Apua, raja-arvolla derivointi (lyhyen matikan plussatehtävä)

Vaikka miten pyörittelen tuo ei tuosta muutu yksinkertaisemmaksi, mutta ärsyttää kun ei ratkea. -AP

En muista tuota enää. Olen DI.

Mutta yleisesti mua auttoi hahmottamaan kaksi muistisääntöä. Derivaatta on tangentin kulmakerroin. Ja kulmakerroin on kulman tangentti. Noita kun pyörittelin, niin kaiken tajusin.

Mutta ei noilla sun tehtävää ratkaista, sillä noi on erikoisjuttuja.

Ohis

Vierailija kirjoitti:

En muista tuota enää. Olen DI.

Mutta yleisesti mua auttoi hahmottamaan kaksi muistisääntöä. Derivaatta on tangentin kulmakerroin. Ja kulmakerroin on kulman tangentti. Noita kun pyörittelin, niin kaiken tajusin.

Mutta ei noilla sun tehtävää ratkaista, sillä noi on erikoisjuttuja.

Ohis

Tosiaan, kulmakerroin on kulman x joka jää suoran ja akselin väliin tan(x):n arvo, hetki kesti tajuta tuo tangenttijuttu kun tuli mieleen vaan se suora joka piirretään siihen funktioon. Tuota en ollutkaan ajatellut ennen. Ja piti googlata tan kun olen unohtanut, yläasteella näitä viimeksi.

Onnistuin jo derivoimaan x^2 ja x^3 raja-arvolla, mutta tuosta e^x tuntuu olevan mahdotonta supistaa se h pois. Toki on mahdollista, että siihen tarvitaan jotain juttua joka tulee vain pitkässä matikassa. AP.

Pahoittelen ketjun ärsyttävää nostamista, mutta haluan tähän tehtävään ratkaisun, epätoivo kasvaa. -AP

Tuon voi ratkaista monella tapaa, eikä mikään niistä oikein sovi lukion lyhyeen oppimäärään. Esim. Taylorin sarjoilla, mutta niitä ei opeteta lukiossa, ja siinä olisi vähän nurinkurinen ratkaisu kun itse Taylorin sarjaan vaadittaisiin e^x:n derivaatan tunteminen. Toinen ratkaisu liittyy e^x määritelmään eli lim n->inf e^x= (1 + x/n)^n, ja siitä binomiekspansio tai sitten lukion pitkään oppimäärään parhaiten sopiva ratkaisu: käänteisfunktion derivaatta logaritmin avulla ratkeaa helpoimmin.

Itsekin haluan tietää. En muista tuosta kurssista melkein yhtään

Vierailija kirjoitti:

Tuon voi ratkaista monella tapaa, eikä mikään niistä oikein sovi lukion lyhyeen oppimäärään. Esim. Taylorin sarjoilla, mutta niitä ei opeteta lukiossa, ja siinä olisi vähän nurinkurinen ratkaisu kun itse Taylorin sarjaan vaadittaisiin e^x:n derivaatan tunteminen. Toinen ratkaisu liittyy e^x määritelmään eli lim n->inf e^x= (1 + x/n)^n, ja siitä binomiekspansio tai sitten lukion pitkään oppimäärään parhaiten sopiva ratkaisu: käänteisfunktion derivaatta logaritmin avulla ratkeaa helpoimmin.

Ooh, tuo binomihommahan saattaa toimia. Siis jos sen sijoittaa e^h paikalle. 1^n katoaa koska alkuperäisessä systeemissä on -1 ja sitten lopuissa termeissä on tekijänä h eli sen voi supistaa pois. Sitten pitäisi vielä osoittaa että jäljellejäävän arvoksi tulee 1... Joka lie tulee siitä, kun niihin loppuihin termeihin paitsi yhteen jää tekijäksi h joka lähestyy nollaa, ja sit sen yhden potenssi lähestyy nollaa => se yksi lähestyy ykköstä. Kiitos paljon! -AP

Olen kuullut e:n määriteltävänkin niin, että se on se luku, jolle tuo raja-arvo on 1.

Tai sitten jos kirjottaisit sen ihan ensimmäisenkin kohdan oikein:

(e^(x+h)-e^x)/h

Tuosta se sitten lähtee.

Ei varmaan oo mitään lyhyttä matikkaa.

