Matikkaosaajat!! apua kaivataan

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

Tai 0,3535353535.....

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

Tuo ei ole jaksollinen desimaaliluku, joten sitä ei voi ilmaista murtolukuna.

Olenko oikeassa?

-12-

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:37"]

Tai 0,3535353535.....

[/quote]

Käytät näissä jaksollisissa luvuissa vain sitä 9 jakajana.

Eli 35/99=0,35353535...

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:38"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

Tuo ei ole jaksollinen desimaaliluku, joten sitä ei voi ilmaista murtolukuna.

Olenko oikeassa?

-12-

[/quote]

Et ole. Se on jaksollinen. 0,12345555... jakso 5..

Mutta esim. pi 3,141592653589... ei ole jaksollinen

5 minuutin päästä kerron miten jaksolliset muutetaan murtoluvuiksi.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

merkitään x = 0,123455555.....

tällöin 10000x = 1234,55555555....

Esim. allekkain voidaan laskea edellisten lukujen erotus 10000x - x = 9999x
Desimaalilukuna 1234,4321 , eli ratkaistaan edellisestä x

x = 1234,4321 / 9999 = 12344321 / 99990000

Halukkaat supistakoot...

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:47"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

merkitään x = 0,123455555.....

Niin tietysti, törppö minä :)

Kiitos ap kun sait minut taas lukujen maailmaan. Nautin siitä joskus, nyt vain kaikki tahtoo olla unholassa. Pitäisi kaivaa vanhat lukion kirjat esiin.

-12-

tällöin 10000x = 1234,55555555....

Esim. allekkain voidaan laskea edellisten lukujen erotus 10000x - x = 9999x
Desimaalilukuna 1234,4321 , eli ratkaistaan edellisestä x

x = 1234,4321 / 9999 = 12344321 / 99990000

Halukkaat supistakoot...

[/quote]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Tajusin tuon juuri nettiä vähän selaamalla, en tosin olis muistanut tuota lainkaan!

Mutta tuossa tuleekin mielenkiintoinen ongelma. Mielestäni 0,999... on pienempi kuin 1, mutta 9/9=1.

Mutta miten ilmaiset 0,999... murtolukuna niin, ettei siitä tule 1. Vai todistaako tämä mielestäsi että 0,999... on yhtä suuri kuin 1, vai todistaako se ainoastaan kaavojen soveltumattomuuden jokaisessa tilanteessa?

-12-

[/quote]

Ei ole ongelmaa, koska ne ovat tisalleen sama luku, vaikka merkintätapa eroaisikin.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

1157/9000

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

Ja fiksummin olisin toki voinut ilmaista itseäni..

0,999...+ 0,111...=1

1+0,111...=1,111... Tämä on mielestäni yli 10% enemmän kuin 1. Joten miten 0,999... voisi olla 1?

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:51"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Tajusin tuon juuri nettiä vähän selaamalla, en tosin olis muistanut tuota lainkaan!

Mutta tuossa tuleekin mielenkiintoinen ongelma. Mielestäni 0,999... on pienempi kuin 1, mutta 9/9=1.

Mutta miten ilmaiset 0,999... murtolukuna niin, ettei siitä tule 1. Vai todistaako tämä mielestäsi että 0,999... on yhtä suuri kuin 1, vai todistaako se ainoastaan kaavojen soveltumattomuuden jokaisessa tilanteessa?

-12-

[/quote]

Ei ole ongelmaa, koska ne ovat tisalleen sama luku, vaikka merkintätapa eroaisikin.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

1157/9000

[/quote]

Laskimella meni kyllä tuo 1157/9000 = 0,1285555.....

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

No, et taida löytää reaalimaailmasta yhtäkään konkreettista esmerkkiä äärettömyydestä. Siksi äärettömyyden vertaaminen konkreettisiin asioihin on älytöntä. Matikka on myös ihmisen kehittämää ja se on sisäisesti täysin ristiriidaton (muutenhan sitä ei voisi käyttää työkaluna!)

Todistus, että 0,999...=1

x=0,999... II*10

10x=9,999... II-x

9x=9

X=1

Ja 0,666... ei tietenkään ole 0,667, koska siihen mahtuu ääretön määrä lukuja väliin ;) Ykkösen ja 0,999... väliin ei mene yhtäkään lukua ja ne ovatkin sama luku.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:54"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:51"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Tajusin tuon juuri nettiä vähän selaamalla, en tosin olis muistanut tuota lainkaan!

Mutta tuossa tuleekin mielenkiintoinen ongelma. Mielestäni 0,999... on pienempi kuin 1, mutta 9/9=1.

Mutta miten ilmaiset 0,999... murtolukuna niin, ettei siitä tule 1. Vai todistaako tämä mielestäsi että 0,999... on yhtä suuri kuin 1, vai todistaako se ainoastaan kaavojen soveltumattomuuden jokaisessa tilanteessa?

