0.999... = 1

Toinen esitystapa tuosta potenssista todistuksessasi on tällä palstalla hankalammin kirjoitettava:

Todistuksen kaavaan 10x=9+x sijoittamalla saadaan väite:

10*(1-1/ääretön)=9+1-1/ääretön

10-10/ääretön = 10-1/ääretön,

Sovitun äärettömän laskusäännön mukaan se pitää paikkaansa, kuten ilmaisit. 10/ääretön = 1/ääretön. Totuus on, että äärettömän pienessä pyöristetään äärettömän pieni kymmenen kertaa isomman kanssa samaksi.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Koska jos

x = 0,999...

10x = 9,999...

10x = 9+ 0,999...

10x = 9 + x

9x = 9

näin ollen x = 1

Kyse ei ole pyöristämisestä, koittakaa jo ymmärtää.

Tuota kutsutaan kehäpäätelmäksi koska laskusi ei päde jos 0,999... ei ole 1

Kehäpäätelmää nyt ei oikein voi soveltaa matematiikkaan.

Olettaman mukaan laskettuna totta, mutta olettama ei ole totta, joten väite on epätosi.

x = 0,555...

10x = 5,555...

10x = 5+ 0,555...

10x = 5 + x

9x = 5

näin ollen x = 0,5    Eli 0,5=0,555... ,  jolloin 1=1,111...

Vierailija kirjoitti:

Kyllä opettajan pitäisi tietää, että lähtökohtana merkitä 1/3=0.333... vastaa samaa  kuin käyttää lähtökohtana 0.999.. = 1

On äärin väittää että 1/3=0.333... tai että 1=0.999..., koska se ei ole, vaan kyse on likiarvosta.

Vierailija kirjoitti:

Menet metsään jo vaiheessa 0,999...^ääretön. Ääretön ei ole reaaliluku, joten sitä ei voi laskutoimituksissa käyttää kuten lukua ( esim. 2+2=4, mutta ääretön+ääretön=ääretön, tai esim. ääretön-ääretön ei ole edes määritelty)

Mutta näin lukion opettajana, minullahan menee pohja koko opetukselta, jos vaikka tuon 1/3=0,333... totuusarvoa epäillään. Mitähän muuta olen viimeiset 15 opettanut väärin?

Edelleen kannusta epäilijöitä tutkimaan lukion ykköskurssin oppikirjaa. Desimaaliluvun muunto murtoluvuksi löytyy monesta kirjasta ensimmäisestä kappaleesta. Mutta väärinhän se sinne on kirjattu :(

0.999... on irrationaaliluku ja 1 on rationaaliluku, irrotaniaalikue ei ole tationaaliluku joten 1 on erisuuri kuin 0.999...

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kyllä opettajan pitäisi tietää, että lähtökohtana merkitä 1/3=0.333... vastaa samaa  kuin käyttää lähtökohtana 0.999.. = 1

On äärin väittää että 1/3=0.333... tai että 1=0.999..., koska se ei ole, vaan kyse on likiarvosta.

Mistä lähtien muuten lukioissa on opetettu tuota merkintää että 0.999... tarkoittaa äärettömän pitkää lukujonoa jonka lisäksi voi pyöristää tarkkaan arvoon?

Meillä lähinnä opetettiin että tarkka-arvo on 1/3 ja siitä otetaan riittävän pitkä likiarvo 0.33333jne laskutoimitusta varten.

Muistan että meillä oltiin tarkkoja siitä että desimaaleista ei enää voinut palata tarkkoihin murtolukuihin vaikka sen olisi tiennytkin että joku lasku antaa tulokseksi esim. 1/3 niin se vastaus oli pakko antaa desimaaleina.

Jos taas kysyttiin tarkkoja arvoja niin ne piti erikseen laskea murtolukujen ja neliöjuurten avulla muuttamatta desimaaleiksi välillä.

https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

Voin näyttää esimerkkiä.

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

Ja sama toisella arvolla:

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Ongelma ei ole siinä että noita yksinkertaisia lausekkeita ei osattaisi laskea vaan siinä että tuota asiaa ei voi matemaattisesti todistaa tuolla tavalla.

Vaikka et matematiikkaa ymmärtäisi niin mieti vaikka sen kautta että jos sen todistamiseen riittäisi tuo yksinkertainen lausepyöritys niin matemaatikot eivät käyttäisi aikaa ja vaivaa kehittämällä monimutkaisempia todistuksia. Matemaatikko tykkää yksinkertaisista lausekkeista enemmän kuin monimutkaisista.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Ongelma ei ole siinä että noita yksinkertaisia lausekkeita ei osattaisi laskea vaan siinä että tuota asiaa ei voi matemaattisesti todistaa tuolla tavalla.

