Lukion pitkän matematiikan kotitehtävä - osaisiko joku auttaa? :)

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ohiksena ---
Onko todella ihan pakko laittaa matematiikasta ei-niin-hirveän-kiinnostuneet laskemaan tällaisia koulussa? Jospa vain matikkaintoilijat laitetaan laskemaan näitä laskuja (joihin tietokone kyllä antaa vastauksen välittömästi), ja muut opiskelee sillä aikaa vaikka koodausta tai vieraan kielen tai arkkitehtuuria, tai ihan mitä muuta vaan.

Miksi kirjoitat älykköketjuun?

Koska oletan että älykkö osaa vastata?

Ei 90-luvulla kai tollasta ollut.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kun tarpeeksi kauan jaat parillisen luvun kahdella saat vastaukseksi 2, kun jaat vielä sen on vastaus tuo 1.

Joo, mutta parillisesta luvusta voi tulla pariton jakotulos. 64 nippuuntuu nätisti 64 -> 31 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 mutta esim. 50 on ekan jaon jälkeen jo 25 eli pariton. Algoritmin parittomille luvuille tarkoitettu puolisko tekee näistä jälleen parillisia, koska toimituksessa on määritelty tuo +1.

Sitä tarkoitinkin. Parittomasta tehdään parillinen lisäämällä siihen 1 ja tätä jatketaan kunnes jaon tulos on enää 2 ja sen jälkeen 1.

Vierailija kirjoitti:

Ohiksena ---
Onko todella ihan pakko laittaa matematiikasta ei-niin-hirveän-kiinnostuneet laskemaan tällaisia koulussa? Jospa vain matikkaintoilijat laitetaan laskemaan näitä laskuja (joihin tietokone kyllä antaa vastauksen välittömästi), ja muut opiskelee sillä aikaa vaikka koodausta tai vieraan kielen tai arkkitehtuuria, tai ihan mitä muuta vaan.

Tämä ei ole edes laskutehtävä. Mutta kyllä tällaiseen tehtävään tarttumisesta on hyötyä, tämä kehittää ajattelukykyä ja ongelmanratkaisukykyä. 

Ensin kun tämän tehtävän lukee, niin on ihan WTF? Sitten sen lukee uudestaan ajatuksen kanssa, ja toisella lukukerralla alkaa jo vähän ymmärtää, mitä tässä tehtävässä edes sanotaan ja mikä on se kysymys, johon halutaan etsiä vastaus. Edelleenkään siitä vastauksesta ei ole käryä.

Sitten aletaan miettiä tätä tehtävää sitä kautta, että mitä tässä sanotaan. Kirjoitetaan ylös ne laskusäännöt erilaisille luvuille ja aletaan katsoa, mitä tapahtuu, kun sääntöjä aletaan soveltaa. 

Sitten alkaa jo vähän lamppu syttyä päässä, että ahaa, kummassakin tapauksessa päädytään ennen pitkää aina siihen toiseen laskusääntöön. Ja varmaan myös voidaan jotenkin osoittaa, että tämä sarja on pidemmän päälle suppeneva, vaikka välillä sieltä pompsahtaa suurempi luku. 

En itsekään kyllä hahmota, miten tuon elegantisti todistaisi, mutta matematiikassahan on ideana juuri se, että tarpeeksi kauan kun veivaa, se ratkaisu alkaa hahmottua. Tai jos käykin niin, ettei se lopullinen ratkaisu ihan hahmotu, niin saa kuitenkin jotain ratkaisun alkua laitettua paperille ja siitä saa kokeessa jotain pisteitä. Ja se ratkaisu saattaa kirkastua joskus myöhemmin. Siitä tulee hyvä fiilis, vaikka koe meni jo ohi ja täydet pisteet jäi saamatta.

Tällä samalla reseptillä voi käydä ihan minkä tahansa elämässä vastaan tulevan ongelman kimppuun.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Ohiksena ---
Onko todella ihan pakko laittaa matematiikasta ei-niin-hirveän-kiinnostuneet laskemaan tällaisia koulussa? Jospa vain matikkaintoilijat laitetaan laskemaan näitä laskuja (joihin tietokone kyllä antaa vastauksen välittömästi), ja muut opiskelee sillä aikaa vaikka koodausta tai vieraan kielen tai arkkitehtuuria, tai ihan mitä muuta vaan.

Tämä ei ole edes laskutehtävä. Mutta kyllä tällaiseen tehtävään tarttumisesta on hyötyä, tämä kehittää ajattelukykyä ja ongelmanratkaisukykyä. 
Ensin kun tämän tehtävän lukee, niin on ihan WTF? Sitten sen lukee uudestaan ajatuksen kanssa, ja toisella lukukerralla alkaa jo vähän ymmärtää, mitä tässä tehtävässä edes sanotaan ja mikä on se kysymys, johon halutaan etsiä vastaus. Edelleenkään siitä vastauksesta ei ole käryä.
Sitten aletaan miettiä tätä tehtävää sitä kautta, että mitä tässä sanotaan. Kirjoitetaan ylös ne laskusäännöt erilaisille luvuille ja aletaan katsoa, mitä tapahtuu, kun sääntöjä aletaan soveltaa. 
Sitten alkaa jo vähän lamppu syttyä päässä, että ahaa, kummassakin tapauksessa päädytään ennen pitkää aina siihen toiseen laskusääntöön. Ja varmaan myös voidaan jotenkin osoittaa, että tämä sarja on pidemmän päälle suppeneva, vaikka välillä sieltä pompsahtaa suurempi luku. 
En itsekään kyllä hahmota, miten tuon elegantisti todistaisi, mutta matematiikassahan on ideana juuri se, että tarpeeksi kauan kun veivaa, se ratkaisu alkaa hahmottua. Tai jos käykin niin, ettei se lopullinen ratkaisu ihan hahmotu, niin saa kuitenkin jotain ratkaisun alkua laitettua paperille ja siitä saa kokeessa jotain pisteitä. Ja se ratkaisu saattaa kirkastua joskus myöhemmin. Siitä tulee hyvä fiilis, vaikka koe meni jo ohi ja täydet pisteet jäi saamatta.
Tällä samalla reseptillä voi käydä ihan minkä tahansa elämässä vastaan tulevan ongelman kimppuun.

