelmän toimimisesta ja laskutoimituksista yms. ja lisätään ominaisuuksia niiden päälle tai todistetaan niiden alkuun sovittujen ominaisuuksien avulla muita asioita jne. jne.

Eli loppujen lopuksi kyse on sopimisesta.

Mielestäni on aika huolestuttavaa että nämä matematiikan ammattilaiset sun muut yliopistomatematiikan opiskelijat eivät ole ymmärtäneet siitä omasta alastaan edes moista perusjuttua.

Vierailija kirjoitti:

Eli jos 0,9999... on erisuuri kuin 1, on niiden välillä vähintään 1 toinen reaaliluku,

Ei niiden väliin tarvi mitään mahtua, riittä että ne ovat eri luvut, vaikka vierekkäisiä. 0.999.... on seuraava alaspäin luvusta 1.

Jos puhutaan kokonaisluvuilla, niin onko mielestäsi  silloin kokonaisluku 1 yhtäsuuri kuin 2, koska väliin ei saa muuta kokonaislukua?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

 

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Kuitenkin matematiikka perustuu aika pitkälti siihen että sovitaan joitain asioita, esim. numerojärjestelmän toimimisesta ja laskutoimituksista yms. ja lisätään ominaisuuksia niiden päälle tai todistetaan niiden alkuun sovittujen ominaisuuksien avulla muita asioita jne. jne.

Eli loppujen lopuksi kyse on sopimisesta.

Mielestäni on aika huolestuttavaa että nämä matematiikan ammattilaiset sun muut yliopistomatematiikan opiskelijat eivät ole ymmärtäneet siitä omasta alastaan edes moista perusjuttua.

Tuo vastaus kertoo että et ymmärrä matematiikasta mitään, vaan kuvuttelet että se on vain keksittyjä sääntöjä joita tentataan koulussa matematiikan kokeissa.

Matematiikalla mallinnetaan todellisuutta ja laskujärjestykset ovat loogisia ja ne on päätelty sellaisiksi mitä ovat, jotta ne vastaavat todellisuutta.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Menee siinä pieleen että jos x=0,999... niin ei voi täsmällisesti väittää että  10x olisi 9,999...., vaan tässä laskenta jo muuttui likiarvoiseksi.

 

Oletko sitten sitä mieltä, ettet voi sanoa edes 10*0,222... olevan 2,222...?

Ihan samalla tavalla myös 10*0,999... on 9,999...!

Otapa esimerkiksi laskin käteesi. Ei tuossa ole mitään likiarvoa :D

Paljonko on ääretön plus yksi tai ääretön kertaa kymmennen? Se on edelleen ääretön. Eli kertomalla päättymätöntä lukusarjaa et oikeasti muuta mitään, vaan lisäät kaavaan komponentin, jolla saat aikaan haluamasi väärän vastauksen.

Käytännössä 0.999... = 1, mutta se on kuitenkin todellisuudessa vain likiarvo.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Menee siinä pieleen että jos x=0,999... niin ei voi täsmällisesti väittää että  10x olisi 9,999...., vaan tässä laskenta jo muuttui likiarvoiseksi.

 

Oletko sitten sitä mieltä, ettet voi sanoa edes 10*0,222... olevan 2,222...?

Ihan samalla tavalla myös 10*0,999... on 9,999...!

Otapa esimerkiksi laskin käteesi. Ei tuossa ole mitään likiarvoa :D

voi sanoa, mutta se on likiarovo eikä ehdottoman tarkka vastaavuus.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos 0,9999... on erisuuri kuin 1, on niiden välillä vähintään 1 toinen reaaliluku,

Ei niiden väliin tarvi mitään mahtua, riittä että ne ovat eri luvut, vaikka vierekkäisiä. 0.999.... on seuraava alaspäin luvusta 1.

Jos puhutaan kokonaisluvuilla, niin onko mielestäsi  silloin kokonaisluku 1 yhtäsuuri kuin 2, koska väliin ei saa muuta kokonaislukua?

Reaalilukujen määritelmän mukaan kaksi eri reaalilukua eivät voi olla vierekkäisiä, koska niiden väliin sopii aina ääretön määrä reaalilukuja. Koska 0,999... ja 1 väliin ei voi laittaa reaalilukua, on niiden oltava tällöin määritelmän mukaan sama luku.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

 

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Kuitenkin matematiikka perustuu aika pitkälti siihen että sovitaan joitain asioita, esim. numerojärjestelmän toimimisesta ja laskutoimituksista yms. ja lisätään ominaisuuksia niiden päälle tai todistetaan niiden alkuun sovittujen ominaisuuksien avulla muita asioita jne. jne.

Eli loppujen lopuksi kyse on sopimisesta.

Mielestäni on aika huolestuttavaa että nämä matematiikan ammattilaiset sun muut yliopistomatematiikan opiskelijat eivät ole ymmärtäneet siitä omasta alastaan edes moista perusjuttua.

