Matikkaosaajat!! apua kaivataan

"Ollaanpas sitä suurpirteisiä, kyllä 0,999...<1    miten vaikeeta toi voi olla käsittää ?Kieltämättä ne on todella lähellä toisiaan mutta eihän ne ny oo sama luku."

I don't want to live on this planet anymore.

http://fi.wikipedia.org/wiki/0,999...

Lasketaan geometrisen sarjan 0,9+0,09+0,009+0,0009+... summa.

(Googleta geometrinen sarja). Nyt on a=0,9 ja q=1/10.

Sarja suppenee koska -1
 

Siis 0,999999....=1.

Siis geometrinen sarja suppunee koska -1 < q < 1.

Mua ei hämmennä lainkaan se, että täällä on paljon ihmisiä jotka tietää paljonkin matematiikasta ja fysiikasta ja ohjelmoinnista ja vaikka mistä, mutta mua kyllä hämmentää se, että joku jaksaa yötä myöten vängätä asiasta jonka voisi helposti tarkastaa googlaamalla. Tässä nimenomaisessa ongelmassahan on hyvin tunnettua se, että se usein tuntuu epäintuitiiviselta. Siis se, että 1 todella on sama asia kuin 0,99999999..., eksaktisti eikä vain pyöristäen. Siksi ei ole ihme että tästä syntyy kiivastakin väittelyä, mutta kuitenkin, googlaa jos huomaat käyttäväsi keskellä yötä monta tuntia väittelyyn jostakin matematiikan aiheesta. Et ole varmastikaan eka joka sitä asiaa on joskus pohtinut.

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 18:57"]

Mua ei hämmennä lainkaan se, että täällä on paljon ihmisiä jotka tietää paljonkin matematiikasta ja fysiikasta ja ohjelmoinnista ja vaikka mistä, mutta mua kyllä hämmentää se, että joku jaksaa yötä myöten vängätä asiasta jonka voisi helposti tarkastaa googlaamalla. Tässä nimenomaisessa ongelmassahan on hyvin tunnettua se, että se usein tuntuu epäintuitiiviselta. Siis se, että 1 todella on sama asia kuin 0,99999999..., eksaktisti eikä vain pyöristäen. Siksi ei ole ihme että tästä syntyy kiivastakin väittelyä, mutta kuitenkin, googlaa jos huomaat käyttäväsi keskellä yötä monta tuntia väittelyyn jostakin matematiikan aiheesta. Et ole varmastikaan eka joka sitä asiaa on joskus pohtinut.

[/quote]

Tässä näyttää olleen kahdenlaista erimielisyyttä. Yhdessä joku vain jääräpäisesti perustelematta esittää, että 0,999... ei ole 1. Toisessa hyväksytään, että 0,999...=1, mutta nostetaan esiin, että siitä voi syntyä eroa. Möbius ja Riemann käsittelevät ympyrää tai sylinteriä, joka vastaa tuossa esitettyä akselia. Jos -ääretön ja +ääretön voi saada eri suunnan, tullee se esille liikkuvassa akselissa.

Normaalistihan 1-1/∞ = 1+1/∞=1 joka on juuri täällä käsitelty ongelma, eli 1/0,999...=1=0,999.../1. Möbiuksen transformaatiossa tuo saattaakin osoittaa suunnan matriisille, eli käytännössä vastata täällä esitettyyn toteamukseen. Lienee helpoin todeta kuitenkin, että 1-1/∞ = 1+1/∞=1 on käypää matematiikkaa, ei tuohon kysymykseen törmää, ellei joudu laskemaan pintoja pyörivällä liikkeellä pyöreillä tai vaikka sylinterimäisillä pyörivillä kappaleilla. Samalla tavalla voi varmasti todeta, että mikään ei ole nollalla jaollinen, ellei lähetä laskemaan Riemannin ympyrää...

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere

http://en.wikipedia.org/wiki/Well-behaved

Oleellista tässä on se, että joukko-opin kehitti Georg Cantor vasta 1800-luvun lopulla. Erityisesti aktuaalisten äärettömien joukkojen idea on vasta oikeastaan Cantorilta. Jo antiikin kreikkalaiset käsittelivät potentiaalistä ääretöntä.  

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 20:07"]

Oleellista tässä on se, että joukko-opin kehitti Georg Cantor vasta 1800-luvun lopulla. Erityisesti aktuaalisten äärettömien joukkojen idea on vasta oikeastaan Cantorilta. Jo antiikin kreikkalaiset käsittelivät potentiaalistä ääretöntä.  

[/quote]

Ja Möbius kehitti 1858 yksipintaisen huivin matemaattisen mallin.

möbius huivi

http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_strip

Tuolta muuten löytyy ihan selvällä suomenkielellä:

"Voidaan määritellä laajennettu reaalilukujoukko, johon kuuluvat reaaliluvut, positiivinen ääretön ∞ ja negatiivinen ääretön −∞. Tässä laajennetussa joukossa eivät kuitenkaan päde kaikki reaalilukujen tavalliset laskusäännöt."

http://fi.wikipedia.org/wiki/Äärettömyys

Ja äärettömyyslaskennan (infinitesimal calculus) kehittivät 1660 luvuilla Leibniz ja Newton. 

