Matemaattinen pulma

Laittakaa joku pliis oikea vastaus ja laskukaava, kiitos!

Vierailija kirjoitti:

Laittakaa joku pliis oikea vastaus ja laskukaava, kiitos!

Sehän on jo esitetty tässä ketjussa moneen kertaan: 2^6 = 64, jos sillä on väliä, kumpaan joukkueeseen kukin oppilas tulee. 64 / 2 = 32, jos joukkueella ei ole väliä.

DI

64 on ainoa oikea vastaus. 32 on väärin eikä ole oikea vastaus millään tulkinnalla.

--

Olkoon henkilöt A, a, B, b, C, c, D, d, E, e, F, f niin, että esim. A ja a ovat parit eivätkä voi olla

samassa joukkueessa.

Oletetaan, että ainoa vaatimus on, että pari ei voi olla samassa joukkueessa. Tällöin riittää tarkastella

yhden joukkueen kokoonpanoa, koska loput menevät automaattisesti toiseen joukkueeseen.

Käydään läpi parit niin, että valitaan kustakin parista toinen muodostettavaan joukkueeseen. Tällöin kunkin parin kohdalla on kaksi vaihtoehtoa valita. Koska valintoja tehdään kuusi kertaa, on mahdollisten

joukkueiden määrä 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6 = 64.

Simulaatiotodistus (JavaScript) (Chrome: Ctrl + Shift + I, valitse "Console"-välilehti ja copy-pastea alla oleva koodi):

function randomInt(min, max) { 

  return Math.floor(Math.random() * (max - min + 1) + min);

}

var lowerCaseMembers = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f'];

var upperCaseMembers = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];

function getRandomTeam() {

    var i, selected, team = "";

    for(i = 0; i < 6; i++) {

        if( randomInt(0, 1) == 0 ) {

            team += lowerCaseMembers[i];

        }

        else {

            team += upperCaseMembers[i];

        }

    }

    return team;

}

function findAlternatives() {

    var j, team, alternatives = {};

    for(j = 0; j < 100000; j++) {

        team = getRandomTeam();

        alternatives[team] = true;

    }

    console.log("Alternatives: " + Object.keys(alternatives).length);

}

findAlternatives();

Vierailija kirjoitti:

Merkitään oppilaita kirjaimilla näin: ABCDEFabcdef 

Oppilasparit, jotka eivät kuulu samaan joukkueeseen ovat Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff

Tehdään aluksi jako jossa ensimmäisessä joukkueessa on ABCDEF ja toisessa abcdef

Tästä voidaan muodostaa uusia sallittuja jakoja vaihtamalla saman kirjaimen oppilaita joukkueesta toiseen.

Yhden kirjaimen vaihdolla saadaan 6 uutta jakoa:

(aBCDEF,    Abcdef),(AbCDEF, aBcdef),(ABcDEF, abCdef),(ABCdEF, abcDef),(ABCDeF, abcdEf),

(ABCDEf, abcdeF)

Kahden kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan 15 uutta jakoa, esim:

(abCDEF, ABcdef), (aBcDEF, AbCdef), (aBCdEF, AbcDef), (aBCDeF, AbcdEf), (aBCDEf, AbcdeF)

(AbcDEF, aBCdef), (AbCdEF, aBcDef), (AbCDeF, aBcdEf), (AbCDEf, aBcdeF)

(ABcdEF, abCDef), (ABcDeF, abCdEf), (ABcDEf, abCdef)

(ABCdeF, abcDEf), (ABCdEf, abcDeF)

(ABCDef, abcdEF)

Kolmen kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan samalla periaatteella 20.

Jos vaihdetaan 4, 5 tai 6 kirjainta, saadaan samat jaot kuin aiemmin. 

Näin jakotapoja saadaan 1+6+15+20 = 42

Pohdin tätä aamulla itsekin, ja päädyin samaan ratkaisuun. Oikea vastaus on 42, vaikka täällä kovasti muuta väitetäänkin.

Laskukaava on seuraava:

1+(6!/1!(6-1)!)+(6!/2!(6-2)!)+(6!/3!(6-3)!)

=1+720/120+720/48+720/36

=1+6+15+20

=42

Virhe, mikä tehdään ratkaisussa 32 on se, että noita ”tuplakombinaatioita” on todellisuudessa enemmän kuin 64.

Edellisellä sivulla on kommentti, jossa on lueteltuna 64 eri kirjainyhdistelmää. Aluksi tulee 22 riviä, joissa pieniä kirjaimia on 0, 1 tai 2. Sitten tulee 20 riviä, jossa pieniä ja isoja kirjaimia on molempia 3. Sen jälkeen tulee vielä 22 riviä, joissa isoja kirjaimia on 4, 5 tai 6.