Vierailija kirjoitti:

Tai sitten jos kirjottaisit sen ihan ensimmäisenkin kohdan oikein:

(e^(x+h)-e^x)/h

Tuosta se sitten lähtee.

Eikös tuo ole ihan sama asia kun se, mitä kirjoitin? Otin vaan tuon e^x yhteiseksi tekijäksi. Kun eikö muka e^(x+h)=e^x*e^h

Jos ei, niin minua on kusetettu ja pahasti.

Ja ei olekaan lyhyen matikan opetussuunnitelmassa, vaan juurikin plussatehtävä kuten sanoin otsikossa. Ope haluaa, että opin derivaatan määritelmän. (Vastaukseksi viestiin nro. 10). -AP

Vierailija kirjoitti:

Tai sitten jos kirjottaisit sen ihan ensimmäisenkin kohdan oikein:

(e^(x+h)-e^x)/h

Tuosta se sitten lähtee.

En ole matemaatikko, mutta kyllä minun nähdäkseni AP:n muoto oli ihan oikein, kuten tämäkin. Eri tavalla kirjoitettu vaan.

Miten ihmeessä olen selvinnyt lukiosta?

Hämmästelee täällä yksi väitöskirjatutkija (ja joo, alani ei ole matematiikka).

Ainakaan toisen vuoden AMK opiskelijan matematiikka ei riitä tämän ratkaisemiseen. Jos luin oikein tuon niin laskin kuitenkin antaa raja-arvoksi e^x.

Miten olen selvinnyt elämästä hengissä. Minulla ja Bengt Holmströmillä on kanditutkinto mayenstiikasta Helsingin yliopistosta vuodelta 1 ja 2, mutta en ymmärtänyt mitään. Kuitenkin saan eläkettä 5000 euroa kuussa, joten kai lienen ollut arvostettu tyyppi työelämässä. Ja ei Bengtilläkään ole huonosti mennyt.

M74

Tämä tekstinsyöttö ei toimi, mutta siitäkään en välitä.

No tee se miten tykkäät, mutta itse suosittelen vahvasti aloittamaan aina siitä mahdollisimman simppelistä kohdasta ja etenemään vasta siitä välivaiheet auki kirjoittaen.

Nyt kun lukaisin aloituksesi uudelleen, niin se mitä kysyit oli yksinkertaisesti miten todistat että (e^h)/h=1 kun h lähestyy nollaa.

No lähdetään ensin liikkeelle siitä oletuksesta että tuo on totta, tai edes määriteltävissä. Silloinhan meidän täytyy todistaa että tuon jakoviivan ylä- ja alapuoli lähestyy jotain (nollaa) ihan yhtä nopeasti kun h lähestyy nollaa. No se muutosnopeushan jossain tietyssä kohdassa saadaan tietenkin selville derivoimalla se funktio sen muuttuvan osan h suhteen.

Eli derivoi erikseen e^h ja h ja pidä ne derivaatat siellä paikoillaan jakoviivan suhteen. Tämä temppu on nimeltään L'Hopitalin sääntö. Tullee pitkässä matikassa kyllä. Voi toistaa riittävän monta kertaa jos ensimmäinen derivointi ei anna vielä ratkaisua.

Loppupeleissä kun tuota oikein mutustelee, niin sehän on ihan täysin triviaali tapa ratkaista näitä: Jos yläkerta kasvaa nopeammin kuin alakerta, niin funktio hajaantuu. Jos ne muuttuu ihan yhtä nopeasti mutta siinä on joku kerroin edessä, niin se kerroin on se raja-arvo mitä se alkuperäinen funktio lähenee (kokeile tämä vaikka 2x/x jollet muuten ymmärrä).

Ainiin. Jollet vielä ymmärtänyt saamaasi vastausta, niin sijoita se nolla siihen h paikalle...

L'Hospitalin säännön käyttäminen olisi tässä kyllä vähintäänkin kyseenalaista, sillä se vaatisi e^x:n derivaatan tuntemisen, mikä on tämän tehtävän tarkoitus, eli osoittaa sen olemassaolo ja mikä se on.

Samaten voisi e^x kehittää polynomisarjaksi, eli e^x = 1 + x + x^2/2.. mutta jos siinä olisi käytetty Taylorin sarjaa, niin olisi myös joutunut turvautumaan e^x derivaatan arvoihin nollassa. Mutta onneksi e^x voidaan myös kehittää polynomisarjaksi binomikehitelmän avulla, mikä ei edellytä e^x:n derivaattojen tuntemista.