-12-

[/quote]

Ei ole ongelmaa, koska ne ovat tisalleen sama luku, vaikka merkintätapa eroaisikin.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:36"]

Ja vielä vaikeampi.. Mites lasketaan 0,1234555555...?

[/quote]

1157/9000

[/quote]

Laskimella meni kyllä tuo 1157/9000 = 0,1285555.....

[/quote]

Tiedän kyllä että jotkut matemaatikot ovat sitä mieltä, mutta miten selität tuon, minkä esitin kohdassa 25? En siis sinänsä teilaa "0,999...=1"-oppia, mutta se kohtaa aikamoisia haasteita kun siitä esittää maalaisjärkisiä havaintoja.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

Tuosta mittaamisesta. Mittaustuloksethan ovat tunnetusti aina likiarvoja. Eli tuo kokonaisiin yksiköihin muuttaminen ei auta, koska mikään kappale ei ole koskaan tasan metriä. Joskus metri määriteltiin yhden tietyn pölkyn pituutena, mutta kaikki muut "metrin" pituiset pölkyt ovat tietysti hieman lyhyempiä tai pidempiä kuin mittatikku, kunhan tarpeeksi tarkasti katsoo.

0,999.... on kyllä sama kuin 1, kunhan niitä 9:jä on tosiaankin äärettömästi, eikä luku lopu joskus. Eli kyse on eri asiasta kuin 0,6666... pyöristäminen 0,666666666666667:ään.

0,9999... = 1 samoin kuin 0,33333... = 1/3.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:54"]

Laskimella meni kyllä tuo 1157/9000 = 0,1285555.....

[/quote]

Oho, kävi laskussa joku källi. No, sinne päin :)

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:21"]

Mut mites tosiaan sai laskettua noi päättymättömät desimaaliluvut murtoluvuiksi? Eikö siihen ollut jokin kaava? 

[/quote]

Päättymättömistä numeroista ei aina saa murtolukua, mutta yksinkertaisimmat on nuo 9:llä jaettavat. Geometrian kautta yleisiä on myös 2:n neliöjuuret, joilla lasketaan kulmia, tangenttia, kateettia jne. mutta ne edellyttävät muistamista. Moni päättymätön desimaaliluku ei ole neliöjuurellakaan muunnettavissa tarkaksi murtoluvuksi, vaan vaatii vielä astetta vaikeampaa, esim. pii:

http://upload.wikimedia.org/math/b/b/2/bb2525440fab805b52848bde8a9195da.png

Jonka kuitenkin voi pyöristettynä esittää muodossa 22/7 ≈ 3,142857

hieman tarkempana muodossa 333/106 ≈ 3,141509

tai paria pykälää tarkemmin 355/113 ≈ 3,141529

ja edelleen tarkemmin 52163/16604 ≈ 3,141529387 

tai monien nykylaskinten käyttämällä tarkkuudella 103993/33102 ≈ 3,141592653

jossa viimeisessä epätarkkuus ei näy ennen kymmenettä desimaalia.

Toisin kuin ensimmäinen vastaaja kirjoitti, laventaminen ei muuta murtoluvun tarkkuutta, eikä supistaminenkaan, vaan esimerkiksi 0,05 joka on 5/100 on täsmälleen yhtä tarkka kuin siitä 2:lla lavennettu 10/200 tai 5:llä supistettu 1/20. Samoin 1/2 on yhtä tarkka kuin 50/100 joka olisi sama kuin 50%. Murtolukuja tarvitaan juuri tarkkuutensa takia, niillä saa laskettua mm. ympyrärataa liikkuvien kappaleiden liikkeitä hyvinkin tarkasti ja sen takia mm. trigonometriassa käytetään neliöjuuri kahta usein jakajana. Tietoa ei tarvita pelkästään taivaankappaleiden liikkeen arvioimiseen, vaan aivan päivittäisten asioiden toteutukseen, kuten auton pyörän tasapainottamiseen vaihekulman löytämiseen. Kaikki aaltoliike pohjautuu samaan: puhe ja sen muunto digitaaliseksi, radioaalloiksi muuntaminen jne. Taajuus on värähtelyä tietyllä aikajaksolla, joka on laskettavissa aivan samoilla kaavoilla, kuten sama taajuus tarkoittaisi ympyrän pyörimisnopeutta tai epätasapainoa vaihekulmassa. 

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:54"] 

Ja fiksummin olisin toki voinut ilmaista itseäni..

0,999...+ 0,111...=1

1+0,111...=1,111... Tämä on mielestäni yli 10% enemmän kuin 1. Joten miten 0,999... voisi olla 1?

[/quote]

0,9999.... + 0,11111 ei ole 1.