Mentiinkö täällä av:lla jo sellaiselle tasolle, että av-palstan di:t ja matikanopetkin oppivat uutta?

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 21:24"]

Mentiinkö täällä av:lla jo sellaiselle tasolle, että av-palstan di:t ja matikanopetkin oppivat uutta?

[/quote]

Tuskinpa kuitenkaan...

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 21:24"]

Mentiinkö täällä av:lla jo sellaiselle tasolle, että av-palstan di:t ja matikanopetkin oppivat uutta?

[/quote]

Jotain tästä tarttui. En ole varma mitä mieltä olin keskustelun kuluessa tuosta 1=0,999...:stä, ajattelin sitä aluksi selväksi. On se vieläkin selvä, mutta joissain rajatuissa tilanteissa siitä pitää poiketa.

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 21:53"]

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 21:24"]

Mentiinkö täällä av:lla jo sellaiselle tasolle, että av-palstan di:t ja matikanopetkin oppivat uutta?

[/quote]

Jotain tästä tarttui. En ole varma mitä mieltä olin keskustelun kuluessa tuosta 1=0,999...:stä, ajattelin sitä aluksi selväksi. On se vieläkin selvä, mutta joissain rajatuissa tilanteissa siitä pitää poiketa.

[/quote]

Ihan mielenkiinnosta. Missä tilanteessa 0,999.... ei ole 1?

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 18:57"]

Mua ei hämmennä lainkaan se, että täällä on paljon ihmisiä jotka tietää paljonkin matematiikasta ja fysiikasta ja ohjelmoinnista ja vaikka mistä, mutta mua kyllä hämmentää se, että joku jaksaa yötä myöten vängätä asiasta jonka voisi helposti tarkastaa googlaamalla. Tässä nimenomaisessa ongelmassahan on hyvin tunnettua se, että se usein tuntuu epäintuitiiviselta. Siis se, että 1 todella on sama asia kuin 0,99999999..., eksaktisti eikä vain pyöristäen. Siksi ei ole ihme että tästä syntyy kiivastakin väittelyä, mutta kuitenkin, googlaa jos huomaat käyttäväsi keskellä yötä monta tuntia väittelyyn jostakin matematiikan aiheesta. Et ole varmastikaan eka joka sitä asiaa on joskus pohtinut.

[/quote]

Juu, sehän tässä eniten ihmetytti, että yksiselitteisestä asiasta vängätään. Mutta ei ollut kyllä eka kerta av:lla.

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 22:30"]

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 21:53"]

Jotain tästä tarttui. En ole varma mitä mieltä olin keskustelun kuluessa tuosta 1=0,999...:stä, ajattelin sitä aluksi selväksi. On se vieläkin selvä, mutta joissain rajatuissa tilanteissa siitä pitää poiketa.

[/quote]

Ihan mielenkiinnosta. Missä tilanteessa 0,999.... ei ole 1?

[/quote]

No enpä ajatellut väittäväni, että se ei olisi. Enkä ole ajatellutkaan lähteä vääntämään tästä aiheesta kenenkään kanssa. Kilauta sille Möbiukselle, jos vaikka saisit vastauksen lisäksi huivin.

Itseasiassa jos haluat perustelun, se viestin 52 perustelu oikeastaan käy loogisena perusteluna. Jos menet ääretön kertaa lähelle, mutta et koskaan perille, päädytkö silloin kuitenkin perille, koska toistat sen äärettömän monta kertaa? Suhteellisuuden mukaan se suhteellinen 90% matka on aina vain 90%.

Perjantai-illan ratoksi jostain syystä luin ketjun läpi ja ajattelin lykätä lusikkani soppaan.  Keskustelun rönsyiltyä epämääräiseen tilaan eräs huomasi ongelman epämääräisessä määrittelyssä pienen porsaanreiän ja hyökkäsi.  Veikkaisin että postaajalla on ohjelmointi taustaa koska itsekin voin nähdä tilanteen jossa 1>0,999....   Jos koodaajalle esitetään työaikana kysymys:  Kumpi näistä kahdesta luvusta on suurempi ?, vastaus on 1.  Puuttumatta järjestely(sort)algoritmien välisiin eroihin, ylläolevassa tilanteessa tarkasteltaisiin ensin desimaalipilkun vasenta puolta, toisessa luvussa 1, toisessa 0, 1 on suurempi, lopulla ei ole väliä. 

Matemaattiset sauhuajat ovat tietysti oikeassa myös, tämä poppoo käsitti kysymyksen omista asemistaan, todisteli usealla eri tavalla että sama se.