Kyseessähän on tähän asti ratkaisematon matemaattinen todistusongelma, jota jopa supertietokoneet ovat jauhaneet vuosikausia. Koko ongelman pointtinahan on se että asia on helppo hahmottaa ja ymmärtää, mutta oikeaksi todistaminen ei ole vielä onnistunut koko maailman matikkanerojen toimesta. Lukioiden opetussuunnitelma ei tällaisia sisällä, mitä nyt ap vain kiusaa palstalaisia perjantain iloksi.

Vierailija kirjoitti:

Lukion kurssit unohtui jo vuosikausia sitten mutta jotenkin tuossa pitäisi paperille vääntää että parilliset luvut on aina 2:n monikertoja, ja parittomista tulee parillisia kun niihin lisää +1. Tuo algoritmi vääntää kaikesta parillisia lukuja ja jakaa niitä niin pitkään kunnes jäljellä on vain 1.
Edes kiväärillä uhattuna en kyllä saisi tuota mihinkään järkevään lukion kurssitehtävän tai yo-kokeen vastauksen muotoon.
t. lukionsa unohtanut dippainssi

Ihan varmana saisit jotain pisteitä, kun vaan alkaisit kirjoittamaan ylös asioita. Et ehkä osaisi sujuvasti kirjoitella "olkoon parillinen luku 2n ja pariton 2n+1" mutta en tiedä miten tarkkaa noissa ne sanamuodot on, kunhan väärin tulkitsemisen vaaraa ei ole. 

Itsekin yo vuosimallia -89 ja ikiteekkari, mutta ongelmanratkaisukyky säilyy läpi elämän, vaikka matematiikan yksityiskohdat olisivat jo jääneet unholaan. Kyllä me molemmat saatais tää ratkaistua, jos jaksettaisiin vähän miettiä! 

Vierailija kirjoitti:

Kyseessähän on tähän asti ratkaisematon matemaattinen todistusongelma, jota jopa supertietokoneet ovat jauhaneet vuosikausia. Koko ongelman pointtinahan on se että asia on helppo hahmottaa ja ymmärtää, mutta oikeaksi todistaminen ei ole vielä onnistunut koko maailman matikkanerojen toimesta. Lukioiden opetussuunnitelma ei tällaisia sisällä, mitä nyt ap vain kiusaa palstalaisia perjantain iloksi.

Jos näin on, ettei tätä ole toistaiseksi pystytty todistamaan, niin sitä parempi! Silloinhan tehtävän kohdalla ei varmasti odotetakaan, että kukaan lukiolainen sen ratkaisisi. Pikemminkin tässä haetaan sitten sitä, mitä lukiolainen saa irti tällaisesta tehtävästä, mitä ei ole vielä pystytty ratkaisemaan. Mitä hän pystyy todistamaan ja mikä jää todistamatta? Vai tuleeko vastaukseksi "googletin ja tähän ei ole ratkaisua, ihan kusetusta koko homma". 

Nykyisin koulussa on tehtäviä, joiden ratkaisemiseksi ei oppilaille ole annettu työkaluja. Muistan oman lapseni tehtävistä toiselta luokalta, että siellä oli tehtäviä, joiden ratkaisemiseksi olisi tarvittu yhtälöpari. Silti tällaisia tehtäviä annettiin lapsille sillä ajatuksella, että yrittäisivät jotenkin päätellä niitä. Minusta se oli typerää, mutta ehkä siinä sittenkin oli joku pointti, että pinnistellään ja mietitään, pystytäänkö löytämään ratkaisu kokeilemalla ja päättelemällä. 

Vierailija kirjoitti:

Miksi tähän ei tullut kappalejakoa vaikka tein sen? Inhottavasti yhtenä pötkönä tuli se, tekee tekstistä epäselvän.
AP

Joo, tälle vauvapalstalle on näköjään tänään/eilen tullut typerä muutos että aloitusviestiin ei voi entteriä painamalla pistää kappalejakoa. Blaah.

Mutta on tuo sinun aloitusviestisi myös muutoinkin jotenkin sekavasti kirjoitettu. Tai siis tuo tehtävänanto on epäselvä, väärin muotoiltu. Mutta onneksi nyt kuitenkin tajusin että mistä tuossa laskutehtävässä on kyse, joten voin ehkä vähän pohtia laskutehtävää, vaikka tuo on todistustehtävä. Olen niissä surkea. En osaa. En osaa todistaa. Mutta vähän nyt spekuloin.

Joku muu ehdotti että kokeilet kaikilla numeroilla. Noh, itse helpotan tuota ehdotusta vähän: kokeilin numeroilla 1-10. Niillä kun laskee, niin kyllä: aloituksen väittämä on totta eli aina lopputulos on 1. Ja tuon enempää ei tarvitse kokeilla, koska meidän käyttämässä numerojärjestelmässä eli kymmenjärjestelmässä pätee se perussääntö että kaikki numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ovat jaollisia jollain numerolla joka on pienempi kuin 10. Joten, näin on todistettu: koska tuo väittämä on totta numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, niin tuo väittämä on totta myös numeroilla jotka ovat suurempia kuin 10.

