Lue keskustelun säännöt.
Matemaattinen pulma
12.12.2019 |
Onko täällä matematiikan lahjakkuuksia?
Tehtävä:
12 oppilasta jaetaan kahteen kuuden hengen joukkueeseen. Jokaisella oppilaalla on pari, jonka kanssa hän ei voi päätyä samaan joukkueeseen. Kuinka monella eri tavalla joukkueet voidaan muodostaa?
Kommentit (49)
Mutta voihan pari vaihtaa päikseen toiseen joukkueeseen, jolloin jako on erilainen. Eikös silloin 6 X6 eri vaihtoehtoa, eli 36?
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Oikea vastaus on yhdellä tavalla, koska oppilaiden määrä on vakio, jolloin ainoastaan erottamalla parit toisistaan, saadaan joukkueet jaettua siten, ettei kukaan ole oman parinsa kanssa samassa joukkueessa. Jos vaihdat yhdenkin oppilaan joukkuetta, hän päätyy parinsa kanssa samaan joukkueeseen.
Sama pätee vaikka oppilaita olisi miljoona tai loputtomasti.
Höpö, höpö. Ajatellaan esimerkin yksinkertaistamiseksi tilannetta, jossa oppilaita on vain neljä: A, B, C ja D. A ja B ovat pareja, ja C ja D ovat pareja. Nyt seuraavat vaihtoehdot ovat mahdollisia:
1. Ekaan joukkueeseen tulee A ja C, tokaan B ja D.
2. Ekaan joukkueeseen tulee A ja D, tokaan B ja C.
3.-4. Edelliset toisinpäin, jos sillä on merkitystä, kumpaan joukkueeseen kukin kuuluu.
Vierailija kirjoitti:
Mutta voihan pari vaihtaa päikseen toiseen joukkueeseen, jolloin jako on erilainen. Eikös silloin 6 X6 eri vaihtoehtoa, eli 36?
Joo, parin voi vaihtaa päikseen, mutta 6x6 on väärä laskutoimitus eri vaihtoehtojen lukumäärän selvittämiseen.
Meneeköhän pahasti metsään, mutta vastaan 22 tavalla? :D En muistanut miten näitä lasketaan, joten ratkaisin:
a,b,c,d,e,f/a2,b2,c2,d2,e2,f2 = 1. tapa
a2,b,c,d,e,f/a,b2,c2,d2,e2,f2
a,b2,c,d,e,f/a2,b,c2,d2,e2,f2
a,b,c2,d.......... + 6 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c,d,e,f/a,b,c2,d2,e2,f2
a,b2,c2,d,e,f/a2,b,c,d2,e2,f2........ + 5 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c2,d,e,f/a,b,c,d2,e2,f2.
a,b2,c2,d2,e,f/a2,b,c,d,e2,f2..........+ 4 tapaa
+3
+2
+1
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Vierailija kirjoitti:
Vierailija kirjoitti:
64 on oikea vastaus. Tulee siitä, että jokaisesta parista voidaan valita ensimmäiseen joukkueeseen kumpi tahansa eli paria kohti on kaksi vaihtoehtoa. Kun pareja on kuusi, tulee erilaisia yhdistelmiä näistä yhteensä 2 potenssiin 6 kappaletta.
Vai onko pareja kuitenkin vain 32? 2 potenssiin 6 pätisi siinä tapauksessa, jos oppilaista valittaisiin vain yksi kuuden hengen joukkue, jossa saisi olla kustakin parista vain toinen jäsen, mutta nyt oppilaat jaetaan kahteen joukkueeseen.
Jos merkitään oppilaita kirjaimilla A, A', B, B'. C, C', D, D', E, E', F ja F' (siten, että A ja A' ovat pari jne), niin esimerkiksi yhdistelmä ABCDEF on käytännössä sama kuin yhdistelmä A'B'C'D'E'F', koska jos toisessa joukkueessa on oppilaat ABCDEF, niin toisessa on pakko olla A'B'C'D'E'F' ja päinvastoin.