Nuoruusaikaisista muistilokeroista kaivautuu hatara kuva keskustelusta kuinka monta yksikköä olet valmis pudottamaan siitä viimeisestä ysistä ja silti kutsumaan ykköseksi.

Kuten niin usein av'lla, (melkein)kaikki ovat oikeassa 

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 22:39"]

Itseasiassa jos haluat perustelun, se viestin 52 perustelu oikeastaan käy loogisena perusteluna. Jos menet ääretön kertaa lähelle, mutta et koskaan perille, päädytkö silloin kuitenkin perille, koska toistat sen äärettömän monta kertaa? Suhteellisuuden mukaan se suhteellinen 90% matka on aina vain 90%.

[/quote]

Jos toistat 90% matkan lisäyksen äärettömän monta kertaa, niin pääset perille.

Voit ajatella myös toisinpäin. Otat matkan mittaisen kepin, josta otat päästä 10% pois. Tästä 10% palasta otat taas 10% jne. kunnes sinulla on äärettömän monta palasta. Kun palat laittaa yhteen, tulee kepin pituudeksi alkuperäinen matka, vaikka paloja on äärettömästi.

[quote author="Vierailija" time="05.04.2013 klo 23:24"]

Perjantai-illan ratoksi jostain syystä luin ketjun läpi ja ajattelin lykätä lusikkani soppaan.  Keskustelun rönsyiltyä epämääräiseen tilaan eräs huomasi ongelman epämääräisessä määrittelyssä pienen porsaanreiän ja hyökkäsi.  Veikkaisin että postaajalla on ohjelmointi taustaa koska itsekin voin nähdä tilanteen jossa 1>0,999....   Jos koodaajalle esitetään työaikana kysymys:  Kumpi näistä kahdesta luvusta on suurempi ?, vastaus on 1.  Puuttumatta järjestely(sort)algoritmien välisiin eroihin, ylläolevassa tilanteessa tarkasteltaisiin ensin desimaalipilkun vasenta puolta, toisessa luvussa 1, toisessa 0, 1 on suurempi, lopulla ei ole väliä. 

Matemaattiset sauhuajat ovat tietysti oikeassa myös, tämä poppoo käsitti kysymyksen omista asemistaan, todisteli usealla eri tavalla että sama se.

Nuoruusaikaisista muistilokeroista kaivautuu hatara kuva keskustelusta kuinka monta yksikköä olet valmis pudottamaan siitä viimeisestä ysistä ja silti kutsumaan ykköseksi.

Kuten niin usein av'lla, (melkein)kaikki ovat oikeassa 

[/quote]

Koodaajan sorttausalgoritmi ei kata erikoistapausta (jaksollinen päättymätön desimaaliluku) tuolloin, joten siinä on bugi. Ihan samoin, jos koodaajalta kysytään kumpi on isompi 0,333... vai 1/3. Tällöin 1/3 on isompi, kun 0,333... katkeaa joskus.

Äärettömyys on mielenkiintoinen käsite. Potentiaalisesti äärettömäksi voidaan ajatella esimerkiksi lukujonoa 1, 2, 3, 4, 5, .... 

Vielä selvemmin tämä ilmenisi jonon rekursiivisesta määritelmästä, missä ensimmäinenjäsen jäsen on yksi ja aina seuraava jäsen saadaan lisäämällä edeltäjään yksi. Tällä prosessilla saadaan mielivaltaisen suuri luonnollinen luku, muttei kuitenkaan absoluuttisesti ääretöntä.

Cantor taas käsitteli absoluuttisesti äärettömiä joukkoja. Otetaan esimerkiksi positiivisten kokonaislukujen joukko A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Tässä joukossa on ääretön määrä  alkioita.Olkoon joukko B parillisten positiivisten kokonaislukujen joukko, eli B = {2, 4, 6, 8,  10, ...}. Kummassa joukossa on enemmän alkioita. Selkeästi B on A:n aito osajoukko. Mutta on olemassa bijektiivinen kuvaus f: A -> B: f(x) =2x.

Eli kertomalla joukon A alkio luvulla 2 saadaan täsmälleen yksi B:N alkio ja myöskin jokaiselle B:n alkiolle 'löytyy' alkio, joka kerrottuna 2:lla on B:N alkio.

AV-tyyliin mikäli  A:n alkio hakee tanssimaan B:n alkiota siten, että kertoo arvonsa 2:lla A:n alkio saa yhden B:n alkion tanssikaveriksi. Myöskään yksikään B:n alkio ei jää ilman tanssikaveria joukosta A. Alkiota on siis joukoissa A ja B yhtä paljon eli joukot A ja B ovat yhtä mahtavat.Itse asiassa nämä ovat numeroituvia äärettömiä joukkoja.

On olemassa myös suurempia äärettömiä joukkoja joille tälläistä bijektiivitä kuvausta positiivisten kokonaislukujen joukosta ei ole olemass, kuten esimerkiksi reaalilukujen joukko R, R on ylinumeroituva joukko.