Käytänteet ovat sopimusasiaa. Ne käytänteet ovat olemassa, jotta voidaan tehdä matematiikkaa. En usko, että löydät matemaatikkoja, jotka ovat sitä mieltä, että matematiikka perustuu pitkälle käytänteille. Jakokulma on erilainen eri paikoissa, (käänteinen) puolalainen notaatio on eri tapa laskea, mutta itse matematiikka on sama, sen on pakkokin olla. Yrityksesi keskustella asian sivusta on harhaanjohtavaa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Eli jos 0,9999... on erisuuri kuin 1, on niiden välillä vähintään 1 toinen reaaliluku,

Ei niiden väliin tarvi mitään mahtua, riittä että ne ovat eri luvut, vaikka vierekkäisiä. 0.999.... on seuraava alaspäin luvusta 1.

Jos puhutaan kokonaisluvuilla, niin onko mielestäsi  silloin kokonaisluku 1 yhtäsuuri kuin 2, koska väliin ei saa muuta kokonaislukua?

Reaalilukujen määritelmän mukaan kaksi eri reaalilukua eivät voi olla vierekkäisiä, koska niiden väliin sopii aina ääretön määrä reaalilukuja. Koska 0,999... ja 1 väliin ei voi laittaa reaalilukua, on niiden oltava tällöin määritelmän mukaan sama luku.

Lisäys, poikkeuksena ovat hyperreaaliluvut, mutta merkintätavan mukaan niistä ei ole nyt ollut kyse ja niiden kohdalla tämän palstan osaaminen loppuukin. Tällöin ifninitesimaalinen luku on nollasta poikkeava ja mahdollistaa tietyllä tavalla noiden lukujen olevan eri lukuja.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

 

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Kuitenkin matematiikka perustuu aika pitkälti siihen että sovitaan joitain asioita, esim. numerojärjestelmän toimimisesta ja laskutoimituksista yms. ja lisätään ominaisuuksia niiden päälle tai todistetaan niiden alkuun sovittujen ominaisuuksien avulla muita asioita jne. jne.

Eli loppujen lopuksi kyse on sopimisesta.

Mielestäni on aika huolestuttavaa että nämä matematiikan ammattilaiset sun muut yliopistomatematiikan opiskelijat eivät ole ymmärtäneet siitä omasta alastaan edes moista perusjuttua.

Kyse on sopimisesta, meidän nykyinen matematiikkamme pohjaa Zermelo-Frenkelin joukko-oppiin lisätyllä valinta-aksioomalla. Siitä voidaan johtaa määritelmillä ja todistuksilla johtaa nämä tulokset. Tässä ei ole mitään uutta saatikka mitään sellaista mitä matemaatikko ei ymmärrä. Pointti tässä nyt vaan on se, että reaalilukujen joukossa, josta tässä nyt puhutaan, otsikon väite pätee.

Voi olla mahdollista, että erilaisilla joukko-opin aksioomilla voisimme luoda joukon jossa väite ei päde. Voithan sitä kutsua reaalilukujen joukoksi, mutta se ei ole se sama reaalilukujen joukko, mistä tässä nyt puhutaan. Joten yhäkään, tässä sun sepustuksessa ei vain ole järkeä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

 

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Kuitenkin matematiikka perustuu aika pitkälti siihen että sovitaan joitain asioita, esim. numerojärjestelmän toimimisesta ja laskutoimituksista yms. ja lisätään ominaisuuksia niiden päälle tai todistetaan niiden alkuun sovittujen ominaisuuksien avulla muita asioita jne. jne.

Eli loppujen lopuksi kyse on sopimisesta.

Mielestäni on aika huolestuttavaa että nämä matematiikan ammattilaiset sun muut yliopistomatematiikan opiskelijat eivät ole ymmärtäneet siitä omasta alastaan edes moista perusjuttua.

Tuo vastaus kertoo että et ymmärrä matematiikasta mitään, vaan kuvuttelet että se on vain keksittyjä sääntöjä joita tentataan koulussa matematiikan kokeissa.

Matematiikalla mallinnetaan todellisuutta ja laskujärjestykset ovat loogisia ja ne on päätelty sellaisiksi mitä ovat, jotta ne vastaavat todellisuutta.

Höpö höpö. Malli on malli ja todellisuus toimii miten toimii ihan siitä mallistasi riippumatta.

Vierailija kirjoitti:

Jos 0,999...=0,999...

Niin silloin 1 ei ole 0,999...

Ihan maalaisjärjellä pääteltävissä.

Tässä tulee jälleen kerran osoitus siitä, että maalaisjärki on roskakäsite. Kun kuulette jonkun käyttävän sitä, niin kohta ovat kädet lompakollanne. Juoskaa pois! Ja nopeasti!

Eli 0.999... todellakin on 1, mutta nuo 10x ja 3x perustuvat todistukset ontuvat.