Vierailija kirjoitti:

Miten olen selvinnyt elämästä hengissä. Minulla ja Bengt Holmströmillä on kanditutkinto mayenstiikasta Helsingin yliopistosta vuodelta 1 ja 2, mutta en ymmärtänyt mitään. Kuitenkin saan eläkettä 5000 euroa kuussa, joten kai lienen ollut arvostettu tyyppi työelämässä. Ja ei Bengtilläkään ole huonosti mennyt.

M74

Tämä tekstinsyöttö ei toimi, mutta siitäkään en välitä.

No ei tuosta selityksestä mitään meinannukkaan saada selvää, mutta itte matikka on pilipalitasoista. Tosin tuo nyt on ensimmäinen kerta kun tehdään mielivaltaisista funktioista jotain, niin se kyllä on ihan samanlainen abstraktiotason nosta kuin muuttujien käyttäminen ensimmäistä kertaa. Sama ero kuin aritmetiikalla ja algebralla.

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miten olen selvinnyt elämästä hengissä. Minulla ja Bengt Holmströmillä on kanditutkinto mayenstiikasta Helsingin yliopistosta vuodelta 1 ja 2, mutta en ymmärtänyt mitään. Kuitenkin saan eläkettä 5000 euroa kuussa, joten kai lienen ollut arvostettu tyyppi työelämässä. Ja ei Bengtilläkään ole huonosti mennyt.

M74

Tämä tekstinsyöttö ei toimi, mutta siitäkään en välitä.

No ei tuosta selityksestä mitään meinannukkaan saada selvää, mutta itte matikka on pilipalitasoista. Tosin tuo nyt on ensimmäinen kerta kun tehdään mielivaltaisista funktioista jotain, niin se kyllä on ihan samanlainen abstraktiotason nosta kuin muuttujien käyttäminen ensimmäistä kertaa. Sama ero kuin aritmetiikalla ja algebralla.

Eikö "lyhyt matikka" otsikossa kertonut, että kyseessä on juurikin perustason matikka?

Anyways. Voiko niin tehdä, että sijoittaa tuohon e^h:n paikalle tuon äärettömiin menevän binomisumman? Siis tuon e^x=(1+x/n)^n, n lähestyy ääretöntä. Haittaako siinä se, että se n ei ole äärellinen? Kun sillä se toimisi, muuta en keksi. Halusin kysyä jo eilen, mutta palsta meni kiinni. -AP

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Vierailija kirjoitti:

Miten olen selvinnyt elämästä hengissä. Minulla ja Bengt Holmströmillä on kanditutkinto mayenstiikasta Helsingin yliopistosta vuodelta 1 ja 2, mutta en ymmärtänyt mitään. Kuitenkin saan eläkettä 5000 euroa kuussa, joten kai lienen ollut arvostettu tyyppi työelämässä. Ja ei Bengtilläkään ole huonosti mennyt.

M74

Tämä tekstinsyöttö ei toimi, mutta siitäkään en välitä.

No ei tuosta selityksestä mitään meinannukkaan saada selvää, mutta itte matikka on pilipalitasoista. Tosin tuo nyt on ensimmäinen kerta kun tehdään mielivaltaisista funktioista jotain, niin se kyllä on ihan samanlainen abstraktiotason nosta kuin muuttujien käyttäminen ensimmäistä kertaa. Sama ero kuin aritmetiikalla ja algebralla.

Eikö "lyhyt matikka" otsikossa kertonut, että kyseessä on juurikin perustason matikka?

Anyways. Voiko niin tehdä, että sijoittaa tuohon e^h:n paikalle tuon äärettömiin menevän binomisumman? Siis tuon e^x=(1+x/n)^n, n lähestyy ääretöntä. Haittaako siinä se, että se n ei ole äärellinen? Kun sillä se toimisi, muuta en keksi. Halusin kysyä jo eilen, mutta palsta meni kiinni. -AP

No kirjoitat esille muutamat ensimmäiset termit, ja toteat että kun x->0 niin korkea-asteiset termit häviää kaikki .. eli (1+x/n)^n = 1 + x + x^2/2! + x^3/3!... x^n/n!

alkup. lauseke oli lim h-> 0 (e^h - 1) /h eli saadaan lim h->0 (1 + h + h^2/2!+... - 1)/h= 0 + 1 +0... = 1