Paitsi että, ainoa poikkeus tuohon meidän numerojärjestelmän perussääntöön: alkuluvut. Ne eivät ole jaollisia tuolla lailla. Joten ne pitää todistaa erikseen. Todistetaan vaikkapa näin: numeroa 2 lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia, se on alkulukujen perussääntö. Ja kun mikä hyvänsä pariton luku kerrotaan kolmella ja siihen lisätään yksi, niin tulos on aina parillinen - eli tulos ei ole alkuluku. Siis: X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen.

Ja näin, valmis! En ole vain vähän spekuloinut, vaan olen todistanut! Todistin juuri että tuo laskutehtävän väittämä on totta. Todistin juuri että kaikilla numeroilla tuo laskuprosessi todellakin tuottaa tuloksen 1. Koska meidän kymmenjärjestelmässä ei ole olemassa mitään muita numeroita kuin tälläisiä:

1. Numerot 1-10.

2. Numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ja ovat jaollisia numeroilla 1-9.

3. Alkuluvut.

Mutta en usko että tämä minun todistustapani ihan täysin kelpaa esim YO-kokeeseen, ei tällä ainakaan läheskään täysiä pisteitä saisi, koska siellä pitää todistaa juurikin sellaisilla X Y Z -kaavoilla ja yhtälöillä, ja sellaista yhtälömuotoista todistamista minä en osaa yhtään. Minä todistin sanallisesti ja loogisesti, mutta se ei YO-kokeeseen riitä. Pitäisi osata todistaa myös "yhtälöllisesti".

Ja tuossa minun todistuksessani on vielä yksi aukko: en vielä todistanut sitä väittämääni että "X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen". Jotta en jättäisi todistukseeni aukkoja niin tuohan minun pitäisi vielä todistaa. Varmaankin osaisin senkin vastaavalla lailla sanallisesti ja loogisesti todistaa, varmaankaan en senkään todistamiseen yhtälöitä tarvitsisi, mutta en juuri nyt jaksa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miksi tähän ei tullut kappalejakoa vaikka tein sen? Inhottavasti yhtenä pötkönä tuli se, tekee tekstistä epäselvän.
AP

Joo, tälle vauvapalstalle on näköjään tänään/eilen tullut typerä muutos että aloitusviestiin ei voi entteriä painamalla pistää kappalejakoa. Blaah.
Mutta on tuo sinun aloitusviestisi myös muutoinkin jotenkin sekavasti kirjoitettu. Tai siis tuo tehtävänanto on epäselvä, väärin muotoiltu. Mutta onneksi nyt kuitenkin tajusin että mistä tuossa laskutehtävässä on kyse, joten voin ehkä vähän pohtia laskutehtävää, vaikka tuo on todistustehtävä. Olen niissä surkea. En osaa. En osaa todistaa. Mutta vähän nyt spekuloin.
Joku muu ehdotti että kokeilet kaikilla numeroilla. Noh, itse helpotan tuota ehdotusta vähän: kokeilin numeroilla 1-10. Niillä kun laskee, niin kyllä: aloituksen väittämä on totta eli aina lopputulos on 1. Ja tuon enempää ei tarvitse kokeilla, koska meidän käyttämässä numerojärjestelmässä eli kymmenjärjestelmässä pätee se perussääntö että kaikki numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ovat jaollisia jollain numerolla joka on pienempi kuin 10. Joten, näin on todistettu: koska tuo väittämä on totta numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, niin tuo väittämä on totta myös numeroilla jotka ovat suurempia kuin 10.
Paitsi että, ainoa poikkeus tuohon meidän numerojärjestelmän perussääntöön: alkuluvut. Ne eivät ole jaollisia tuolla lailla. Joten ne pitää todistaa erikseen. Todistetaan vaikkapa näin: numeroa 2 lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia, se on alkulukujen perussääntö. Ja kun mikä hyvänsä pariton luku kerrotaan kolmella ja siihen lisätään yksi, niin tulos on aina parillinen - eli tulos ei ole alkuluku. Siis: X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen.
Ja näin, valmis! En ole vain vähän spekuloinut, vaan olen todistanut! Todistin juuri että tuo laskutehtävän väittämä on totta. Todistin juuri että kaikilla numeroilla tuo laskuprosessi todellakin tuottaa tuloksen 1. Koska meidän kymmenjärjestelmässä ei ole olemassa mitään muita numeroita kuin tälläisiä:
1. Numerot 1-10.
2. Numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ja ovat jaollisia numeroilla 1-9.
3. Alkuluvut.
Mutta en usko että tämä minun todistustapani ihan täysin kelpaa esim YO-kokeeseen, ei tällä ainakaan läheskään täysiä pisteitä saisi, koska siellä pitää todistaa juurikin sellaisilla X Y Z -kaavoilla ja yhtälöillä, ja sellaista yhtälömuotoista todistamista minä en osaa yhtään. Minä todistin sanallisesti ja loogisesti, mutta se ei YO-kokeeseen riitä. Pitäisi osata todistaa myös "yhtälöllisesti".
Ja tuossa minun todistuksessani on vielä yksi aukko: en vielä todistanut sitä väittämääni että "X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen". Jotta en jättäisi todistukseeni aukkoja niin tuohan minun pitäisi vielä todistaa. Varmaankin osaisin senkin vastaavalla lailla sanallisesti ja loogisesti todistaa, varmaankaan en senkään todistamiseen yhtälöitä tarvitsisi, mutta en juuri nyt jaksa.