Vaikka et matematiikkaa ymmärtäisi niin mieti vaikka sen kautta että jos sen todistamiseen riittäisi tuo yksinkertainen lausepyöritys niin matemaatikot eivät käyttäisi aikaa ja vaivaa kehittämällä monimutkaisempia todistuksia. Matemaatikko tykkää yksinkertaisista lausekkeista enemmän kuin monimutkaisista.

Tarkoitinkin tällä, ettei kyse ole mistään kehäpäätelmästä. Kun ensimmäinen esimerkki päätyy tulokseen 0,222... niin miksei toinenkin antaisi samalla tavalla vastaukseksi 0,999...? Oletko siis sitä mieltä, että 0,999...<1?

Vierailija kirjoitti:

Tämä on siitä viihdyttävä keskustelu, että täällä selvästi on ihmisiä, jotka osaavat matematiikkaa hyvin (luultavasti ovat opiskelleet sitä yliopistossa ainakin sivuainekokonaisuuden) ja sitten niitä, jotka ilmeisesti eivät tiedä matematiikasta mitään, mutta haluavat silti ottaa kantaa. Ja esimerkiksi kommentoijan 39 viestiä en tajunnut ollenkaan - ja mun maisterintutkinnon pääaine oli matematiikka.

Tuon tietämiseen ja ymmärtämiseen riittää ihan lukion pitkä matematiikka. Joko joku trollaa tai sitten on vain jääräpäisiä ihmisiä.

Vierailija kirjoitti:

Menet metsään jo vaiheessa 0,999...^ääretön. Ääretön ei ole reaaliluku, joten sitä ei voi laskutoimituksissa käyttää kuten lukua ( esim. 2+2=4, mutta ääretön+ääretön=ääretön, tai esim. ääretön-ääretön ei ole edes määritelty)

Mutta näin lukion opettajana, minullahan menee pohja koko opetukselta, jos vaikka tuon 1/3=0,333... totuusarvoa epäillään. Mitähän muuta olen viimeiset 15 opettanut väärin?

Edelleen kannusta epäilijöitä tutkimaan lukion ykköskurssin oppikirjaa. Desimaaliluvun muunto murtoluvuksi löytyy monesta kirjasta ensimmäisestä kappaleesta. Mutta väärinhän se sinne on kirjattu :(

Salaliitto??

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Ongelma ei ole siinä että noita yksinkertaisia lausekkeita ei osattaisi laskea vaan siinä että tuota asiaa ei voi matemaattisesti todistaa tuolla tavalla.

Vaikka et matematiikkaa ymmärtäisi niin mieti vaikka sen kautta että jos sen todistamiseen riittäisi tuo yksinkertainen lausepyöritys niin matemaatikot eivät käyttäisi aikaa ja vaivaa kehittämällä monimutkaisempia todistuksia. Matemaatikko tykkää yksinkertaisista lausekkeista enemmän kuin monimutkaisista.

Kai se on tähänkin vielä pakko palata. Tämähän on se juttu. Väite on totta, mutta tuo todistus ei ole matemaattisesti vedenpitävä. Esittämäni sarjakehitelmä todistus on vedenpitävä, mikäli hyväksyy, että kun sarja suppenee jotain lukua kohti, on kyseinen luku sarjan summa ja että geometrinen sarja suppenee kun olen esittänyt sen suppenevan. Käytännössä, jos et näitä hyväksy, voit heittää aika paljon modernista analyysistä samalla roskakoriin, joten en nyt ymmärrä miksi sitä ei hyväksyisi.

Liitän  tähän nyt vielä hieman motivointia, että MIKSI asian tulee olla näin. Tämä ei millään muotoa ole todistus, mutta tämän tulisi vähän avata kysymystä:

Olkoon a ja b reaalilukuja, siten että a < b, todistetaan että kahden erisuuren reaaliluvun välillä on vähintään yksi reaaliluku joka on erisuuri kuin a ja b.

Vastaoletus: (a +b)/2 ei  kuulu välille [a, b], eli (a +b)/2 on joko suurempi kuin b tai pienempi kuin a.

Tapaus 1: (a+b)/2 > b =>a+b > 2b =>a>b mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.

Tapaus 2: (a+b)/2 <a => a+b < 2a => b< a mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.

Eli jos 0,9999... on erisuuri kuin 1, on niiden välillä vähintään 1 toinen reaaliluku,

0,99999...+c, kun c on positiivinen, kyllin pieni reaaliluku. Kun lasketaan 0,9999...+c:n arvoa, esimerkiksi allekkain, huomataan että perusaritmetiikalla tästä tulee vähintään 1, 0000....9999... joka on varmasti isompi kuin 1. Eli väite että 0,9999 != 1 on ristiriitainen, ihan jo meidän perusaritmetiikka käsityksen kanssa.

