Voiko olla niin, että funktion derivaattaa ei ole olemassa vaikka funktio on?

Ei kun anteeksi, olen tyhmä. Siis eihän tuota funktiotakaan (kai) ole olemassa tuossa. Sori.

Sulla menee nyt sekaisin derivaatta ja derivaatta jossain tietyssä kohdassa. Tuo funktiohan ei ole määritelty, kun x=0 ja siinä samassa kohdassa myöskään derivaattaa ei voi laskea, siinä on funktion epäjatkuvuuskohta. Mutta muissa kohdissa tuon derivaatan arvon voi laskea ihan normaalisti.

Derivaatta on, mutta sillä ei ole nollakohtaa, niinkun ei alkuperäiselläkään funktiolla.

Ei ole välttämättä olemassa. Esimerkiksi neliöjuuri(x) on olemassa kun x=0 mutta sen derivaatta 1/(2×neliöjuuri(x)) ei ole määritelty kun x=0.

Derivaatta voi olla epäjatkuva. Eli kuvaajaksi hahmoteltuna se katkeaa ja jatkuu eri kohdasta. Tai pisteessä on kulma.

Onko sullakin tehtävien palautus huomenna? Ihan kamalaa, en osaa auttaa.

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Vierailija kirjoitti:

Onko sullakin tehtävien palautus huomenna? Ihan kamalaa, en osaa auttaa.

No, onneks olit ensimmäinen, joka oli pihalla tässä tehtävässä.

Aa, joku ylempänä kommentoikin tuota neliöjuurihommaa. Mitä kirjoitan jos kysytään neliöjuuri x:n derivaattaa kohdassa 0?

Ja ei tämä läksyä ole, mutta tulipahan mieleen ja jäi vaivaamaan. Olen kai nukkunut liian vähän kun ajatukset lentelee ties minne.

-AP

Vierailija kirjoitti:

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Kyllä eli jos potenssi on 1<y<0 niin derivaattaa ei ole

Tuo on funktion f(x) = 1/x^2 derivaatta(funktio), f'(x), jonka laskit. Jos lasket arvolla 0, niin se ei vain ole määritelty. f'(0) = ei määritelty. Esim. arvolla yksi f'(1) = -2

No vaikka jos on funktio:

f(x)=1, kun x on rationaaliluku ja

f(x)=0, kun x on muu reaaliluku

silloin funktio on määritelty kaikilla reealiluvuilla mutta ei ole jatkuva, eikä silloin myöskään derivoituva missään pisteessä.

Sitten on vielä mm. Weierstraßin funktio joka on määritelty ja jatkuva kaikilla reaaliluvuilla mutta ei ole derivoituva missään pisteessä.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Kyllä eli jos potenssi on 1<y<0 niin derivaattaa ei ole

Tuohan on hieno, aina kun potenssia vähennetään yhdellä, niin siitä tulee negatiivinen, jos se on alunperin 0-1. Ja negatiivinen potenssi tarkoittaa samaa, kun että sen luvun siirtää jakajaksi. Ja jos siihen sijoittaa nolla niin tulee nollalla jako, mikä ei ole ok. Ja oliko neliöjuuri sama asia kun potenssiin 1/2?

AP

Vierailija kirjoitti:

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Mietipä mikä on alkuperäisen funktion arvo jos x menee nollan yli miinuksen puolelle. Tuo nolla on siis funktion määrittelyalueen reunassa, joten derivaatta sillä kohdalla voikin olla huonosti määritelty.

Minä laitan nämä kaikki tehtävät aina aluksi symboliseen laskimeen ja jos vastauksena on "undef" niin sitten ei ole olemassa. Suosittelen hankkimaan hyvän laskimen jos opiskelee jotain matemaattista. Olen mm. päässyt matematiikan kokeesta läpi pelkällä laskimella vaikka en juurikaan ymmärtänyt mistään mitään.

Kokeessa piti piirtää jotain kuvaajia jotka sain suoraan laskimesta kopioitua ja sitten myös oli jotain yksinkertaisia muunnosjuttuja tai mitähän lie niin niistäkin sain pisteitä. Tämä siis AMKssa. Suurin osa tehtävistä ei tosin mene läpi jos laittaa pelkän vastauksen laskimesta mutta osa menee ja kun vastaus on tiedossa niin sitten helpompi kehitellä jotain.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Mietipä mikä on alkuperäisen funktion arvo jos x menee nollan yli miinuksen puolelle. Tuo nolla on siis funktion määrittelyalueen reunassa, joten derivaatta sillä kohdalla voikin olla huonosti määritelty.

En tiedä, en ole koskaan törmännyt siihen, että neliöjuuren sisässä olisi miinusluku. Ehkä sillä ei ole arvoa? Kun jos on vaikka -4 niin sitä ei saa mitenkään kunnolla, kun jos kertoo miinuksen miinuksella niin tulee plus, ja siis toi -4 pitäis olla yhden miinusluvun ja yhden plusluvun tulo. Okei en tiedä mitä taas selitän mut joo.

AP

Voi.

Jos neliöjuuren sisällä on negatiivinen luku, vastaukseski tulee kompleksiluku. Nollalla jakaminen riippuu monesta asiasta. Yleensä nollalla ei jaeta. Mutta esim. Lähestyessä nollaa funktio lähestyy ääretöntä. Jos vaikka oletetaan sähkötekniikassa kondensaattori nollaksi se käytännössä tarkoittaa että sen resistanssi on ääretön.

Joo kaikki funktiot ei tosiaan ole derivoituvia koko määrittelyjoukossaan.

Esim. itseisarvofunktio f(x)=IxI ei ole derivoituva kohdassa x=0, vaikka itse funktio on tuossa kohtaa määritelty ja jopa jatkuvakin.

Miksi näin, niin koska tuohon kohtaan ei funktiolla voi piirtää yksikäsitteisesti tangenttia eli sivuavaa suoraa. Derivaattahan on oikeasti tangentin kulmakerroin ja jos koko tangenttia ei pysty yksikäsitteisesti piirtämään, niin derivaattaakaan ei ole olemassa.

Sama juttu tuon neliöjuurifunktion kanssa kohdassa x=0. Neliöjuurifunktion f(x)=sqrt(x) määrittelyjoukko on x>=0, mutta kohdassa x=0 ei pystytä piirtämään tangenttia yksikäsitteisesti eli derivaatta ei ole olemassa.

On olemassa jopa funktioita, jotka eivät ole missään kohtaa derivoituvia. Tällaisesta klassikkoesimerkki on Weierstrassin funktio, joka on kaikkialla jatkuva, muttei missään derivoituva.

Vierailija kirjoitti:

Mutta hetkinen, entäs vaikkapa neliöjuuri x?

Sen derivaatta on 1/(2neliöjuuri(x)) (tarkistin Wolfram Alphalla) ja jos siihen pistää nollan, niin tulee 1/0 mikä ei ole hyvä. Mutta jos tohon alkuperäiseen funktioon pistää nollan niin se on vaan nolla, eli se on olemassa.

AP

Jos alkuperäinen funktion arvo nollassa on nolla ja derivaatta määrittelemätön samassa kohtaa, sehän on ihan looginen ratkaisu. 1/x raja-arvolaskuna lähenee ääretöntä, kun x lähenee nollaa.

Helpompi hahmottaa oikeilla käsitteillä. Kiihtyvyyden derivaatta on nopeus. Kiihtyvyys voi olla lähellä nollaa silloin, kun nopeus lähenee ääretöntä. Sen hetken nopeutta ei tuossa yhtälössä voida määrittää, kun kiihtyvyys tippuu nollaan, eli x on nolla.