PS. Mielestäni lähes kaikki väittämien todistamistehtävät voidaan tehdä niin että lasketaan erikseen kaikki numerot 1-9, katsotaan toimiiko väittämä niiden kohdalla. Ja sitten tarvitsee vielä erikseen todistaa väittämä alkulukujen kohdalla. Siinä se. Näin voitaisiin melkein kaikki todistamistehtävät tehdä, tämän kummempaa siihen ei tarvittaisi. Mutta jostain kumman syystä tätä todistamislogiikkaa en ole liiemmin nähnyt missään käytettävän, vaan ainakin lukiossa käytetään juurikin sellaista "yhtälömuotoista" todistamista. En tiedä miksi. Toki se yhtälömuotoinenkin todistaminen on hyvä oppia esim. jos aikoo opiskella vaikkapa matematiikan tai tilastotieteiden tohtoriksi, mutta todistaakseen käytännössä jotain sitä yhtälömuotoista todistamista ei tarvita, koska asiat voidaan todistaa myös muulla tavoin.

Olen tosiaan vähän autisti. Minulla on elämäni aikana ollut paljon vaikeuksia tehdä asiat samoin kuin muut tekevät. Tai siis monet ihmiset ovat minusta sanoneet: "teet kaiken erilailla kuin muut". Minulla on "oma logiikkani" jonka mukaisesti toimin, enkä mitenkään pysty toimimaan muiden logiikan mukaisesti. Jossain tätä ominaisuuttani arvostetaan, jossain tätä vihataan. Jossain saan erilaisilla tavoillani paljon aikaiseksi, jossain en saa mitään aikaiseksi. Joissain paikoissa autistit ovat hyödyllisiä, joissain paikoissa turhia.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miksi tähän ei tullut kappalejakoa vaikka tein sen? Inhottavasti yhtenä pötkönä tuli se, tekee tekstistä epäselvän.
AP

Joo, tälle vauvapalstalle on näköjään tänään/eilen tullut typerä muutos että aloitusviestiin ei voi entteriä painamalla pistää kappalejakoa. Blaah.
Mutta on tuo sinun aloitusviestisi myös muutoinkin jotenkin sekavasti kirjoitettu. Tai siis tuo tehtävänanto on epäselvä, väärin muotoiltu. Mutta onneksi nyt kuitenkin tajusin että mistä tuossa laskutehtävässä on kyse, joten voin ehkä vähän pohtia laskutehtävää, vaikka tuo on todistustehtävä. Olen niissä surkea. En osaa. En osaa todistaa. Mutta vähän nyt spekuloin.
Joku muu ehdotti että kokeilet kaikilla numeroilla. Noh, itse helpotan tuota ehdotusta vähän: kokeilin numeroilla 1-10. Niillä kun laskee, niin kyllä: aloituksen väittämä on totta eli aina lopputulos on 1. Ja tuon enempää ei tarvitse kokeilla, koska meidän käyttämässä numerojärjestelmässä eli kymmenjärjestelmässä pätee se perussääntö että kaikki numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ovat jaollisia jollain numerolla joka on pienempi kuin 10. Joten, näin on todistettu: koska tuo väittämä on totta numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, niin tuo väittämä on totta myös numeroilla jotka ovat suurempia kuin 10.
Paitsi että, ainoa poikkeus tuohon meidän numerojärjestelmän perussääntöön: alkuluvut. Ne eivät ole jaollisia tuolla lailla. Joten ne pitää todistaa erikseen. Todistetaan vaikkapa näin: numeroa 2 lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia, se on alkulukujen perussääntö. Ja kun mikä hyvänsä pariton luku kerrotaan kolmella ja siihen lisätään yksi, niin tulos on aina parillinen - eli tulos ei ole alkuluku. Siis: X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen.
Ja näin, valmis! En ole vain vähän spekuloinut, vaan olen todistanut! Todistin juuri että tuo laskutehtävän väittämä on totta. Todistin juuri että kaikilla numeroilla tuo laskuprosessi todellakin tuottaa tuloksen 1. Koska meidän kymmenjärjestelmässä ei ole olemassa mitään muita numeroita kuin tälläisiä:
1. Numerot 1-10.
2. Numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ja ovat jaollisia numeroilla 1-9.
3. Alkuluvut.
Mutta en usko että tämä minun todistustapani ihan täysin kelpaa esim YO-kokeeseen, ei tällä ainakaan läheskään täysiä pisteitä saisi, koska siellä pitää todistaa juurikin sellaisilla X Y Z -kaavoilla ja yhtälöillä, ja sellaista yhtälömuotoista todistamista minä en osaa yhtään. Minä todistin sanallisesti ja loogisesti, mutta se ei YO-kokeeseen riitä. Pitäisi osata todistaa myös "yhtälöllisesti".
Ja tuossa minun todistuksessani on vielä yksi aukko: en vielä todistanut sitä väittämääni että "X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen". Jotta en jättäisi todistukseeni aukkoja niin tuohan minun pitäisi vielä todistaa. Varmaankin osaisin senkin vastaavalla lailla sanallisesti ja loogisesti todistaa, varmaankaan en senkään todistamiseen yhtälöitä tarvitsisi, mutta en juuri nyt jaksa.