Mielestäni tehtävänasettelun pohjalta 64, koska kysyttiin monellako tapaa joukkueet voidaan muodostaa, jolloin joukkue 1 on eri kuin joukkue 2.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Mä veikkaan kanssa että kahden potenssi joukkueen kokoon eli kuuteen. Mutta usein näissä kaavoissa on vielä miinustekijä jonka olemassaoloa en ole koskaan perehtynyt älyämään mistä se aina tulee.
Joten vastaukseni on
2^6 - 1
Tuo on vastaukseni vaikka olisi väärä. En ole mikään nipo.
Ei ihan näinkään. Jos parit on jaettu tasan eli yksi oppilas on vain yhden oppilaan parina niin aina voi vaihtaa joukkueesta yhden parin tai kaksi paria jne. toistepäin. Parit eivät edelleenkään ole samassa joukkueessa. Näin saadaan useampi vaihtoehto kokoonpanoille. Mutta miten tämä esitetään matemaattisena kaavana :D
Vierailija kirjoitti:
Riippuu siitä, voiko pari olla sama useammalla kun yhdellä oppilaalla. Jos parit on jaettu tasan (eli yksi oppilas voi olla vain yhden toisen oppilaan pari) niin joukkueet voi muodostaa vain yhdellä tavalla.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Äkkiseltään olisin myöskin vastannyt 64, mutta 32 on oikein. Ketjusta löytyy jo hyvät perustelutkin.
Vierailija kirjoitti:
Vain yhdellä tavalla jos kerran puolet pelaajista ei voi olla toisen puoliskon kanssa samalla puolella.
Mutta aina voit vaihtaa vain yhden parin "päittäin". Eli kärjistetysti: parit muodostuvat tytöstä ja pojasta. Ensimmäisessä jaossa on vain poikien joukkue ja tyttöjen joukkue. Toisessa jaossa vaihdetaan yksi pari eri joukkueisiin eli on 1 tyttö ja 5 poikaa / 1 poika ja 5 tyttöä. Kolmannessa jaossa on 2 tyttöä ja 3 poikaa / 2 poikaa ja 3 tyttöä jne. Ja sitä, ketkä tytöistä / pojista kerrallaan ovat missäkin joukkueissa voi myös vaihdella.
Viisaammat tekee tuosta laskukaavat ja laskevat oikean tuloksen. Onko se sitten se 64 vai 32 kombinaatiota, sinne asti ei oma matikkapää taivu.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
zaza kirjoitti:
Meneeköhän pahasti metsään, mutta vastaan 22 tavalla? :D En muistanut miten näitä lasketaan, joten ratkaisin:
a,b,c,d,e,f/a2,b2,c2,d2,e2,f2 = 1. tapa
a2,b,c,d,e,f/a,b2,c2,d2,e2,f2
a,b2,c,d,e,f/a2,b,c2,d2,e2,f2
a,b,c2,d.......... + 6 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c,d,e,f/a,b,c2,d2,e2,f2
a,b2,c2,d,e,f/a2,b,c,d2,e2,f2........ + 5 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c2,d,e,f/a,b,c,d2,e2,f2.
a,b2,c2,d2,e,f/a2,b,c,d,e2,f2..........+ 4 tapaa
+3
+2
+1
Menee metsään siinä, että tuosta puuttuu suuri joukko mahdollisia jakoja, esim. a2 b c2 d e f / a b2 c d2 e2 f2.
Vierailija kirjoitti:
6!
Tuo olisi oikea vastaus kysymykseen "moneenko eri järjestykseen 6 oppilasta voidaan asettaa keskenään", ei ap:n kysymykseen.
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Kyllä tämä ketju antaa taas masentavan kuvan matematiikan taidoista. Senkin jälkeen, kun oikea vastaus ja se, miten siihen on päädytty on jo esitetty, ihmiset esittävät täysin pieleen meneviä arvauksia. Ymmärrän vielä, että kun asiaa ensimmäisen kerran ajattelee, voi mennä harhaan. Mutta se, että ei osaa korjata tätä silloin, kun näkee oikean vastauksen perusteluineen, on masentavaa.
