Matikkaosaajat!! apua kaivataan

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:12"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:54"] 

Ja fiksummin olisin toki voinut ilmaista itseäni..

0,999...+ 0,111...=1

1+0,111...=1,111... Tämä on mielestäni yli 10% enemmän kuin 1. Joten miten 0,999... voisi olla 1?

[/quote]

0,9999.... + 0,11111 ei ole 1.

Laskepa vaikka allekkain:

0 , 9 9 9 9 9 9 .....
0 , 1 1 1 1 1 1 .....
--------------------
1 , 1 1 1 1 1 1 ..... jakso 1

Jokaisen 9+1 laskun oikealla puolella on uusi 9+1 lasku (niitähän on äärettömästi), joten 9+1 tulee lisää 1, kun edellisestä tuli yli kymmenen ja ykkönen tuli muistiin.

Jos luvut katkaistaan jossain vaiheessa esim. 0,9999 + 0,1111, niin silloinkin tulee yli 1, eli 1,1111

Eli tuossakin tapauksessa 0,99999.... voi korvata 1:llä.

[/quote]

0,9999 + 0,1111 = 1,111, tarkoitin....

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:14"]

Tätä en kyllä nyt niele. Tuolla tavalla se toki näyttää olevan tosi, mutta jos muutat nuo luvuiksi:

x = 0,999... ||*10

10x = 9,999... (Mutta tässä: 10X = 10*0,999... eli 9,999...) Siis:

9,999... = 9,999...

Esittämäsi todiste on mielestäni yksi ns. silmänkääntötempuista. Se ei mielestäni todista mitään, olivatpa matemaatikot mitä mieltä tahansa.

-12-

[/quote]

Ainahan nuo todistukset ovat kikkailua, mutta tuo on tosi: kumpikin puoli pysyy koko ajan yhtä suurena. Voit kokeilla: sijoita x tilalle mikä tahansa luku ;) Ja tietenkään ei tarvitse hyväksyä matematiikan sääntöjä, jos siltä tuntuu :D Matematiikka on täydellistä ja se vaikuttaa siihen, että 0,999... on oltava 1

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:17"]

Niin, siksi otinkin tuon esimerkin, jonka kirjoitin kohdassa 14. 

-12-

[/quote]

Mikä esimerkki on kohdassa 14?
Jos tarkoitat sitä, että vaikka 0,333... = 3/9 ja 0,555... = 5/9, niin 0,999... ei voi olla 9/9, koska 0,999... ei ole 1.

Sitähän tässä sinulle on jo moneen otteeseen todistettu, että 0,999... = 1, kunhan niitä 9:jä on äärettömästi.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:17"]

Niin, siksi otinkin tuon esimerkin, jonka kirjoitin kohdassa 14. 

-12-

[/quote]

Mikä esimerkki on kohdassa 14?
Jos tarkoitat sitä, että vaikka 0,333... = 3/9 ja 0,555... = 5/9, niin 0,999... ei voi olla 9/9, koska 0,999... ei ole 1.

Sitähän tässä sinulle on jo moneen otteeseen todistettu, että 0,999... = 1, kunhan niitä 9:jä on äärettömästi.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:26"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:14"]

Tätä en kyllä nyt niele. Tuolla tavalla se toki näyttää olevan tosi, mutta jos muutat nuo luvuiksi:

x = 0,999... ||*10

10x = 9,999... (Mutta tässä: 10X = 10*0,999... eli 9,999...) Siis:

9,999... = 9,999...

Esittämäsi todiste on mielestäni yksi ns. silmänkääntötempuista. Se ei mielestäni todista mitään, olivatpa matemaatikot mitä mieltä tahansa.

-12-

[/quote]

Ainahan nuo todistukset ovat kikkailua, mutta tuo on tosi: kumpikin puoli pysyy koko ajan yhtä suurena. Voit kokeilla: sijoita x tilalle mikä tahansa luku ;) Ja tietenkään ei tarvitse hyväksyä matematiikan sääntöjä, jos siltä tuntuu :D Matematiikka on täydellistä ja se vaikuttaa siihen, että 0,999... on oltava 1

[/quote]

No en nyt sanoisi, että kikkailua. Tarkoitushakuista erilaisessa muodossa esittämistä toki, mutta arvo/merkitys ei saa muuttua.

