Auttakaa viisaat matemaatikot

Helou. Me ollaan aivottomia palstamammoja.

Mitä sä meitä häiritset, kun me just pohditaan kimpassa, että minne viiskymppinen voi mennä ja miten paljon mies voi pössytellä.

Ei funktiossa voi olla keskellä epäyhtälöä. Vain tarkoitetaanko tuossa, että funktiota tarkastellaan vain sillon, kun x>0. Se olisi itse asiassa järkevää, sillä logaritmia ei edes ole määritelty nollalle ja negatiivisille luvuille.

Vierailija kirjoitti:

Ei funktiossa voi olla keskellä epäyhtälöä. Vain tarkoitetaanko tuossa, että funktiota tarkastellaan vain sillon, kun x>0. Se olisi itse asiassa järkevää, sillä logaritmia ei edes ole määritelty nollalle ja negatiivisille luvuille.

Aa. Varmaan on tarkoitettu tuota. Toi näytti ihan kuin se epäyhtälö kuuluu funktioon!

Vierailija kirjoitti:

Ei funktiossa voi olla keskellä epäyhtälöä. Vain tarkoitetaanko tuossa, että funktiota tarkastellaan vain sillon, kun x>0. Se olisi itse asiassa järkevää, sillä logaritmia ei edes ole määritelty nollalle ja negatiivisille luvuille.

Sitähän se tarkoittaa. Ja funktio on tietysti aidosti kasvava.

Määritä ensin derivaattafunktio. Saat f'(x) = 1/(1+x) - 1/x. Tutki, milloin f'(x) = 0 ja laadi kulkukaavio, josta selviää derivaatan merkki eri väleillä. Siitä voit päätellä funktion kulun.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ei funktiossa voi olla keskellä epäyhtälöä. Vain tarkoitetaanko tuossa, että funktiota tarkastellaan vain sillon, kun x>0. Se olisi itse asiassa järkevää, sillä logaritmia ei edes ole määritelty nollalle ja negatiivisille luvuille.

Sitähän se tarkoittaa. Ja funktio on tietysti aidosti kasvava.

Aidosti vähenevä siis.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ei funktiossa voi olla keskellä epäyhtälöä. Vain tarkoitetaanko tuossa, että funktiota tarkastellaan vain sillon, kun x>0. Se olisi itse asiassa järkevää, sillä logaritmia ei edes ole määritelty nollalle ja negatiivisille luvuille.

Sitähän se tarkoittaa. Ja funktio on tietysti aidosti kasvava.

Miten niin kasvava? Mitä suuremmasta luvusta otetaan logaritmi, sitä pienempi on ykkösen lisäyksen vaikutus. Toki derivaatasta sen näkee ihan selvästi.

Siis nyt mulla on sen derivaattafunktio 1/1+x - 1/x.

Pitääkö mun nyt laskea 1/1+x - 1/x > 0 ja sitten tehdä kulkukaavio?

Sinun pitää laskea derivaatan nollakohdat tai oikeastaan osoittaa, että niitä ei ole. Sen jälkeen tutkit, onko derivaatan arvo positiivinen vai negatiivinen.

Olkoon f(x) = ln(1+x) - ln(x), x > 0. Derivaattafunktio voidaan kirjoittaa muotoon f'(x) = 1/(1+x) - 1/x = x/(x(1+x)) - (1+x)/(x(1+x)) = -1/(x(1+x)). Nollakohtia ei siis ole, joten derivaatan merkki pysyy samana. Tehtävänannon mukaanhan x > 0, joten lasketaan derivaatan arvo esimerkiksi kohdassa x = 1. Saadaan f'(1) = -1/(1*(1+1)) = -1/2, joten aina pätee f'(x) < 0. Funktio f on siis aidosti monotoninen, tarkemmin sanottuna aidosti vähenevä.