Merkitään oppilaita kirjaimilla näin: ABCDEFabcdef
Oppilasparit, jotka eivät kuulu samaan joukkueeseen ovat Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff
Tehdään aluksi jako jossa ensimmäisessä joukkueessa on ABCDEF ja toisessa abcdef
Tästä voidaan muodostaa uusia sallittuja jakoja vaihtamalla saman kirjaimen oppilaita joukkueesta toiseen.
Yhden kirjaimen vaihdolla saadaan 6 uutta jakoa:
(aBCDEF, Abcdef),(AbCDEF, aBcdef),(ABcDEF, abCdef),(ABCdEF, abcDef),(ABCDeF, abcdEf),
(ABCDEf, abcdeF)
Kahden kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan 15 uutta jakoa, esim:
(abCDEF, ABcdef), (aBcDEF, AbCdef), (aBCdEF, AbcDef), (aBCDeF, AbcdEf), (aBCDEf, AbcdeF)
(AbcDEF, aBCdef), (AbCdEF, aBcDef), (AbCDeF, aBcdEf), (AbCDEf, aBcdeF)
(ABcdEF, abCDef), (ABcDeF, abCdEf), (ABcDEf, abCdef)
(ABCdeF, abcDEf), (ABCdEf, abcDeF)
(ABCDef, abcdEF)
Kolmen kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan samalla periaatteella 20.
Jos vaihdetaan 4, 5 tai 6 kirjainta, saadaan samat jaot kuin aiemmin.
Näin jakotapoja saadaan 1+6+15+20 = 42
Vierailija kirjoitti:
Mä veikkaan kanssa että kahden potenssi joukkueen kokoon eli kuuteen. Mutta usein näissä kaavoissa on vielä miinustekijä jonka olemassaoloa en ole koskaan perehtynyt älyämään mistä se aina tulee.
Joten vastaukseni on
2^6 - 1
Tuo on vastaukseni vaikka olisi väärä. En ole mikään nipo.
Ei tähän tule mistään miinustekijää. "Miinustekijä" tulee silloin, kun lasketaan geometrisia sarjoja (sen voi nähdä, kun katsoo, miten summakaava on johdettu). Tämän tehtävän ratkaisussa geometrisesta sarjasta ei ole apua.
Vierailija kirjoitti:
zaza kirjoitti:
Meneeköhän pahasti metsään, mutta vastaan 22 tavalla? :D En muistanut miten näitä lasketaan, joten ratkaisin:
a,b,c,d,e,f/a2,b2,c2,d2,e2,f2 = 1. tapa
a2,b,c,d,e,f/a,b2,c2,d2,e2,f2
a,b2,c,d,e,f/a2,b,c2,d2,e2,f2
a,b,c2,d.......... + 6 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c,d,e,f/a,b,c2,d2,e2,f2
a,b2,c2,d,e,f/a2,b,c,d2,e2,f2........ + 5 tapaa muodostaa joukkue
a2,b2,c2,d,e,f/a,b,c,d2,e2,f2.
a,b2,c2,d2,e,f/a2,b,c,d,e2,f2..........+ 4 tapaa
+3
+2
+1
Menee metsään siinä, että tuosta puuttuu suuri joukko mahdollisia jakoja, esim. a2 b c2 d e f / a b2 c d2 e2 f2.