Itse asiassa päinvastainen todistaminen pitäisi olla kohtuullisen helppoa. 12:n pitäisi esittää vain yksikin (oikein suoritettu) lasku, jossa 0,9999.... antaa eri tuloksen kuin 1. Sen jälkeen minä uskon, että 0,9999... on eri suuri kuin 1

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:50"]

x = 1234,4321 / 9999 = 12344321 / 99990000

Halukkaat supistakoot...

[/quote]

11111/90000

Onnistuu Excelillä seuraavalla kaavalla:

A1=12344321

B1=99990000

C1=VASEN(TEKSTI(MIN(A1;B1)/SUURIN.YHT.TEKIJÄ(A1;B1);"0000000/0000000");7)

A2=A1/(MIN(A1;B1)/C1)

B2=B1/(MIN(A1;B1)/C1)

Joista A2= 11111 ja B2= 90000

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:47"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:50"]

x = 1234,4321 / 9999 = 12344321 / 99990000

Halukkaat supistakoot...

[/quote]

11111/90000

Onnistuu Excelillä seuraavalla kaavalla:

A1=12344321

B1=99990000

C1=VASEN(TEKSTI(MIN(A1;B1)/SUURIN.YHT.TEKIJÄ(A1;B1);"0000000/0000000");7)

A2=A1/(MIN(A1;B1)/C1)

B2=B1/(MIN(A1;B1)/C1)

Joista A2= 11111 ja B2= 90000

[/quote]

Wow... MatLab ja Mathematica ovat ihan paperia...

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:03"]

0,9999... = 1 samoin kuin 0,33333... = 1/3.

[/quote]

Jos oikein tarkkoja ollaan, niin desimaalilukujono 0,9999... lähenee 1:tä. Eli tuo on oikein kerrottu, mutta täsmällisempi ilmaisu on

raja-arvo x:n lähestyessä ääretöntä ((2x-1)/2)-1=1

jossa funktion saadessa arvot:

f(100)=0.9900

f(1000)=0.9990

f(10000)=0.9999

Toinen "kikkailutodistus" on tämä:

1/9 = 0,11111...   kerrotaan ysillä molemmat puolet

9/9 = 0,9999.....   yhdeksän jaettuna yhdeksällä on 1

1 = 0,99999....

Tämäkään ei varsinaisesti selitä, miksi näin on, mutta ehkä kelpaa silti.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:04"]

Toinen "kikkailutodistus" on tämä:

1/9 = 0,11111...   kerrotaan ysillä molemmat puolet

9/9 = 0,9999.....   yhdeksän jaettuna yhdeksällä on 1

1 = 0,99999....

Tämäkään ei varsinaisesti selitä, miksi näin on, mutta ehkä kelpaa silti.

[/quote]

Tuossa voi heti todeta, että 9/9 = 1 ≠ 0,9999...

ja 1 ≠ 0,9999... vaikka raja-arvo x:n lähestyessä ääretöntä ((2x-1)/2)-1=1 josta seuraa, että 0,9999... = 1

Ei täsmällinen murtoluku mole epätarkka raja-arvo, vaikka raja-arvo voi olla yhtäkuin kokonaisluku. 

Esim vaikka kuinka jaat yhtä lukua kahdella, et koskaan pääse nollaan, vaikka raja-arvo lähenee nollaa.

0,999... on tismalleen yksi. Miten se voi olla näin epäselvää?

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:13"]

Esim vaikka kuinka jaat yhtä lukua kahdella, et koskaan pääse nollaan 

[/quote]

Eli tuo vähän selkokielisemmin. Vaikka kuinka jaat lukua kahdella, aina saat vain puolet luvusta pois. Kun olet riittävän monta kertaa jakanut, luku on hyvin pieni, mutta silti vasta puolen matkan päässä nollasta, ei koskaan perillä.

