Selittäisikö joku tyhmälle mahdollisimman yksinkertaisesti mitä tarkoittavat integrointi ja derivointi?

Käytännön esimerkki derivoinnista:

Pitäisi valmistaa litran tölkki niin että siihen tarvitaan mahdollisimman vähän pahvia.

Pohjimmiltaan derivointi on pluslaskua.

Derivointi on erotusosamäärän laskemista. Miinuslasku on pluslaskua, jakolasku on kertolaskua ja kertolasku pluslaskua.

Esimerkiksi... Integroimalla voidaan laskea paljonko kuljit, jos etenit määrätyn aikaa tunnetulla nopeudella, vaikka se nopeus ei olisi ollut vakio (olemattoman pienten osien summa). Jos taas sijaintisi saatiin (jollain ihmeellä) kirjattua ylös matkan jokaisella hetkellä, voidaan siitä derivoimalla laskea mikä oli nopeutesi millä tahansa hetkellä (olemattoman pienten osien jakolasku).

Kun noita ei ole vuosikymmeniin tarvinnut eli ei kertaakaan sen viimeisen matematiikan kokeen jälkeen, jossa noita kysyttiin, niin on päässyt unohtumaan. Minun ongelmani matematiikassa oli aina se, että minun piti ymmärtää asia enkä oppinut kaavoja ulkoa. Ehkä nämäkin jäivät oppimatta, vaan eipä siitä ole mitään haittaa ollut. 

Mutta kysykääpä prosenttilaskuja!

Heitetään esimerkiksi moukari kauas pois. Jossain pisteessä se käväisee kaikista korkeammalla. Se ei silloin nouse (positiivinen kulmakerroin) eikä laske (neg.kk.) vaan kulmakerroin on tasan nolla. Derivoimalla saadaan tietää tämä kohta X-akselilla. Y-akseli eli korkeus saadaan sijoittamalla tämä x:n arvo johonkin moukarinheittokaavaan (Y=X^2+jotain jotain esimerkiksi).

23/25 on oikeilla jäljillä. Pinta-alasta puhuminen ei selitä integraalia kovinkaan hyvin, sillä funktion kuvaajan ja riippumattoman muuttujan akselin väliin jäävä pinta-ala on integraalin geometrinen tulkinta. 

Kannattaa huomata että derivaatta antaa jonkun käyrän kulmakertoimen (kasvunopeuden) sen käyrän jokaisessa pisteessä. Esim. suoralle y=2x, sen derivaatta on 2, ja se on sama suoran jokaisessa pisteessä. Jos meillä on vaikka paraabeli y=x^2, niin sen derivaatta on 2x, eli se muuttuu jokaisessa pisteessä, ei pysy vakiona.

Voimme esim kysyä missä pisteessä paraabelin y=x^2 kasvunopeus on 1, ratkaisemalla yhtälön 2x=1, ja siis x = 1/2. Vastaavasti origossa paraabelin y=x^2 kasvunopeus on 0.

Ollaanko samalla yliopistokurssilla.

Kertokaa lisää esimerkkejä omin sanoin jos jaksatte, helpompi tajuta käytännön selostuksista (27vastauksen lasken tähän)

Vastaukset yllä  viittaavat vain yhden muuttujan reaaliarvoisiin funktioihin. Yleisemmässä tapauksessa asiaa ei oikein voi vääntää rautalangasta.  Hieman yleisemmin derivoituvan funktion  Rn -> R  (Rn =  n-ulotteinen reaaliavaruus)  derivaattafunktio on kuvaus Rn:ltä  -> Rn:n lineaarifunktioiden joukolle.  Jos esimerkiksi f(x,y)->R kuvaa maanpinnan korkeutta, niin funktion derivaatta pisteessä (x1,y1) kuvaa maanpinnan tangenttitasoa tässä pisteessä ja vastaavasti derivaattafunktio f'(x,y) saa arvokseen näitä tasojen yhtälöitä.