PS. Mielestäni lähes kaikki väittämien todistamistehtävät voidaan tehdä niin että lasketaan erikseen kaikki numerot 1-9, katsotaan toimiiko väittämä niiden kohdalla. Ja sitten tarvitsee vielä erikseen todistaa väittämä alkulukujen kohdalla. Siinä se. Näin voitaisiin melkein kaikki todistamistehtävät tehdä, tämän kummempaa siihen ei tarvittaisi. Mutta jostain kumman syystä tätä todistamislogiikkaa en ole liiemmin nähnyt missään käytettävän, vaan ainakin lukiossa käytetään juurikin sellaista "yhtälömuotoista" todistamista. En tiedä miksi. Toki se yhtälömuotoinenkin todistaminen on hyvä oppia esim. jos aikoo opiskella vaikkapa matematiikan tai tilastotieteiden tohtoriksi, mutta todistaakseen käytännössä jotain sitä yhtälömuotoista todistamista ei tarvita, koska asiat voidaan todistaa myös muulla tavoin.
Olen tosiaan vähän autisti. Minulla on elämäni aikana ollut paljon vaikeuksia tehdä asiat samoin kuin muut tekevät. Tai siis monet ihmiset ovat minusta sanoneet: "teet kaiken erilailla kuin muut". Minulla on "oma logiikkani" jonka mukaisesti toimin, enkä mitenkään pysty toimimaan muiden logiikan mukaisesti. Jossain tätä ominaisuuttani arvostetaan, jossain tätä vihataan. Jossain saan erilaisilla tavoillani paljon aikaiseksi, jossain en saa mitään aikaiseksi. Joissain paikoissa autistit ovat hyödyllisiä, joissain paikoissa turhia.

Olisikohan asialla jotain tekemistä sen kanssa että metodisi on huono, työläs, ja täynnä aukkoja. Parin esimerkkiluvun aukihinkkaamisella saa ehkä puolikkaan pisteen jos tarkastaja on anteliaalla tuulella. Tuolla ei ole mitään tekemistä todistamisen kanssa.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kyseessähän on tähän asti ratkaisematon matemaattinen todistusongelma, jota jopa supertietokoneet ovat jauhaneet vuosikausia. Koko ongelman pointtinahan on se että asia on helppo hahmottaa ja ymmärtää, mutta oikeaksi todistaminen ei ole vielä onnistunut koko maailman matikkanerojen toimesta. Lukioiden opetussuunnitelma ei tällaisia sisällä, mitä nyt ap vain kiusaa palstalaisia perjantain iloksi.

Jos näin on, ettei tätä ole toistaiseksi pystytty todistamaan, niin sitä parempi! Silloinhan tehtävän kohdalla ei varmasti odotetakaan, että kukaan lukiolainen sen ratkaisisi. Pikemminkin tässä haetaan sitten sitä, mitä lukiolainen saa irti tällaisesta tehtävästä, mitä ei ole vielä pystytty ratkaisemaan. Mitä hän pystyy todistamaan ja mikä jää todistamatta? Vai tuleeko vastaukseksi "googletin ja tähän ei ole ratkaisua, ihan kusetusta koko homma". 
Nykyisin koulussa on tehtäviä, joiden ratkaisemiseksi ei oppilaille ole annettu työkaluja. Muistan oman lapseni tehtävistä toiselta luokalta, että siellä oli tehtäviä, joiden ratkaisemiseksi olisi tarvittu yhtälöpari. Silti tällaisia tehtäviä annettiin lapsille sillä ajatuksella, että yrittäisivät jotenkin päätellä niitä. Minusta se oli typerää, mutta ehkä siinä sittenkin oli joku pointti, että pinnistellään ja mietitään, pystytäänkö löytämään ratkaisu kokeilemalla ja päättelemällä. 

No ei voi idioottimaisempaa kyllä olla. Saa vain lapsen tuntemaan itsensä typeräksi, hienoa joo, älytöntä ajanhukkaa.

Vierailija kirjoitti:

Ohiksena ---
Onko todella ihan pakko laittaa matematiikasta ei-niin-hirveän-kiinnostuneet laskemaan tällaisia koulussa? Jospa vain matikkaintoilijat laitetaan laskemaan näitä laskuja (joihin tietokone kyllä antaa vastauksen välittömästi), ja muut opiskelee sillä aikaa vaikka koodausta tai vieraan kielen tai arkkitehtuuria, tai ihan mitä muuta vaan.

Noh, pitkän matikan lukijat usein on niitä matikkaintoilijoita. Minä näen asian näin:

1. Pitkän matikan lukijoiden täytyy oppia laskemaan vaikeitakin juttuja. Koska JONKUN tässä yhteiskunnassa pitää osata laskea!

2. Lyhyen matikan lukijoiden ja muiden "matikkalaiskureiden" ei tarvitse oppia laskemaan, mutta täytyy nähdä ja kokeilla useita erilaisia laskutehtäviä, jotta oppii hahmottamaan että mistä erilaisissa laskutehtävissä on kyse. Niin että vaikka ei osaa laskea, ei saa lopputulosta, niin tietää että mitä se laskutehtävä oikein tarkoittaa, että mihin se laskutehtävä oikein liittyy. Koska esim. amistaustaltakin todella monet ihmiset riittävän pitkään samassa työpaikassa oltuaan päätyvät esim työnjohtajiksi todella monissa erilaisissa firmoissa. Esim rakennustyömaille. Ja niissä kaikenmaailman työmaissa ja firmoissa saattaa toisinaan tulla työnjohtajan eteen jokin laskutehtävä. Ei työnjohtajan tarvitse sitä osata laskea. Mutta työnjohtajan täytyy tietää mistä siinä laskutehtävässä on kyse, jotta hän osaa pyytää laskutehtävään ratkaisua oikeilta ihmisiltä. Eli "matikkalaiskureille" tärkeintä minun mielestäni olisi: ei se että itse osaa ratkaista tehtävän, vaan se että tajuaa mistä siinä tehtävässä on kyse, jotta osaa löytää edes jonkun muun joka sen tehtävän ratkaisee. Mutta valitettavasti olen havainnut "matikkalaiskureissa" sellaista erittäin haitallista "luonteenvikaa" että he ovat useimmiten juurikin päinvastaisia ihmisiä: he ovat sitä mieltä ettei ole mitään väliä miten jokin ratkaisu saadaan aikaan, kunhan se ratkaisu saadaan! Eli he yrittävät matikankokeissa yms saada paperille väkisin ihan vain tehtävän vastauksen, piittaamatta yhtään siitä että miten he siihen vastaukseen päätyvät. Ja tuossa on seuraava ongelma: jos ihminen ei tiedä miten hän on ratkaissut helpon matikantehtävän, niin hän ei myöskään tiedä mistä hänen kannattaa etsiä apua kun vastaan tulee vaikea matikantehtävä jota hän itse ei osaa ratkaista.

