Kumpi on suurempi: 0.9999... vai 1

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Murtoluku 1/3 on desimaaliluvulla merkittynä 0,333...

Virhe on jo silloin tehty ja siirrytty likiarvoilla laskemiseen.

Ei se ole likiarvo. 1/3 = 0,333... ihan tarkalleen.

Määritelmäkysymys. Jos uskot tuon määritelmän niin silloin et tarvitse mitään kolmasosia sen todistamiseen että 0.999.. on 1, jos et niin millään määrällä osiin jakamista se ei sen oikeammaksi muutu koska aina palataan siihen samaan määritelmään jonka mukaan päättymätön desimaalisarja onkin hieman enemmän ja toisin kuin muinoin koulussa opetettiin 1/3 = 0.333.. = 1/3

Sophitia S kirjoitti:

https://qntm.org/pointnine

Okei, nyt uskon että 0,9999...= 1, mutta kyllähän peruskoulumatematiikalla on ihan ymmärrettävää olettaa, että 0,9999...< 1 tai että 1 on 0,9999...:n likiarvo.

Matemaattisina neroina itseään pitävien on ihan turha dissata meitä normaaleita siitä, ettemme ole oma-aloitteisesti  laajentaneet tietämystämme tällaisten harvemmin eteen osuvien yksityiskohtien suhteen. 

(keskustelun avannut kysymys tietysti on ihan eri luokan ongelma :D)

Ensimmäisen asteen yhtälöt kuuluvat peruskoulumatematiikkaan.

Vastaa desimaalilukuina:

A) Paljonko on 1 jaettuna kolmella?

B) Paljonko on 0,999... jaettuna kolmella?

Jos 1 ja 0,999... olisivat eri suuret, noihin kysymyksiin pitäisi olla eri vastaukset.

Kyseessä on raja-arvo, luvun 0.999... raja-arvo on 1, mutta itse luku ei koskaan saavuta arvoa 1. Samaten 1/3 on tarkka luku, rationaaliluku, mutta 0.333... ei ole yhtä suuri kuin 1/3, vaan tuon 1/3 raja-arvo. Äärettömällä ei voi operoida kuten luvuilla, ei voi laskea esim. ääretön miinus ääretön on nolla tai sellaista lukua ei olekaan kuin ääretön miinus yksi esimerkiksi. Raja-arvoihin tutustuessa kannattaa tutustua mainioon matemaattiseen paradoksiin akilles ja kilpikonna, josta antiikin filosofit väittelivät äänensä käheäksi. Raja-arvoista päästään sitten infinitesimaalilaskentaan, johon kannattaa perehtyä jos matematiikkaa haluaa soveltaa käytännössä, siis differentiaalilaskentaan ja integraalilaskentaa kuten infinitesimaalilaskentaa nykyisin nimitetään yleensä. Raja arvo antaa differentiaali eli äärettömän pienen muutoksen eli hetkellisen muutoksen funktiota. Eli delta Y / delta X on dy/dx kun x lähenee nollaa raja-arvona (X limes 0) eli äärettömän pieni muutos funktioille X akselilla antaa hetkellisen muutoksen arvon eli dy/dx eli differentiaali (hetkellisen muutoksen suomeksi siis). Monet matematiikan kaavat esim. geometriasta, vaikkapa ympyrän pinta-alan kaavan voi johtaa differentiaalilaskennalla itse jo lukion pitkällä matematiikalla, yliopistoa tematiikka siihen ei tarvita. Samaten fysiikan monet kaavat (esim. nopeus) voi johtaa itse differentiaalilaskennalla ihan lukiomatematiikalla. Funktion differentiaali on keskeinen käsite derivaatan määritelmässä. Moni lukiolainenkin etenkin lyhyellä matematiikalla derivoi sääntöjen mukaan ymmärtämättä mistä oikeastaan on kyse, derivointisäännöt voidaan johtaa ja taulukkokirjasta ne siten katsoa, esim. D X^2 = 2X jne. ja sujuvan se derivointi kyllä sääntöjen mukaan yksinkertaisesti mutta usein tajuamatta oikeastaan kunnolla mistä siinä on kyse. Funktion differentiaalista löytyy netistä vaikkapa Wikipediasta hyvä esitys jos haluaa kerrata matematiikkaa.

Siis väitätkö, että 0.333... on vähemmän kuin 1/3?

av:n matematiikkaketjut paljastavat ihmisten typerryttävän typeryyden. Tässä nimenomaisessa tapauksessa totuus on, että

0,999... = 1

Niin vaan tullaan väittämään kaikkea p*sk**. Ei vaivauduta ottamaan asioita selville, vaikka tietoa löytyisi todella helposti.

Kyllä minullakin on vaikeuksia tämän hahmottamisessa, vaikka matemaattista ainetta yliopistossa opiskelenkin. Luulen, että se tulee siitä, että tuo 9,999... on kuitenkin mielessäni aina 0,00...001 päässä 1:stä, eli ei tasan yksi. Ei se ole välttämättä ollenkaan helppo kaikille ymmärtää, eikä pitäisi olla heti ihmisiä lyttäämässä ja kiusaamassa siitä. Olen kyllä lukenut läpi kaikki todistukset tuolle ja uskon niitä, mutta en voi sille mitään, että jotenkin en sitä suostu sisäistämään.

Urpot, äärettömyyttä ei ole. Tarkkoja arvoja ei ole. Ne on matemaatikkojen keksimiä satuja jotka ei kestä kriittistä tarkastelua.

Kyllä. 0.333... on aina pienempi kuin 1/3 ja 3 x 0.333... on aina pienempi kuin 1.

3 x 1/3 on tasan 1.

Vierailija kirjoitti:

Kyllä. 0.333... on aina pienempi kuin 1/3 ja 3 x 0.333... on aina pienempi kuin 1.

3 x 1/3 on tasan 1.

Onko 0,666... suurempi (tai pienempi) kuin 2/3?

Älkää uskoko kaikkea mitä internetissä kerrotaan. 0,999... ei ole sama kuin 1 ja sillä sipuli!