Laskepa vaikka allekkain:

0 , 9 9 9 9 9 9 .....
0 , 1 1 1 1 1 1 .....
--------------------
1 , 1 1 1 1 1 1 ..... jakso 1

Jokaisen 9+1 laskun oikealla puolella on uusi 9+1 lasku (niitähän on äärettömästi), joten 9+1 tulee lisää 1, kun edellisestä tuli yli kymmenen ja ykkönen tuli muistiin.

Jos luvut katkaistaan jossain vaiheessa esim. 0,9999 + 0,1111, niin silloinkin tulee yli 1, eli 1,1111

Eli tuossakin tapauksessa 0,99999.... voi korvata 1:llä.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:54"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

Ja fiksummin olisin toki voinut ilmaista itseäni..

0,999...+ 0,111...=1

[/quote]

EI, vaan jos vaikka katkaistaan 0,999 + 0,111, saadaan 1,11. Tarkoitit samaa kuin 0,9+0,1=1 ja 0,99+0,001=1 ja 0,0009+0,0001=1 jne, eli että 0,99999....99999...99999... + 0,00000....00000....00000....jossainkaukanalopussa1, joka lisätään tuohon ysiysiysiysisarjan viimeiseen ysiin ja sillä sitten mennään ykköseen. Mutta kun se ysisarja samoin kuin tuo nollasarja on loppumattomia, siellä ei ole mitään viimeistä ysiä. Jos se ysisarja loppuisi, se jäisi vajaaksi ykkösestä ja silloin siihen voisi lisätä vastaavilla desimaaleilla päättyvän desimaaliluvun 0,00000...00001 jolla jokainen ysi kääntyy kymmeneksi ja päästään uudelle kymmenykselle eli ykköseen.

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:59"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

No, et taida löytää reaalimaailmasta yhtäkään konkreettista esmerkkiä äärettömyydestä. Siksi äärettömyyden vertaaminen konkreettisiin asioihin on älytöntä. Matikka on myös ihmisen kehittämää ja se on sisäisesti täysin ristiriidaton (muutenhan sitä ei voisi käyttää työkaluna!)

Todistus, että 0,999...=1

x=0,999... II*10

10x=9,999... II-x

9x=9

X=1

[/quote]

Tätä en kyllä nyt niele. Tuolla tavalla se toki näyttää olevan tosi, mutta jos muutat nuo luvuiksi:

x = 0,999... ||*10

10x = 9,999... (Mutta tässä: 10X = 10*0,999... eli 9,999...) Siis:

9,999... = 9,999...

Esittämäsi todiste on mielestäni yksi ns. silmänkääntötempuista. Se ei mielestäni todista mitään, olivatpa matemaatikot mitä mieltä tahansa.

-12-

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 22:03"]

[quote author="Vierailija" time="04.04.2013 klo 21:48"]

12, 18 ja 19 jatkaa vielä illan mietteitä..

Kouluaikana mietin usein, että voitko löytää esimerkiksi 1 cm suoralta  viivalta sellaista tarkkaa kohtaa, joka olisi 1/3 tuosta 1 cm:stä. Kolmeen osaan katkaisunhan voisi toteuttaa, kun päättäisi tuon suoran pituudeksi esim. 9 yksikköä - silloin voisit katkaista sen 3,0 kohdalta.

Mutta jos mittaat 0,333...cm ja vaikka mikroskoopilla suurennat, et koskaan saa tarkkaa mittaa.

Ja tätä ihan oikeasti mietin usein, että eikö sitä tarkkaa kohtaa mitenkään saa? =)

Nykyään tämä herättää minussa vain sen näkemyksen, että koska 0,666... ei ole sama kuin 0,667, ei myöskään 0,999... voi olla sama kuin 1.

Tätä tukee mielestäni myös yhteenlasku: 0,667+0,333...=1,000333... Ja se on enemmän kuin 1.

[/quote]

Tuosta mittaamisesta. Mittaustuloksethan ovat tunnetusti aina likiarvoja. Eli tuo kokonaisiin yksiköihin muuttaminen ei auta, koska mikään kappale ei ole koskaan tasan metriä. Joskus metri määriteltiin yhden tietyn pölkyn pituutena, mutta kaikki muut "metrin" pituiset pölkyt ovat tietysti hieman lyhyempiä tai pidempiä kuin mittatikku, kunhan tarpeeksi tarkasti katsoo.

0,999.... on kyllä sama kuin 1, kunhan niitä 9:jä on tosiaankin äärettömästi, eikä luku lopu joskus. Eli kyse on eri asiasta kuin 0,6666... pyöristäminen 0,666666666666667:ään.

0,9999... = 1 samoin kuin 0,33333... = 1/3.

[/quote]

Niin, siksi otinkin tuon esimerkin, jonka kirjoitin kohdassa 14.

-12-