Joo huomasin heti kun lähetin, muttei ehtinyt korjata. :D Tässä on kaikki vaihtoehdot jos parit ovat a/A, b/B, c/C, d/D, e/E, f/F
abcdef
Abcdef
aBcdef
abCdef
abcDef
abcdEf
abcdeF
ABcdef
AbCdef
AbcDef
AbcdEf
AbcdeF
aBCdef
aBcDef
aBcdEf
aBcdeF
abCDef
abCdEf
abCdeF
abcDEf
abcDeF
abcdEF
ABCdef
ABcDef
AbCDef
ABcfEf
AbCdEf
AbcDEf
ABcdeF
AbCdeF
AbcDeF
AbcdEF
aBCDef
aBCdEf
aBcDEf
aBCdeF
aBcDeF
aBcdEF
abCDEf
abCDeF
abCdEF
abcDEF
ABCDef
ABCdEf
ABcDEf
AbCDEf
aBCDEf
ABCdeF
ABcDeF
AbCDeF
aBCDeF
ABcdEF
AbCdEF
aBCdEF
AbcDEF
aBcDEF
abCDEF
aBCDEF
AbCDEF
ABcDEF
ABCdEF
ABCDeF
ABCDEf
ABCDEF
Yht. 64 mahdollista joukkuetta eli 32 tapaa jaksaa joukkueet... ja sit vastaus olikin jo eka sivulla (2 potenssiin 6). :'( Onneksi ei ollut isompi joukkue.... fml! :D
Vierailija kirjoitti:
Merkitään oppilaita kirjaimilla näin: ABCDEFabcdef
Oppilasparit, jotka eivät kuulu samaan joukkueeseen ovat Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, FfTehdään aluksi jako jossa ensimmäisessä joukkueessa on ABCDEF ja toisessa abcdef
Tästä voidaan muodostaa uusia sallittuja jakoja vaihtamalla saman kirjaimen oppilaita joukkueesta toiseen.
Yhden kirjaimen vaihdolla saadaan 6 uutta jakoa:(aBCDEF, Abcdef),(AbCDEF, aBcdef),(ABcDEF, abCdef),(ABCdEF, abcDef),(ABCDeF, abcdEf),
(ABCDEf, abcdeF)
Kahden kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan 15 uutta jakoa, esim:
(abCDEF, ABcdef), (aBcDEF, AbCdef), (aBCdEF, AbcDef), (aBCDeF, AbcdEf), (aBCDEf, AbcdeF)
(AbcDEF, aBCdef), (AbCdEF, aBcDef), (AbCDeF, aBcdEf), (AbCDEf, aBcdeF)
(ABcdEF, abCDef), (ABcDeF, abCdEf), (ABcDEf, abCdef)
(ABCdeF, abcDEf), (ABCdEf, abcDeF)
(ABCDef, abcdEF)Kolmen kirjaimen vaihdolla jakoja saadaan samalla periaatteella 20.
Jos vaihdetaan 4, 5 tai 6 kirjainta, saadaan samat jaot kuin aiemmin.Näin jakotapoja saadaan 1+6+15+20 = 42
Tässä laskutavassa on periaatteessa järkeä, mutta se ei ota huomioon sitä, että kolmen kirjaimen vaihdolla saatavissa 20 jaossa on 10 keskenään symmetristä paria. Sen takia lopputulos on väärä. Jos tehtävänanto tulkitaan siten, että jaot (ABCdef, abcDEF) ja (abcDEF, ABCdef) ovat sama jako, niin kolmen kirjaimen vaihdosta pitää laskea mukaan vain 10 jakoa, jolloin lopputulos on 32. Jos taas em. jaot tulkitaan eri jaoiksi, pitää lopputulokseen laskea myös neljän, viiden ja kuuden kirjaimen vaihdot, jolloin lopputulos on 64.
Joo, tämä menee jo siihen, miten tehtävä pitäisi tulkita. Jos katsotaan, että on samantekevää, onko ekassa joukkueessa A, B, C, D, E ja F sekä toisessa G, H, I, J, K ja L vai ekassa joukkueessa G, H, I, J, K ja L sekä toisessa A, B, C, D, E ja F, niin silloin tosiaan eri jakoja on vain 32 kappaletta. Mutta jos katsotaan että edellisen esimerkin jaot ovat kaksi erilaista jakoa (eli sillä on merkitystä, kumpaan joukkueeseen pelaaja kuuluu), niin sitten eri jakoja on 64 kappaletta. Minusta tehtävänanto ei ole tässä suhteessa yksiselitteinen.