Jos lähdet kilometriä puolittamaan, pääset ensin puoleen kilometriin, sitten 250 m, 125 m, 62,5 m, 31,25 m, 15,625 m, kymmenen kerran jälkeen olet jo alle metrissä, 17 kerran jälkeen alle senttimetrissä, 20 kerran jälkeen alle millimetrissä jne. Et kuitenkaan pääse koskaan perille ja lopputulos ei siten ole 0.

Kiitos miljoonasti avusta :)

t.ap

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:22"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:13"]

Esim vaikka kuinka jaat yhtä lukua kahdella, et koskaan pääse nollaan 

[/quote]

Eli tuo vähän selkokielisemmin. Vaikka kuinka jaat lukua kahdella, aina saat vain puolet luvusta pois. Kun olet riittävän monta kertaa jakanut, luku on hyvin pieni, mutta silti vasta puolen matkan päässä nollasta, ei koskaan perillä.

Jos lähdet kilometriä puolittamaan, pääset ensin puoleen kilometriin, sitten 250 m, 125 m, 62,5 m, 31,25 m, 15,625 m, kymmenen kerran jälkeen olet jo alle metrissä, 17 kerran jälkeen alle senttimetrissä, 20 kerran jälkeen alle millimetrissä jne. Et kuitenkaan pääse koskaan perille ja lopputulos ei siten ole 0.

[/quote]

Ja tämä höpötys liittyi mihin? Toivon mukaan et tällä perustellut, että 0,999... ja 1 olisivat eri luku ;)

Heurisitiikkaa.

Heuristiikkaa.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:26"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:22"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:13"]

Esim vaikka kuinka jaat yhtä lukua kahdella, et koskaan pääse nollaan 

[/quote]

Eli tuo vähän selkokielisemmin. Vaikka kuinka jaat lukua kahdella, aina saat vain puolet luvusta pois. Kun olet riittävän monta kertaa jakanut, luku on hyvin pieni, mutta silti vasta puolen matkan päässä nollasta, ei koskaan perillä.

Jos lähdet kilometriä puolittamaan, pääset ensin puoleen kilometriin, sitten 250 m, 125 m, 62,5 m, 31,25 m, 15,625 m, kymmenen kerran jälkeen olet jo alle metrissä, 17 kerran jälkeen alle senttimetrissä, 20 kerran jälkeen alle millimetrissä jne. Et kuitenkaan pääse koskaan perille ja lopputulos ei siten ole 0.

[/quote]

Ja tämä höpötys liittyi mihin? Toivon mukaan et tällä perustellut, että 0,999... ja 1 olisivat eri luku ;)

[/quote]

No tuossa oli yritetty vähän yksinkertaisemmilla luvuilla ilmaista sama asia. Jos tavoite on koko matka ja teet aina vain 90% matkasta, olet kulkenut ensin 0,9 matkasta, sen jälkeen 0,99, sitten 0,999 jne. 0,999... lähenee koko matkaa. Vaikka äärettömän kerran menet 90% matkasta, et koskaan tavoita määränpäätä, vaikka joka kerta jää vain hitusen matkasta kulkematta ja äärettömäs kertakin on enää äärettömän vähän matkan päässä periltä, olet silti sen 1/∞ osan päässä perille pääsystä. Vaikka raja-arvo x:n lähestyessä ääretöntä ((2x-1)/2)-1=1 olet oikeasti vielä 1/∞ päässä siitä 1:stä.

1/∞=0, tämähän on ihan määritelty asia.

Eli 0,999... on 1

Jos ne on samoja lukuja niin väliin ei silloin voisi kirjoittaa esim. "suurempi kuin merkkiä", siis  1>0,999,,,  

Täällä ollaan siis sitä mieltä että ylläoleva on väärin ? Ja 1=0,999...  on oikein ?

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 23:43"]

1/∞=0, tämähän on ihan määritelty asia.

Eli 0,999... on 1

[/quote]

Matemaattisesti asian voi esittää, että lukujen lähestyessä ääretöntä niiden saadessa sen äärettömännen arvonsa päästään siihen raja-arvoon. 1/∞=0 ja kun lähestytään 1:tä, äärettömäs arvo on 1. 

Siitä kuitenkin seuraa, että 9/9 =1, mutta 9/9 ei ole 0,999...