--

Jos joskus jossain asiassa sinä päädyt johonkin lopputulokseen, niin sinun täytyy myös tietää miten olet siihen lopputulokseen päätynyt. Elämässä ei kovin pitkälle pötkitä sillä periaatteella että "ihan sama miten asiat saadaan tehtyä, kunhan ne saadaan tehtyä!" Tai no, okei, Donald Trump pötki tuolla periaatteella jopa presidentiksi asti, eli joillain harvoilla ihmisillä tuo toimintaperiaate toimii.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miksi tähän ei tullut kappalejakoa vaikka tein sen? Inhottavasti yhtenä pötkönä tuli se, tekee tekstistä epäselvän.
AP

Joo, tälle vauvapalstalle on näköjään tänään/eilen tullut typerä muutos että aloitusviestiin ei voi entteriä painamalla pistää kappalejakoa. Blaah.
Mutta on tuo sinun aloitusviestisi myös muutoinkin jotenkin sekavasti kirjoitettu. Tai siis tuo tehtävänanto on epäselvä, väärin muotoiltu. Mutta onneksi nyt kuitenkin tajusin että mistä tuossa laskutehtävässä on kyse, joten voin ehkä vähän pohtia laskutehtävää, vaikka tuo on todistustehtävä. Olen niissä surkea. En osaa. En osaa todistaa. Mutta vähän nyt spekuloin.
Joku muu ehdotti että kokeilet kaikilla numeroilla. Noh, itse helpotan tuota ehdotusta vähän: kokeilin numeroilla 1-10. Niillä kun laskee, niin kyllä: aloituksen väittämä on totta eli aina lopputulos on 1. Ja tuon enempää ei tarvitse kokeilla, koska meidän käyttämässä numerojärjestelmässä eli kymmenjärjestelmässä pätee se perussääntö että kaikki numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ovat jaollisia jollain numerolla joka on pienempi kuin 10. Joten, näin on todistettu: koska tuo väittämä on totta numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, niin tuo väittämä on totta myös numeroilla jotka ovat suurempia kuin 10.
Paitsi että, ainoa poikkeus tuohon meidän numerojärjestelmän perussääntöön: alkuluvut. Ne eivät ole jaollisia tuolla lailla. Joten ne pitää todistaa erikseen. Todistetaan vaikkapa näin: numeroa 2 lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia, se on alkulukujen perussääntö. Ja kun mikä hyvänsä pariton luku kerrotaan kolmella ja siihen lisätään yksi, niin tulos on aina parillinen - eli tulos ei ole alkuluku. Siis: X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen.
Ja näin, valmis! En ole vain vähän spekuloinut, vaan olen todistanut! Todistin juuri että tuo laskutehtävän väittämä on totta. Todistin juuri että kaikilla numeroilla tuo laskuprosessi todellakin tuottaa tuloksen 1. Koska meidän kymmenjärjestelmässä ei ole olemassa mitään muita numeroita kuin tälläisiä:
1. Numerot 1-10.
2. Numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ja ovat jaollisia numeroilla 1-9.
3. Alkuluvut.
Mutta en usko että tämä minun todistustapani ihan täysin kelpaa esim YO-kokeeseen, ei tällä ainakaan läheskään täysiä pisteitä saisi, koska siellä pitää todistaa juurikin sellaisilla X Y Z -kaavoilla ja yhtälöillä, ja sellaista yhtälömuotoista todistamista minä en osaa yhtään. Minä todistin sanallisesti ja loogisesti, mutta se ei YO-kokeeseen riitä. Pitäisi osata todistaa myös "yhtälöllisesti".
Ja tuossa minun todistuksessani on vielä yksi aukko: en vielä todistanut sitä väittämääni että "X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen". Jotta en jättäisi todistukseeni aukkoja niin tuohan minun pitäisi vielä todistaa. Varmaankin osaisin senkin vastaavalla lailla sanallisesti ja loogisesti todistaa, varmaankaan en senkään todistamiseen yhtälöitä tarvitsisi, mutta en juuri nyt jaksa.

