Sinä, joka väität osaavasi matematiikkaa. Kaksi neliöjuuritehtävää, jotka iskevät luun kurkkuusi.

Abc kiissa käveleee tikapuiita taivaaaseen.

AP:lle:

Vastauksen saat Wolfram Alphasta: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqtr(-i)

Toki pelkkä vastaus ei taida riittää lukion matematiikan opettajallesi.

a-kohdassa useita tapoja, eräs perustuu vastaoletukseen jossa oletetaan että sqrt(2) on rationaalinen a/b ja tästä johdetaan ristiriita. Googlella löydät lukuisia todistuksia.

b-kohdan vastaukset on

1/sqrt(2) -1/sqrt(2) i

-1/sqrt(2) + 1/sqrt(2) i

1. Lukua 2 pienemmät rationaaliluvut, jotka voisivat olla luvun 2 neliöitä, ovat ainoastaan luvut 1, 0 ja -1. Mutta (-1)^2=1, 0^2=0 ja 1^2=1, ei mikään näistä ole luvun 2 neliön vastaus. Muita vaihtoehtoja ovat vain irrationaaliluvut.

Tää on sitten mun tyttären vastaus, ite en ossaa neuvoo vitosluokkalaistanikaan matikanläksyissä😂

Vierailija kirjoitti:

Abc kiissa käveleee tikapuiita taivaaaseen.

Vihaaan matematiiikkaaa koska siiinä ei ole mitäään järkeäää.

Jos olisit oikeasti proffa, niin tietäisit, että neliöjuurta ei ole määritelty kompleksiluvuille. Tarkoitat b kohdalla ehkä seuraavaa: etsi kompleksiluku z siten, että z^2 = i. Proffa olisi osannut muotoilla tämän itse oikein.

1. Jos kakkosen neliöjuuri on rationaaliluku, se voidaan kirjoittaa murtolukuna p/q, jossa p ja q ovat eri kokonaislukuja joilla ei ole yhteisiä tekijöitä. Korottamalla toiseen saadaan 2=p^2/q^2 josta saadaan p^2=2q^2, joten p:n neliö on parillinen, mistä seuraa että p on parillinen. Tästä taas seuraa että q on parillinen. Niinpä peellä ja quulla on yhteinen tekijä, mikä taas on rr alkuperäisen olettamuksen kanssa. Kakkosen neliöjuuri ei siis ole rationaaliluku. MOT.

2. Komppaan aiempia: tee loput läksysi ihan itse.

Mitä yritit tällä aloituksella todistaa/hakea?

Vierailija kirjoitti:

Jos olisit oikeasti proffa, niin tietäisit, että neliöjuurta ei ole määritelty kompleksiluvuille. Tarkoitat b kohdalla ehkä seuraavaa: etsi kompleksiluku z siten, että z^2 = i. Proffa olisi osannut muotoilla tämän itse oikein.

Korjaus: z^2 = -i.

Vastakysymys AP:lle: Paljonko on (neliöjuuri (pii * i))!

Vierailija kirjoitti:

Vastakysymys AP:lle: Paljonko on (neliöjuuri (pii * i))!

WA ratkaisee taas: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(pi*i))!

ExoPol' kirjoitti:

1. Lukua 2 pienemmät rationaaliluvut, jotka voisivat olla luvun 2 neliöitä, ovat ainoastaan luvut 1, 0 ja -1. Mutta (-1)^2=1, 0^2=0 ja 1^2=1, ei mikään näistä ole luvun 2 neliön vastaus. Muita vaihtoehtoja ovat vain irrationaaliluvut.

Tää on sitten mun tyttären vastaus, ite en ossaa neuvoo vitosluokkalaistanikaan matikanläksyissä😂

Luvun 2 neliö on 4.

Proffa

Ap:lle vinkki b-kohtaan. Käytä yhtälöä z^2 = -i ja sijoita z:n tilalle x + yi. Suorita sitten potenssiin korotus ja sievennä. Sen jälkeen osaat varmasti jatkaa itsekin.

Find x: x+3=6.

Answer: It's in the beginning.

Eli täydellisen oikeita vastauksia ei ole vieläkään tullut molempiin ongelmiin. Jatkan naurua. 🤣

Proffa

Vierailija kirjoitti:

1. Jos kakkosen neliöjuuri on rationaaliluku, se voidaan kirjoittaa murtolukuna p/q, jossa p ja q ovat eri kokonaislukuja joilla ei ole yhteisiä tekijöitä. Korottamalla toiseen saadaan 2=p^2/q^2 josta saadaan p^2=2q^2, joten p:n neliö on parillinen, mistä seuraa että p on parillinen. Tästä taas seuraa että q on parillinen. Niinpä peellä ja quulla on yhteinen tekijä, mikä taas on rr alkuperäisen olettamuksen kanssa. Kakkosen neliöjuuri ei siis ole rationaaliluku. MOT.

Tuo on oikein. Pari selitystä:

Rationaaliluku tarkoittaa murtolukua (siis lukua, jonka voi kirjoittaa murtolukuna m/n, missä n ei ole 0). Koska neliöjuuri ei ole negatiivinen, voidaan valita m & n ei-negatiivisiksi.