Viimeiset 22 riviä ovat ensimmäisen 22:n rivin kopioita ja toisinpäin. Keskimmäiset 20 riviä ovat kuitenkin kaikki yksilöllisiä. Jos siis lasketaan ensin kaikki kombinaatiot tuplana, niin nuo 20 riviä tulee kertoa kahdella.

Näin saadaan 22+2*20+22=84 riviä, joista kysymyksen tulkinnan mukaan saadaan myös 84:2=42.

43, olet väärässä. Sinun mallissasi joukkueiksi lasketaan esim. a b c d e F ja A B C D E f. Mutta jos ensimmäinen joukkue on a b c d e F, niin silloin toiseen joukkueseen jää A B C D E f. Ja jos taas ensimmäinen joukkue on A B C D E f, niin silloin toiseen joukkueeseen jää a b c d e F. Sama pari siis esiintyy 64 jaossa aina kahdesti niin, että parin joukkueet ovat keskenään eri järjestyksessä. On todellakin tulkintakysymys, pitäisikö tämä pari laskea tulokseen mukaan kerran vai kahdesti.

DI

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Merkitään oppilaita kirjaimilla näin: ABCDEFabcdef 

Oppilasparit, jotka eivät kuulu samaan joukkueeseen ovat Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff

Tehdään aluksi jako jossa ensimmäisessä joukkueessa on ABCDEF ja toisessa abcdef

Tästä voidaan muodostaa uusia sallittuja jakoja vaihtamalla saman kirjaimen oppilaita joukkueesta toiseen.

Yhden kirjaimen vaihdolla saadaan 6 uutta jakoa:

(aBCDEF,    Abcdef),(AbCDEF, aBcdef),(ABcDEF, abCdef),(ABCdEF, abcDef),(ABCDeF, abcdEf),

(ABCDEf, abcdeF)

Kahden kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan 15 uutta jakoa, esim:

(abCDEF, ABcdef), (aBcDEF, AbCdef), (aBCdEF, AbcDef), (aBCDeF, AbcdEf), (aBCDEf, AbcdeF)

(AbcDEF, aBCdef), (AbCdEF, aBcDef), (AbCDeF, aBcdEf), (AbCDEf, aBcdeF)

(ABcdEF, abCDef), (ABcDeF, abCdEf), (ABcDEf, abCdef)

(ABCdeF, abcDEf), (ABCdEf, abcDeF)

(ABCDef, abcdEF)

Kolmen kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan samalla periaatteella 20.

Jos vaihdetaan 4, 5 tai 6 kirjainta, saadaan samat jaot kuin aiemmin. 

Näin jakotapoja saadaan 1+6+15+20 = 42

Pohdin tätä aamulla itsekin, ja päädyin samaan ratkaisuun. Oikea vastaus on 42, vaikka täällä kovasti muuta väitetäänkin.

Laskukaava on seuraava:

1+(6!/1!(6-1)!)+(6!/2!(6-2)!)+(6!/3!(6-3)!)

=1+720/120+720/48+720/36

=1+6+15+20

=42

Virhe, mikä tehdään ratkaisussa 32 on se, että noita ”tuplakombinaatioita” on todellisuudessa enemmän kuin 64.

Edellisellä sivulla on kommentti, jossa on lueteltuna 64 eri kirjainyhdistelmää. Aluksi tulee 22 riviä, joissa pieniä kirjaimia on 0, 1 tai 2. Sitten tulee 20 riviä, jossa pieniä ja isoja kirjaimia on molempia 3. Sen jälkeen tulee vielä 22 riviä, joissa isoja kirjaimia on 4, 5 tai 6.

Viimeiset 22 riviä ovat ensimmäisen 22:n rivin kopioita ja toisinpäin. Keskimmäiset 20 riviä ovat kuitenkin kaikki yksilöllisiä. Jos siis lasketaan ensin kaikki kombinaatiot tuplana, niin nuo 20 riviä tulee kertoa kahdella.

Näin saadaan 22+2*20+22=84 riviä, joista kysymyksen tulkinnan mukaan saadaan myös 84:2=42.

Viestissä 39 on jo selitetty, miksi sinun ratkaisusi on väärin.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Merkitään oppilaita kirjaimilla näin: ABCDEFabcdef 

Oppilasparit, jotka eivät kuulu samaan joukkueeseen ovat Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff

Tehdään aluksi jako jossa ensimmäisessä joukkueessa on ABCDEF ja toisessa abcdef

Tästä voidaan muodostaa uusia sallittuja jakoja vaihtamalla saman kirjaimen oppilaita joukkueesta toiseen.