PS. Mielestäni lähes kaikki väittämien todistamistehtävät voidaan tehdä niin että lasketaan erikseen kaikki numerot 1-9, katsotaan toimiiko väittämä niiden kohdalla. Ja sitten tarvitsee vielä erikseen todistaa väittämä alkulukujen kohdalla. Siinä se. Näin voitaisiin melkein kaikki todistamistehtävät tehdä, tämän kummempaa siihen ei tarvittaisi. Mutta jostain kumman syystä tätä todistamislogiikkaa en ole liiemmin nähnyt missään käytettävän, vaan ainakin lukiossa käytetään juurikin sellaista "yhtälömuotoista" todistamista. En tiedä miksi. Toki se yhtälömuotoinenkin todistaminen on hyvä oppia esim. jos aikoo opiskella vaikkapa matematiikan tai tilastotieteiden tohtoriksi, mutta todistaakseen käytännössä jotain sitä yhtälömuotoista todistamista ei tarvita, koska asiat voidaan todistaa myös muulla tavoin.
Olen tosiaan vähän autisti. Minulla on elämäni aikana ollut paljon vaikeuksia tehdä asiat samoin kuin muut tekevät. Tai siis monet ihmiset ovat minusta sanoneet: "teet kaiken erilailla kuin muut". Minulla on "oma logiikkani" jonka mukaisesti toimin, enkä mitenkään pysty toimimaan muiden logiikan mukaisesti. Jossain tätä ominaisuuttani arvostetaan, jossain tätä vihataan. Jossain saan erilaisilla tavoillani paljon aikaiseksi, jossain en saa mitään aikaiseksi. Joissain paikoissa autistit ovat hyödyllisiä, joissain paikoissa turhia.

Olisikohan asialla jotain tekemistä sen kanssa että metodisi on huono, työläs, ja täynnä aukkoja. Parin esimerkkiluvun aukihinkkaamisella saa ehkä puolikkaan pisteen jos tarkastaja on anteliaalla tuulella. Tuolla ei ole mitään tekemistä todistamisen kanssa.

Olen tuo jota lainasit.

Voisit kertoa että mitä "huonoa" ja mitä "aukkoja" menetelmässäni on. Vai?

Työläs menetelmäni on kyllä ehdottomasti. Paras näkemäni kommentti tässä ketjussa on se missä joku kertoi lyhyesti ja yksinkertaisesti näin: "jos tuon todistaa todeksi luvulla 2N (=parillinen) ja 2N+1 (=pariton) niin sittenhän se toimii aina."

Niin. Tuo on se vähiten työtä sisältävä todistamismenetelmä aloittajan laskutehtävään, se miten lukiossa yritetään opettaa todistustehtäviä tekemään. Tuo on se yhtälöllä todistamismenetelmä, jota minä en osaa. Noin älyttömän helposti ja nopeasti "2N" sekä "2N+1" tuon jutun voi todistaa jos tuon menetelmän osaa. Mutta kun minä en osaa, niin minun täytyy käyttää pidempää ja vaivalloisempaa ja työläämpää todistamismenetelmää. Mutta minun menetelmässäni ei ole mitään "huonoa" tai "aukkoja". Koska on ihan täysin todistettua, matemaattinen perusfakta, että meidän numerojärjestelmässämme ei ole mitään muita numeroita kuin 1-10, numerot jotka ovat suurempia kuin 10 sekä jaollisia numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, ja alkuluvut. Minkään muunlaisia numeroita ei ole olemassa. Jos noilla eri "numerotyypeillä" erikseen laskemalla osoitat tuon aloittajan väittämän paikkansapitävyyden niin todistat että väittämä pitää paikkansa. Jotain väittämää ei tarvitse todistaa jollain kirjaimella "N", jos todistaa sen kaikilla erilaisilla numeroilla. Onhan se kaikilla numeroilla todistaminen työläämpää kuin yhdellä kirjaimella todistaminen, mutta samaan lopputulokseen päädytään kuitenkin, sama asia saadaan todistettua.

Minä en aukihinkannut tuossa ratkaisuehdotuksessani paria esimerkkilukua niinkuin sinä sanoit. Minä aukihinkkasin tuossa kaikki numerot jotka ovat olemassa. Kirjaimia ei ratkaisussa tarvita, jos numeroita hinkkaamalla pystyy kattamaan kaikki olemassaolevat numerot.

Me emme pysty laskemaan yhtään mitään alunperinkään ollenkaan - jos me emme tiedä ja hyväksy käyttämämme lukujärjestelmän perussääntöjä. Vai tiedätkö sinä kymmenjärjestelmässämme joitain muita numeroita kuin ne jotka minä mainitsin?

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Kun tarpeeksi kauan jaat parillisen luvun kahdella saat vastaukseksi 2, kun jaat vielä sen on vastaus tuo 1.

Joo, mutta parillisesta luvusta voi tulla pariton jakotulos. 64 nippuuntuu nätisti 64 -> 31 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 mutta esim. 50 on ekan jaon jälkeen jo 25 eli pariton. Algoritmin parittomille luvuille tarkoitettu puolisko tekee näistä jälleen parillisia, koska toimituksessa on määritelty tuo +1.

Kun erikseen laskee numerolla 5 niin huomaa että aloituksen väittämä toimii eli lopputulos on 1.

Ja tuo 25 on jaollinen numerolla 5. Toisin ilmaistuna: 25 on numeron 5 "potenssi" (5 potenssiin jotain on 25). Joten: koska tuo väittämä toimii numerolla 5, niin se toimii myös numerolla 25.

Kaiken matematiikan perussääntö: jos jokin laskutehtävä toimii jollain numerolla, niin se sama laskutehtävä toimii myös kaikilla sen jonkin numeron potensseilla. Siis, jos jokin laskutehtävä toimii numerolla 5, niin se sama laskutehtävä toimii myös numeroilla 25, 125, 625,...