Murtoluvusta voi aina supistaa kaikki yhteiset tekijät pois, jolloin m/n=p/q, missä p ja q ovat eri alkulukujen tuloja. (Jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona.) Tällaiset p & q vierailija siis valitsi. (q ei ole 0).

sqrt(2) = p/q, joten 2 = p^2/q^2. Tässä ^2 on toinen potenssi. Onhan sqrt(2)^2 = 2; sehän on "neliöjuuren määritelmä". Siis:

p^2 = 2 q^2 eli parillinen.

Pariton*pariton=pariton, joten p ei voi olla pariton, kun kerran p^2=2 q^2 on parillinen.) p:llä ja q:lla olisi siis yhteinen tekijä 2, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä.

Oletuksesta sqrt(2) = rationaaliluku seurasi ristiriita, joten oletuksen on pakko olla väärin, eli sqrt(2) ei ole rationaaliluku.

Lähes samoin todistetaan, että jos M ja N>0 ovat ei-negatiivisia kokonaisluku, niin M:n N:s juuri on kokonaisluku tai irrationaaliluku:

NsJuuri(M) = p/q, missä p,q>=0, q ei 0, ei yhteisiä tekijöitä.

M = (p/q)^N = p^N / q^N

p^N = M q^N.

Jokainen kokonaisluku on esitettävissä alkulukujen tulona. Esitys on yksikäsitteinen, eli koska tuossa yhtälössä on vasemmalla N kpl jokaista p:n alkulukutekijää, täsmälleen samat pitää olla oikeallakin.

a_1^N a_2^N ... = M b_1^N b_2^N ... = c_1 c_2 ... b_1^N b_2^N ...

missä a_k ovat p:n, b_k q:n ja c_k M:n alkulukutekijät.

Yllä siis p ja q valittiin niin, että a_k on erisuuri kuin b_j kaikilla k:n ja j:n arvoilla. (Sen sijaan a_k=a_j on mahdollista, jos p:ssä esiintyy sama alkuluku monesti.)

Tuossa siis oikealla ja vasemmalla on tasan samat alkuluvut, koska luvun (p^N) alkulukuesitys on yksikäsitteinen - ei ole mitään tapaa esittää sitä muilla alkuluvuilla (korkeintaan niiden järjestystä voi muuttaa). Koska vasemmalla ei ole lukuja b_1, b_2, ..., niitä ei ole yhtään vaan q=1.

Siis tehtävän alussa olevasta yhtälöstä NsJuuri(M) = p/q saadaan

NsJuuri(M) = p/q = p/1 = p eli kokonaisluku, mikä oli todistettava.

Vierailija kirjoitti:

Vieläkään ei ole tullut oikeita vastauksia. 😂 Eikö kukaan oikeasti osaa matikkaa täällä? 😅

Kikatan!

Proffa

Mietin noita joskus viimeksi 80-luvulla. Ei ole ollut noille todistusjutuille hirveästi käyttöä peruskurssien suorituksen jälkeen t. vanha

Vierailija kirjoitti:

Mietin noita joskus viimeksi 80-luvulla. Ei ole ollut noille todistusjutuille hirveästi käyttöä peruskurssien suorituksen jälkeen t. vanha

Minulla oli: 8. luokan oppikirjassa piti tietää, että neliöjuuri(7) ym. ovat irrationaalilukuja, vaikkei kirja edes opeta sitä. Piti tarkista asia ennen kuin lähetin palautetta. SanomaPro lupasi korjata asian; pinnat heille. Kirjoitin seuraavaa.

 

Oppikirjassa "Kuutio X" mm. sivun 35 tehtävässä 2. pitäisi tietää, että neliöjuuri luvuista  3, 5, 6, 7, 8, 10 ovat irrationaalilukuja, mutta nähdäkseni sitä ei voi mistään tietää, koska kirjassa kerrotaan vain, että neliöjuuri(2) ei ole irrationaaliluku (s. 34).

Ehdotan, että lisäätte sivulle 34 esim. jotain seuraavanlaista (täten luovun kaikista oikeuksistani tähän). Tässä "sqrt(7)" tarkoittaa 7:n neliöjuurta ja "^" potenssia.

"Fakta: On todistettu, että jos M on luonnollinen luku, niin sqrt(M) on kokonaisluku tai irrationaaliluku."

"Esimerkki: sqrt(7) tarkoittaa lukua x, jolla x^2 = 7. Koska 2^2 = 4, täytyy olla x>2. Koska 3^2 = 9, täytyy olla x<3. Siis x ei voi olla kokonaisluku. Siis edellä mainitun faktan perusteella sen täytyy olla irrationaaliluku."

Tosin joku voi tuosta luulla, että kaikki ei-kokonaisluvut ovat irrationaalilukuja. 

Siksi lisäisin perään:

"Esimerkiksi (82/31)^2 \approx 6,997, mutta minkään rationaaliluvun toinen potenssi ei siis ole ihan tasan 7."

Tuossa \approx on "likimain yhtäsuuri kuin" -merkki.

BTW, sivun 34 "sqrt(-16) ei ole reaaliluku" on vähän hassu, kun sivulla 28 on opetettu, että sitä "ei voi laskea".

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Abc kiissa käveleee tikapuiita taivaaaseen.

Vihaaan matematiiikkaaa koska siiinä ei ole mitäään järkeäää.

Sama. Pitää laskea oikeita asioita eikä tuollaista turhanaikaista.