Lukekaas tästä ysiluokan oppikirjan ekaa kappaletta. Kirjoittajina tohtoristason henkilöitä

http://avoinoppikirja.fi/tiedostot/ylakoulu/matematiikka/avoin_matemati…

Ja tässä vielä Jyväskylän yliopiston teoriaa sieltä löytyy 0,999...=1

http://www.math.jyu.fi/matpo/kirja/rfa/index-14.html

käyttäjä-11339 kirjoitti:

Tuo määritelmällisesti menee täsmälleen esitetyn mukaan, eli 0,999...=1. Laitan tähän viestiin tuohon todelliseen ongelmaan liittyvän selvitykseni, seuraavaan otan kantaa tuohon etusivun triviaaliin "todistukseen".

Kuten tuossa esitetyssä exponenttikaavassa, on käytännön tilanteissa päätettävä toisella tavalla. Jännitystilan kuvaaja murtumistilanteessa noudattaa jotakuinkin kaavaa 1/x. Siitä seuraa joihinkin tilanteisiin sovellettava exponenttifunktio a^1/(x-1). Todellisuudessa kummastakaan suunnasta lim x->1 ei voi kohdata yhtä (kun yhtä lähestytään nollan suunnalta tai kahden suunnalta ja sama taas negatiivisella puolella lähestyttäessä -1:tä).

Jos tarkastellaan määrittelemättömän pientä partikkelia, kuten lujuusopissa ja rakennetaan partikkelien vuorovaikutusketju matemaattisesti, voi raja-arvoilla, eli tässä puhutulla määritelmällä kyse olla siitä, katkeaako vai kestääkö kappale. Tai se voi ratkaista murtumasta syntyvän voiman vaikutussuunnan. Eli katkeamispisteeseen saakka kappale on viimeisen partikkelin kohdalla vaikka äärettömän pienellä voimien erotuksella vielä. Kun kappale on katkennut, se on samantien absoluuttisen katki.

Todellisuudessa aihetta vain sivutaan, koska ääretöntä ei oikeasti rajallisten partikkelien tai kiteiden maailmassa lähestytä. Minusta matemaattisena ongelma silti on olemassa.

No mutta kyllähän sinä toki tiedät ettei käytännön laskuissa, kuten lujuusopissa, mennä koskaan liian lähelle raja-arvoa, vaan pysytään riittävillä varmuuskertoimilla siellä turvallisella puolella.

Matemaattisesti kysymys on toki ratkaistavissa, ja senkin sinä tiedät.

Joku siellä silti insinööriä närästää...

Vierailija kirjoitti:

No mutta kyllähän sinä toki tiedät ettei käytännön laskuissa, kuten lujuusopissa, mennä koskaan liian lähelle raja-arvoa, vaan pysytään riittävillä varmuuskertoimilla siellä turvallisella puolella.

Matemaattisesti kysymys on toki ratkaistavissa, ja senkin sinä tiedät.

Joku siellä silti insinööriä närästää...

Ei närästä mikään. Kiinnostava aihe, kun sen kanssa on ihan konkreettisesti tekemisissä. Lujuusoppi ei ole vain rakenteiden lujuuden laskua kertoimilla, vaurioanalyysissä tarvitaan kertoimettomia täsmällisiä laskuja. Kun tavoiteltu tila on murtuminen esim. paineen vaikutuksesta ja sen tasaisuus eri kohdissa, silloin mahdollisimman tarkan toistettavuuden kannalta se rajan tunteminen on aika olennaista tietoa.

Matemaattisesti tilanne on ratkaistavissa, kun tuntee desimaalijärjestelmän määritelmälliset sudenkuopat. Matemaattisissa kaavoissa niitä raja-arvoja lähestytään aina jostain suunnasta.

Että täälläkin on ollut vääntöä tästä? Euler osoitti jo 250 vuotta sitten, että 0,999... = 1 eikä asiasta tarvitse vääntää enempää. Tämä ei ole mielipidekysymys.

Kaikki päättyvät desimaaliluvut ja kaikki jaksolliset päättymättömät desimaaliluvut ovat rationaalulukuja eli murtolukuja.

0,333... = 1/3 tasan.

0,111... = 1/9 tasan.

0,999... = 1 tasan.

1,999... = 2 tasan.

on se vaan kirjoitti:

Että täälläkin on ollut vääntöä tästä? Euler osoitti jo 250 vuotta sitten, että 0,999... = 1 eikä asiasta tarvitse vääntää enempää. Tämä ei ole mielipidekysymys.

Kaikki päättyvät desimaaliluvut ja kaikki jaksolliset päättymättömät desimaaliluvut ovat rationaalulukuja eli murtolukuja.

0,333... = 1/3 tasan.

0,111... = 1/9 tasan.

0,999... = 1 tasan.

1,999... = 2 tasan.

Tuo on erittäin havainnollinen esimerkki. Kertoo ilmeisesti jotain ihmisen aivojen ajattelun rakenteesta että jokaisen on helppo hahmottaa että 0,333... on tasan 1/3  eikä vain lähesty sitä mutta että myös 0,999... on tasan 1 ei meinaa millään käydä järkeen.