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miksi tähän ei tullut kappalejakoa vaikka tein sen? Inhottavasti yhtenä pötkönä tuli se, tekee tekstistä epäselvän.
AP

Joo, tälle vauvapalstalle on näköjään tänään/eilen tullut typerä muutos että aloitusviestiin ei voi entteriä painamalla pistää kappalejakoa. Blaah.
Mutta on tuo sinun aloitusviestisi myös muutoinkin jotenkin sekavasti kirjoitettu. Tai siis tuo tehtävänanto on epäselvä, väärin muotoiltu. Mutta onneksi nyt kuitenkin tajusin että mistä tuossa laskutehtävässä on kyse, joten voin ehkä vähän pohtia laskutehtävää, vaikka tuo on todistustehtävä. Olen niissä surkea. En osaa. En osaa todistaa. Mutta vähän nyt spekuloin.
Joku muu ehdotti että kokeilet kaikilla numeroilla. Noh, itse helpotan tuota ehdotusta vähän: kokeilin numeroilla 1-10. Niillä kun laskee, niin kyllä: aloituksen väittämä on totta eli aina lopputulos on 1. Ja tuon enempää ei tarvitse kokeilla, koska meidän käyttämässä numerojärjestelmässä eli kymmenjärjestelmässä pätee se perussääntö että kaikki numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ovat jaollisia jollain numerolla joka on pienempi kuin 10. Joten, näin on todistettu: koska tuo väittämä on totta numeroilla jotka ovat pienempiä kuin 10, niin tuo väittämä on totta myös numeroilla jotka ovat suurempia kuin 10.
Paitsi että, ainoa poikkeus tuohon meidän numerojärjestelmän perussääntöön: alkuluvut. Ne eivät ole jaollisia tuolla lailla. Joten ne pitää todistaa erikseen. Todistetaan vaikkapa näin: numeroa 2 lukuunottamatta kaikki alkuluvut ovat parittomia, se on alkulukujen perussääntö. Ja kun mikä hyvänsä pariton luku kerrotaan kolmella ja siihen lisätään yksi, niin tulos on aina parillinen - eli tulos ei ole alkuluku. Siis: X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen.
Ja näin, valmis! En ole vain vähän spekuloinut, vaan olen todistanut! Todistin juuri että tuo laskutehtävän väittämä on totta. Todistin juuri että kaikilla numeroilla tuo laskuprosessi todellakin tuottaa tuloksen 1. Koska meidän kymmenjärjestelmässä ei ole olemassa mitään muita numeroita kuin tälläisiä:
1. Numerot 1-10.
2. Numerot jotka ovat suurempia kuin 10 ja ovat jaollisia numeroilla 1-9.
3. Alkuluvut.
Mutta en usko että tämä minun todistustapani ihan täysin kelpaa esim YO-kokeeseen, ei tällä ainakaan läheskään täysiä pisteitä saisi, koska siellä pitää todistaa juurikin sellaisilla X Y Z -kaavoilla ja yhtälöillä, ja sellaista yhtälömuotoista todistamista minä en osaa yhtään. Minä todistin sanallisesti ja loogisesti, mutta se ei YO-kokeeseen riitä. Pitäisi osata todistaa myös "yhtälöllisesti".
Ja tuossa minun todistuksessani on vielä yksi aukko: en vielä todistanut sitä väittämääni että "X*3+1=Y, missä X on pariton, ja Y on parillinen". Jotta en jättäisi todistukseeni aukkoja niin tuohan minun pitäisi vielä todistaa. Varmaankin osaisin senkin vastaavalla lailla sanallisesti ja loogisesti todistaa, varmaankaan en senkään todistamiseen yhtälöitä tarvitsisi, mutta en juuri nyt jaksa.

PS. Mielestäni lähes kaikki väittämien todistamistehtävät voidaan tehdä niin että lasketaan erikseen kaikki numerot 1-9, katsotaan toimiiko väittämä niiden kohdalla. Ja sitten tarvitsee vielä erikseen todistaa väittämä alkulukujen kohdalla. Siinä se. Näin voitaisiin melkein kaikki todistamistehtävät tehdä, tämän kummempaa siihen ei tarvittaisi. Mutta jostain kumman syystä tätä todistamislogiikkaa en ole liiemmin nähnyt missään käytettävän, vaan ainakin lukiossa käytetään juurikin sellaista "yhtälömuotoista" todistamista. En tiedä miksi. Toki se yhtälömuotoinenkin todistaminen on hyvä oppia esim. jos aikoo opiskella vaikkapa matematiikan tai tilastotieteiden tohtoriksi, mutta todistaakseen käytännössä jotain sitä yhtälömuotoista todistamista ei tarvita, koska asiat voidaan todistaa myös muulla tavoin.
Olen tosiaan vähän autisti. Minulla on elämäni aikana ollut paljon vaikeuksia tehdä asiat samoin kuin muut tekevät. Tai siis monet ihmiset ovat minusta sanoneet: "teet kaiken erilailla kuin muut". Minulla on "oma logiikkani" jonka mukaisesti toimin, enkä mitenkään pysty toimimaan muiden logiikan mukaisesti. Jossain tätä ominaisuuttani arvostetaan, jossain tätä vihataan. Jossain saan erilaisilla tavoillani paljon aikaiseksi, jossain en saa mitään aikaiseksi. Joissain paikoissa autistit ovat hyödyllisiä, joissain paikoissa turhia.

Olisikohan asialla jotain tekemistä sen kanssa että metodisi on huono, työläs, ja täynnä aukkoja. Parin esimerkkiluvun aukihinkkaamisella saa ehkä puolikkaan pisteen jos tarkastaja on anteliaalla tuulella. Tuolla ei ole mitään tekemistä todistamisen kanssa.

Kun tuo todistus ei ole osoitettavissa kuin aukilaskemalla kaikki poikkeukset, on tuo aika hyvä. Varsinkin lukiotasolla tuossa on monta asiaa osoitettu ja on selvillä mitä on osoittamatta.

Matikan opetus on kannustamista erilaisiin ratkaisuihin ja matikkaan kuuluu omien ajatusten ilmaisu.

t. Matikan opiskelija

googlaa

Miksi valitsit pitkän matematiikan, kun äly ei riitä?