Yhden kirjaimen vaihdolla saadaan 6 uutta jakoa:

(aBCDEF,    Abcdef),(AbCDEF, aBcdef),(ABcDEF, abCdef),(ABCdEF, abcDef),(ABCDeF, abcdEf),

(ABCDEf, abcdeF)

Kahden kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan 15 uutta jakoa, esim:

(abCDEF, ABcdef), (aBcDEF, AbCdef), (aBCdEF, AbcDef), (aBCDeF, AbcdEf), (aBCDEf, AbcdeF)

(AbcDEF, aBCdef), (AbCdEF, aBcDef), (AbCDeF, aBcdEf), (AbCDEf, aBcdeF)

(ABcdEF, abCDef), (ABcDeF, abCdEf), (ABcDEf, abCdef)

(ABCdeF, abcDEf), (ABCdEf, abcDeF)

(ABCDef, abcdEF)

Kolmen kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan samalla periaatteella 20.

Jos vaihdetaan 4, 5 tai 6 kirjainta, saadaan samat jaot kuin aiemmin. 

Näin jakotapoja saadaan 1+6+15+20 = 42

Pohdin tätä aamulla itsekin, ja päädyin samaan ratkaisuun. Oikea vastaus on 42, vaikka täällä kovasti muuta väitetäänkin.

Laskukaava on seuraava:

1+(6!/1!(6-1)!)+(6!/2!(6-2)!)+(6!/3!(6-3)!)

=1+720/120+720/48+720/36

=1+6+15+20

=42

Virhe, mikä tehdään ratkaisussa 32 on se, että noita ”tuplakombinaatioita” on todellisuudessa enemmän kuin 64.

Edellisellä sivulla on kommentti, jossa on lueteltuna 64 eri kirjainyhdistelmää. Aluksi tulee 22 riviä, joissa pieniä kirjaimia on 0, 1 tai 2. Sitten tulee 20 riviä, jossa pieniä ja isoja kirjaimia on molempia 3. Sen jälkeen tulee vielä 22 riviä, joissa isoja kirjaimia on 4, 5 tai 6.

Viimeiset 22 riviä ovat ensimmäisen 22:n rivin kopioita ja toisinpäin. Keskimmäiset 20 riviä ovat kuitenkin kaikki yksilöllisiä. Jos siis lasketaan ensin kaikki kombinaatiot tuplana, niin nuo 20 riviä tulee kertoa kahdella.

Näin saadaan 22+2*20+22=84 riviä, joista kysymyksen tulkinnan mukaan saadaan myös 84:2=42.

Korjaan: kommentin 22:ssa ensimmäisessä rivissä on siis ISOJA kirjaimia 0, 1 tai 2.

Tämä on jo monta kertaa käyty läpi, mutta kerron miten itse hahmotin tilanteen.

Jokaisen parin kohdalla on kaksi vaihtoehtoa kumpi tulee tiettyyn joukkueeseen, eli 2^6 = 64. Kaikissa näissä 64 vaihtoehdossa on niin, että aina kaksi kokoonpanoa ovat toistensa "peilikuvia", eli näistä kahdesta toisessa "joukkue 1" on samanlainen kuin toisessa "joukkue 2" ja vice versa. Koska tehtävänannossa ei mielestäni mitenkään annettu ymmärtää että olisi sinänsä väliä kumpaan joukkueeseen kukin yksilö päätyy, vaan ainoastaan sillä keiden kanssa on samassa joukkueessa, niin puolet noista 64 vaihtoehdosta voidaan pudottaa pois, eli 64/2 = 32.

Tuo 64 vai 32 on tietenkin vähän tulkintakysymys, mutta mieluummin pitäisin asian yksinkertaisena, valiten vastaukseksi 32, koska mikään kuitenkaan ei viittaa siihen että olisi jo etukäteen päätetty että "joukkue 1" on esimerkiksi tietyllä puolella kenttää tai muitakaan määrääviä asioita, jotka aiheuttaisivat sen, että on väliä sillä päätyykö joukkueeseen "1" vai "2". Näyttää siis siltä että kysymys on vain joukkueiden sisäisestä kokoonpanosta. Yleensäkin on mielestäni parasta olla itse lisäämättä tehtävänantoihin ylimääräisiä oletuksia.

Kombinatoriikkalla seuraavasti:

Ensimmäinen jäsenelle joukkueessa on 12 vaihtoehtoa. Seuraavalle 10, sitä seuraavalle 8 jne. Eli järjestettyjä joukkueita saa 12*10*8*6*4*2 erilaista. Koska järjestyksellä ei ole joukkueessa väliä, niin jaetaan 6!:lla.

Tästä tulee 64 erilaista joukkuetta, eli 32 erilaista jakoa.