Vierailija kirjoitti:

x = 0,555...

10x = 5,555...

10x = 5+ 0,555...

10x = 5 + x

9x = 5

näin ollen x = 0,5    Eli 0,5=0,555... ,  jolloin 1=1,111...

 

 

Hyvä yritys, mutta ei mennyt nyt ihan putkeen. Kohdan 9x=5 jälkeen toteat x olevan 0.5 vaikka 5/9 on 0.555, eli x=0.555, jolloin 0.555=0,555.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Se on määrittelykysymys. Jos määritellään että 0.9999... = 1 niin sitten se on näin.

Voi tietty väitellä että pitäisikö olla ja miksi pitäisi mutta se on eri asia.

Wikistä:

Although the real numbers form an extremely useful number system, the decision to interpret the notation "0.999..." as naming a real number is ultimately a convention, and Timothy Gowers argues in Mathematics: A Very Short Introduction that the resulting identity 0.999... = 1 is a convention as well.

Selitys toki jatkuu pidemmälle kuin jaksan lainata.

Miten tarkoitushakuisesti lainattu. Tästä saa kuvan, että se tukee tuota typerää väitettä, vaikka kyse on lähinnä siitä, että se "määrittelykysymys" on samanlainen kuin se, että meillä on numerot järjestyksessä 0123456789. Ne voisivat olla vaikka 5463728109, eli 5=0, 4=1, 6=2 tai että binäärinä tuo ei toimi yms.. Tuokin wikin selitys sanoo, että 0,999...=1.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Suurimmalle osalle näyttää tässäkin ketjussa olevan täysin tuntematon päättymättömän desimaaliluvun käsite. Ei sellaista lukua voi koskaan esittää kun vain ja ainoastaan likiarvona. Sellainen luku on esimerkiksi tämä luku 0,9999... joka jatkuu äärettömiin. Mutta luku 1 ei ole likiarvo, vaan se on täsmällinen arvo. Siksi likiarvoinen luku ei ole yhtä kuin täsmällinen arvo.

Väärin. On monia päättymättömiä desimaalilukuja jotka voi esittää täsmällisesti murtolukuna. Ja siihen monet tässä ketjussa esiintyvät todistukset perustuvatkin.

Se on taas toinen asia, jos esitetään murtolukuna.

Ei ole. kyse on erilaisesta merkintätavasta, mutta itse asia, luku on sama.

Vierailija kirjoitti:

Kyllä opettajan pitäisi tietää, että lähtökohtana merkitä 1/3=0.333... vastaa samaa  kuin käyttää lähtökohtana 0.999.. = 1

Asian sivusta, osa keskustelijoista (tai yksi?) näyttää merkitsevän desimaalipilkun pisteellä. Onko tässä asiassa tapahtunut joku muutos viime aikoina, vai miksi noin?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kyllä opettajan pitäisi tietää, että lähtökohtana merkitä 1/3=0.333... vastaa samaa  kuin käyttää lähtökohtana 0.999.. = 1

Asian sivusta, osa keskustelijoista (tai yksi?) näyttää merkitsevän desimaalipilkun pisteellä. Onko tässä asiassa tapahtunut joku muutos viime aikoina, vai miksi noin?

Kuten hyvin kaikki tietää, niin englantilaiset merkitsee sen pisteellä. Joten asia jää päälle.

Vierailija kirjoitti:

Te jotka väitätte yhtälöä x=0,999... kehäpäätelmäksi tai muuten ette usko 0,999...=1,

ettekö osaa ratkaista yhtälöä? Sitähän harjoiteltiin peruskoulun 9. luokalla.

Kokeilkaapa samaa keinoa x=0,222... ja x=0,999... ja kokekaa valaistuminen ;)

 

Voin näyttää esimerkkiä.

 

x=0,222...        (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=2,222...  (vähennetään 0,222... eli 1x)

9x=2                  (jaetaan 9:llä)

x=0,222...

 

Ja sama toisella arvolla:

 

x=0,999...       (kerrotaan molemmat puolet 10:llä)

10x=9,999... (vähennetään 0,999... eli 1x)

9x=9                 (jaetaan 9:llä)

x=1

 

 

Joko uskotte?

Minäkään en ole lukenut kuin lukion lyhyen matikan ja muutamia pitkänmatikan kursseja, joten en ymmärrä noita pidempiä ja vaikeampia selityksiä. Tämä on kuitenkin jokaiselle opetettua peruskauraa.

Menee siinä pieleen että jos x=0,999... niin ei voi täsmällisesti väittää että  10x olisi 9,999...., vaan tässä laskenta jo muuttui likiarvoiseksi.